Локально проконечная группа

В математике локально проконечная группа — это Хаусдорфа топологическая группа , в которой каждая окрестность единичного элемента содержит компактную открытую подгруппу. Эквивалентно, локально проконечная группа — это топологическая группа, которая является Хаусдорфовой , локально компактной и полностью несвязной . Более того, локально проконечная группа компактна тогда и только тогда, когда она проконечна ; это объясняет терминологию. Основными примерами локально проконечных групп являются дискретные группы и p -адические группы Ли . Непримерами являются вещественные группы Ли , обладающие свойством немалых подгрупп .

В локально проконечной группе замкнутая подгруппа локально проконечна, и каждая компактная подгруппа содержится в открытой компактной подгруппе.

Примеры

Важные примеры локально проконечных групп взяты из теории алгебраических чисел . Пусть F — неархимедово локальное поле . Тогда и F , и $F^{\times }$ локально проконечны. В более общем смысле матричное кольцо $\operatorname {M} _{n}(F)$ и общая линейная группа $\operatorname {GL} _{n}(F)$ локально проконечны. Другим примером локально проконечной группы является абсолютная группа Вейля неархимедова локального поля: это контрастирует с тем фактом, что абсолютная группа Галуа такой группы проконечна (в частности, компактна).

Представления локально пространственной группы

Пусть G — локально проконечная группа. Тогда групповой гомоморфизм $\psi :G\to \mathbb {C} ^{\times }$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно имеет открытое ядро.

Позволять $(\rho ,V)$ быть комплексным представлением G . $\rho$ называется гладким, если V является объединением $V^{K}$ где K пробегает все открытые компактные подгруппы K . $\rho$ называется допустимым, если оно гладкое и $V^{K}$ конечномерна для любой открытой компактной подгруппы K .

Теперь мы делаем общее предположение, что $G/K$ не более чем счетна для всех открытых компактных подгрупп K .

Двойное пространство $V^{*}$ осуществляет действие $\rho ^{*}$ G , заданный $\left\langle \rho ^{*}(g)\alpha ,v\right\rangle =\left\langle \alpha ,\rho ^{*}(g^{-1})v\right\rangle$. В общем, $\rho ^{*}$ не является гладким. Таким образом, мы установили ${\widetilde {V}}=\bigcup _{K}(V^{*})^{K}$ где $K$ действует через $\rho ^{*}$ и установить ${\widetilde {\rho }}=\rho ^{*}$. Гладкое представление $({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})$ тогда называется контрагредиентом или гладким двойственным $(\rho ,V)$.

Контравариантный функтор

$(\rho ,V)\mapsto ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})$

из категории гладких представлений группы G в себя точно. Более того, следующие утверждения эквивалентны.

• $\rho$ допустимо.
• ${\widetilde {\rho }}$ допустимо.
• Каноническое G -модуля отображение $\rho \to {\widetilde {\widetilde {\rho }}}$ является изоморфизмом.

Когда $\rho$ допустимо, $\rho$ неприводимо тогда и только тогда, когда ${\widetilde {\rho }}$ является нередуцируемым.

Предположение счетности, сделанное в начале, действительно необходимо, поскольку существует локально бесконечная группа, допускающая неприводимое гладкое представление $\rho$ такой, что ${\widetilde {\rho }}$ не является неприводимым.

Алгебра Гекке локально проконечной группы

Смотрите также: алгебра Гекке локально компактной группы.

Позволять $G$ — унимодулярная локально проконечная группа такая, что $G/K$ не более чем счетно для всех открытых компактных подгрупп K и $\mu$ левая мера Хаара на $G$. Позволять $C_{c}^{\infty }(G)$ обозначим пространство локально постоянных функций на $G$ с компактной опорой. С мультипликативной структурой, заданной

$(f*h)(x)=\int _{G}f(g)h(g^{-1}x)d\mu (g)$

$C_{c}^{\infty }(G)$ становится не обязательно унитарным ассоциативным $\mathbb {C}$-алгебра. Она называется алгеброй Гекке группы G и обозначается через ${\mathfrak {H}}(G)$. Алгебра играет важную роль в изучении гладких представлений локально проконечных групп. Действительно, имеет место следующее: при гладком представлении $(\rho ,V)$ G V мы определяем новое действие на , :

$\rho (f)=\int _{G}f(g)\rho (g)d\mu (g).$

Таким образом, мы имеем функтор $\rho \mapsto \rho$ из категории гладких представлений $G$ к категории невырожденных ${\mathfrak {H}}(G)$-модули. Здесь «невырожденный» означает $\rho ({\mathfrak {H}}(G))V=V$. Тогда факт состоит в том, что функтор является эквивалентностью.

Ссылки

• Коринн Блондель, Основная теория представлений редуктивных p -адических групп
• Бушнелл, Колин Дж .; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Фундаментальные принципы математических наук, том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN.  978-3-540-31486-8 , МР   2234120
• Милн, Джеймс С. (1988), Канонические модели (смешанных) многообразий Шимуры и автоморфных векторных расслоений , MR   1044823