Неархимедово упорядоченное поле

В математике неархимедово упорядоченное поле — это упорядоченное поле , не удовлетворяющее свойству Архимеда . Такие поля будут содержать бесконечно малые и бесконечно большие элементы, определенные соответствующим образом.

Определение

Предположим, F — упорядоченное поле . Мы говорим, что F удовлетворяет свойству Архимеда , если для каждых двух положительных элементов x и y из F существует натуральное число n такое, что nx > y . Здесь n обозначает элемент поля, полученный в результате формирования суммы n копий элемента поля 1 , так что nx представляет собой сумму n копий x .

Упорядоченное поле, не удовлетворяющее свойству Архимеда, является неархимедовым упорядоченным полем.

Примеры

Поля рациональных и действительных чисел с их обычным порядком удовлетворяют свойству Архимеда.

Примерами неархимедовых упорядоченных полей являются поле Леви-Чивита , гипердействительные числа , сюрреалистические числа , поле Дена и поле рациональных функций с действительными коэффициентами (где мы определяем f > g, чтобы означать, что f ( t )> g ( t ) для достаточно больших t ).

Бесконечные и бесконечно малые элементы

В неархимедовом упорядоченном поле мы можем найти два положительных элемента x и y такие, что для любого натурального n числа nx ≤ y . Это означает, что положительный элемент y / x больше любого натурального числа n (поэтому он является «бесконечным элементом»), а положительный элемент x / y меньше 1/ n для каждого натурального числа n (поэтому это «бесконечно малый элемент»).

И наоборот, если упорядоченное поле содержит бесконечный или бесконечно малый элемент в этом смысле, то это неархимедово упорядоченное поле.

Приложения

Гипердействительные поля , неархимедовы упорядоченные поля, содержащие действительные числа в качестве подполя, используются для обеспечения математической основы для нестандартного анализа .

Макс Ден использовал поле Дена , пример неархимедова упорядоченного поля, для построения неевклидовой геометрии , в которой постулат параллельности неверен, но, тем не менее, треугольники имеют углы, сумма которых равна π .

Поле рациональных функций над $\mathbb {R}$ может использоваться для построения упорядоченного поля, которое является полным по Коши (в смысле сходимости последовательностей Коши), но не является действительным числом. Это пополнение можно описать как поле формальных рядов Лорана по $\mathbb {R}$. Это неархимедово упорядоченное поле. Иногда термин «полный» используется для обозначения того, что выполняется свойство наименьшей верхней границы , т.е. для дедекиндовой полноты . Дедекиндово полных неархимедовых упорядоченных полей не существует. Тонкое различие между этими двумя значениями слова «полный» иногда становится источником путаницы.