Пи

Число $π$ ( / p aɪ / пишется как « пи ») — математическая константа , представляющая собой отношение к длины окружности диаметру ; ее , примерно равное 3,14159. Число $π$ встречается во многих формулах математики и физики . Это иррациональное число , то есть его нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел, хотя такие дроби, как ${\tfrac {22}{7}}$ обычно используются для его аппроксимации . Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не входит в постоянно повторяющийся шаблон . Это трансцендентное число , что означает, что оно не может быть решением уравнения , состоящего только из конечных сумм, произведений, степеней и целых чисел. Трансцендентность числа $π$ подразумевает, что невозможно решить древнюю задачу квадратуры круга с помощью циркуля и линейки . Десятичные цифры числа $π$ расположены случайным образом . ^[а] но никаких доказательств этой гипотезы найдено не было.

На протяжении тысячелетий математики пытались расширить свое понимание числа $π$ , иногда вычисляя его значение с высокой степенью точности. Древним цивилизациям, включая египтян и вавилонян , требовалось довольно точное приближение числа $π$ для практических вычислений. Около 250 г. до н.э. греческий математик Архимед создал алгоритм, позволяющий аппроксимировать $число π$ с произвольной точностью. В V веке нашей эры китайские математики аппроксимировали $число π$ до семи цифр, а индийские математики сделали пятизначное приближение, используя геометрические методы. Первая вычислительная формула для $числа π$ , основанная на бесконечных рядах , была открыта тысячелетие спустя. ^[1]^[2] Самое раннее известное использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было осуществлено валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году. ^[3]

Изобретение исчисления вскоре привело к вычислению сотен цифр числа $π$ , достаточных для всех практических научных вычислений. Тем не менее, в 20-м и 21-м веках математики и ученые-компьютерщики использовали новые подходы, которые в сочетании с увеличением вычислительной мощности расширили десятичное представление числа $π$ до многих триллионов цифр. ^[4]^[5] Эти вычисления мотивированы разработкой эффективных алгоритмов расчета числовых рядов, а также стремлением человека побить рекорды. ^[6]^[7] Обширные вычисления также использовались для тестирования суперкомпьютеров , а также стресс-тестирования потребительского компьютерного оборудования.

Поскольку его определение относится к кругу, $π$ встречается во многих формулах тригонометрии и геометрии , особенно в тех, которые касаются кругов, эллипсов и сфер. Он также встречается в формулах из других тем науки, таких как космология , фракталы , термодинамика , механика и электромагнетизм . Оно также появляется в областях, имеющих мало общего с геометрией, таких как теория чисел и статистика , и в современном математическом анализе может быть определена без какой-либо ссылки на геометрию. Повсеместное распространение числа $π$ делает его одной из наиболее широко известных математических констант внутри и за пределами науки. Издано несколько книг, посвященных числу $π$ , а рекордные вычисления цифр $π$ часто попадают в заголовки новостей.

Основы

Имя

Символ, используемый математиками для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, — это строчная греческая буква $π$ , иногда записываемая как «пи». ^[8] В английском языке $π$ произносится как «пирог» ( / p aɪ / PY ). ^[9] В математическом использовании строчная буква $π$ отличается от ее заглавной и увеличенной аналогии $Π$ , которая обозначает произведение последовательности , аналогично тому, как $Σ$ обозначает суммирование .

Выбор символа $π$ обсуждается в разделе «Принятие символа $π»$ .

Определение

$π$ обычно определяется отношение окружности длины C : $d$ ее диаметру $как$ к ^[10] $\pi ={\frac {C}{d}}$

Соотношение ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ является постоянным, независимо от размера круга. Например, если диаметр круга в два раза больше диаметра другого круга, его окружность также будет в два раза больше, сохраняя соотношение ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ . Это определение $π$ неявно использует плоскую (евклидову) геометрию ; хотя понятие круга можно распространить на любую кривую (неевклидову) геометрию , эти новые круги больше не будут удовлетворять формуле ${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$ . ^[10]

Здесь длина окружности — это длина дуги по периметру круга, величина, которую можно формально определить независимо от геометрии с помощью пределов — понятия в исчислении . ^[11] Например, можно напрямую вычислить длину дуги верхней половины единичного круга, заданную в декартовых координатах уравнением ${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$ , как интеграл : ^[12] $\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

Такой интеграл был принят в качестве определения $π$ Карлом Вейерштрассом , который определил его непосредственно как интеграл в 1841 году. ^[б]

Интеграция больше не обычно используется в первом аналитическом определении, потому что, как Реммерт 2012 объясняет , дифференциальное исчисление обычно предшествует интегральному исчислению в университетской программе, поэтому желательно иметь определение $π$ , не опирающееся на последнее. Одно из таких определений принадлежит Ричарду Бальтцеру. ^[13] и популяризирован Эдмундом Ландау , ^[14] имеет следующий вид: $π$ — это удвоенное наименьшее положительное число, при котором косинус равен 0. ^[10]^[12]^[15] $π$ также является наименьшим положительным числом, при котором функция синуса равна нулю, и разницей между последовательными нулями функции синуса. Косинус и синус можно определить независимо от геометрии как степенной ряд : ^[16] или как решение дифференциального уравнения . ^[15]

Подобным же образом $π$ определить, используя свойства экспоненты комплексной $exp z$ комплексной можно переменной $z$ . Как и косинус, комплексная экспонента может быть определена одним из нескольких способов. Набор комплексных чисел, при которых $exp z$ равен единице, представляет собой (мнимую) арифметическую прогрессию вида: $\{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}$ и существует единственное положительное действительное число $π,$ обладающее этим свойством. ^[12]^[17]

Вариацией той же идеи, использующей сложные математические концепции топологии и алгебры , является следующая теорема: ^[18] существует единственный ( с точностью до автоморфизма ) непрерывный изоморфизм группы группа R / Z действительных чисел при сложении целых по модулю ( круга ) на мультипликативную группу комплексных чисел единицы . Тогда число $π$ определяется как половина величины производной этого гомоморфизма. ^[19]

Иррациональность и нормальность

$π$ — иррациональное число , то есть его нельзя записать как отношение двух целых чисел . Такие дроби, как $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 22/7 ⁠ и$ $⁠ 355/113 числа . ⁠$ обычно используются для аппроксимации $π$ , но никакая обыкновенная дробь (отношение целых чисел) не может быть его точным значением ^[20] Поскольку $число π$ иррационально, оно имеет бесконечное количество цифр в своем десятичном представлении и не превращается в бесконечно повторяющийся набор цифр. Есть несколько доказательств того, что $π$ иррационально ; они обычно требуют исчисления и полагаются на технику доведения до абсурда . Степень, в которой $π$ можно аппроксимировать рациональными числами (называемая мерой иррациональности ), точно не известна; оценки установили, что мера иррациональности больше меры $е$ или $ln 2$ , но меньше меры чисел Лиувилля . ^[21]

Цифры числа $π$ не имеют видимой закономерности и прошли тесты на статистическую случайность , включая тесты на нормальность ; Число бесконечной длины называется нормальным, когда все возможные последовательности цифр (любой заданной длины) встречаются одинаково часто. Гипотеза о том, что $π$ нормальна , не доказана и не опровергнута. ^[22]

С момента появления компьютеров стало доступно большое количество цифр числа $π$ для проведения статистического анализа. Ясумаса Канада провел подробный статистический анализ десятичных цифр числа $π$ и обнаружил, что они соответствуют нормальности; например, частоты десяти цифр от 0 до 9 были подвергнуты тестам статистической значимости , и никаких доказательств закономерности обнаружено не было. ^[23] Любая случайная последовательность цифр содержит подпоследовательности произвольной длины, которые кажутся неслучайными в соответствии с теоремой о бесконечных обезьянах . Таким образом, поскольку последовательность $цифр числа π$ проходит статистические тесты на случайность, она содержит некоторые последовательности цифр, которые могут показаться неслучайными, например последовательность из шести последовательных девяток , которая начинается с 762-го десятичного знака десятичного представления числа $π.$ . ^[24] это также называется «точкой Фейнмана» В математическом фольклоре в честь Ричарда Фейнмана , хотя никакой связи с Фейнманом не известно.

трансцендентность

Помимо того, что $π$ является иррациональным, оно также является трансцендентным числом , что означает, что оно не является решением какого-либо непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, такого как ${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$ . ^[25]^[с]

Трансцендентность $π$ имеет два важных последствия: во-первых, $π$ не может быть выражено с использованием какой-либо конечной комбинации рациональных чисел и квадратных корней или n корней -й степени (например, ${\sqrt[{3}]{31}}$ или ${\sqrt {10}}$ ). Во-вторых, поскольку ни одно трансцендентное число невозможно построить с помощью циркуля и линейки , невозможно « квадратировать круг ». Другими словами, невозможно с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. ^[26] Квадратура круга была одной из важных задач геометрии классической античности . ^[27] Математики-любители в наше время иногда пытались выровнять круг и добиться успеха, несмотря на то, что это математически невозможно. ^[28]^[29]

Непрерывные дроби

Как иррациональное число, $π$ не может быть представлено в виде обыкновенной дроби . Но каждое число, включая $π$ , может быть представлено бесконечной серией вложенных дробей, называемой непрерывной дробью : $\pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

Усечение цепной дроби в любой точке дает рациональное приближение для $π$ ; первые четыре из них — $3$ , $⁠ 22 / 7 ⁠$ , $⁠ 333/106 ⁠$ и $⁠ 355/113 ⁠$ . Эти числа являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений константы. Каждое приближение, полученное таким образом, является лучшим рациональным приближением; то есть каждая из них ближе к $π$ , чем любая другая дробь с тем же или меньшим знаменателем. ^[30] Поскольку $π$ трансцендентно, оно по определению не алгебраическое и поэтому не может быть квадратичным иррациональным числом . Следовательно, $π$ не может иметь периодическую цепную дробь . Хотя простая цепная дробь для $числа π$ (показанная выше) также не демонстрирует какой-либо другой очевидной закономерности, ^[31]^[32] несколько обобщенных цепных дробей , например: ^[33] ${\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

Середина из них принадлежит математику середины 17 века Уильяму Браункеру , см. § Формулу Браункера .

Примерное значение и цифры

Некоторые приближения числа Пи включают:

Целые числа : 3
Дроби : приблизительные дроби включают (в порядке возрастания точности) ⁠ 22 / 7 ⁠ , ⁠ 333 / 106 ⁠ , ⁠ 355 / 113 ⁠ , ⁠ 52163 / 16604 ⁠ , ⁠ 103993 / 33102 ⁠ , ⁠ 104348/33215 ⁠ и ⁠ 245850922 / 78256779 ⁠ . ^[30] (Список выбранных терминов из OEIS : A063674 и OEIS : A063673 .)
Цифры : первые 50 десятичных цифр: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^[34] (см. OEIS : A000796 )

Цифры в других системах счисления

Первые 48 двоичных цифр ( по основанию 2) (называемых битами ) равны 11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (см. OEIS : A004601 ).
Первые 38 цифр троичного числа (основание 3) — это 10,010 211 0122 220 102 110 021 111 102 212 222 201... (см. OEIS : A004602 ).
Первые 20 цифр в шестнадцатеричном формате (по основанию 16): 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^[35] (см. OEIS : A062964 )
Первые пять шестидесятеричных цифр (по основанию 60) — это 3;8,29,44,0,47. ^[36] (см. OEIS : A060707 )

Комплексные числа и тождество Эйлера

Любое комплексное число , например $z$ , можно выразить с помощью пары действительных чисел . В полярной системе координат одно число ( радиус или $r$ ) используется для обозначения $начала$ расстояния z от комплексной плоскости , а другое (угол или $φ$ против часовой стрелки ) — для вращения от положительной действительной линии: ^[37] $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),$ где $я$ - мнимая единица, удовлетворяющая $i^{2}=-1$ . Частое появление $π$ в комплексном анализе может быть связано с поведением показательной функции комплексной переменной, описываемой формулой Эйлера : ^[38] $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,$ где константа $e$ является основанием натурального логарифма . Эта формула устанавливает соответствие между мнимыми степенями $e$ и точками единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости. Параметр $\phi =\pi$ в формуле Эйлера приводит к тождеству Эйлера , известному в математике благодаря тому, что оно содержит пять важных математических констант: ^[38]^[39] $e^{i\pi }+1=0.$

Существует $n$ различных комплексных чисел $z,$ удовлетворяющих $z^{n}=1$ , и они называются « $корнями n-й$ степени из единицы ». ^[40] и определяются по формуле: $e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).$

История

Античность

Самые известные приближения к $π$ датировке до нашей эры были с точностью до двух десятичных знаков; это было улучшено в китайской математике , особенно к середине первого тысячелетия, до точности семи десятичных знаков.После этого дальнейшего прогресса не наблюдалось до периода позднего средневековья.

Самые ранние письменные приближения числа $π$ найдены в Вавилоне и Египте, оба в пределах одного процента от истинного значения. В Вавилоне на глиняной табличке , датированной 1900–1600 гг. до н.э., есть геометрическое утверждение, которое косвенно трактует $π$ как ⁠ 25 / 8 ⁠ = 3.125. ^[41] В Египте папирус Ринда , датированный примерно 1650 г. до н. э., но скопированный из документа, датированного 1850 г. до н. э., содержит формулу площади круга, в которой $число π$ рассматривается как ${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$ . ^[32]^[41] Хотя некоторые пирамидологи предполагают, что Великая пирамида в Гизе была построена с пропорциями, связанными с числом $π$ , эта теория не получила широкого признания учёных. ^[42]В «Шульба-сутрах» индийской математики , относящихся к устной традиции первого или второго тысячелетия до нашей эры, даны приближения, которые по-разному интерпретировались как примерно 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 или 3,125. ^[43]

Эпоха аппроксимации полигонов

Первым зарегистрированным алгоритмом строгого вычисления значения $π$ был геометрический подход с использованием многоугольников, изобретенный около 250 г. до н.э. греческим математиком Архимедом и реализовавший метод истощения . ^[44] Этот полигональный алгоритм доминировал более 1000 лет, и в результате $π$ иногда называют постоянной Архимеда. ^[45] Архимед вычислил верхнюю и нижнюю границы числа $π,$ нарисовав правильный шестиугольник внутри и снаружи круга и последовательно удваивая количество сторон, пока не достиг 96-стороннего правильного многоугольника. Вычислив периметры этих многоугольников, он доказал, что $⁠ 223 / 71 ⁠ < π < ⁠ 22/7 π ⁠ ( то$ есть $3,1408 < < 3,1429$ ). ^[46] Верхняя граница Архимеда $⁠ 22/7 что ⁠,$ возможно, привело к широко распространенному мнению, $π$ равно $⁠ 22 / 7 ⁠$ . ^[47] Около 150 года нашей эры греко-римский ученый Птолемей в своем «Альмагесте » дал значение $π$ , равное 3,1416, которое он, возможно, получил от Архимеда или от Аполлония Пергского . ^[48]^[49] Математики, использующие полигональные алгоритмы, достигли 39 цифр числа $π$ в 1630 году, рекорд был побит только в 1699 году, когда с помощью бесконечных рядов было получено 71 цифра. ^[50]

В древнем Китае значения $π$ включали 3,1547 (около 1 года нашей эры), ${\sqrt {10}}$ (100 г. н. э., примерно 3.1623 г.) и $⁠ 142/45 ⁠ . ($ 3 век, примерно 3.1556) ^[51] Около 265 года нашей эры из Королевства Вэй математик Лю Хуэй создал итерационный алгоритм на основе многоугольников и использовал его с многоугольником с 3072 сторонами, чтобы получить значение $π$ , равное 3,1416. ^[52]^[53] Позже Лю изобрел более быстрый метод вычисления числа $π$ и получил значение 3,14 для 96-стороннего многоугольника, воспользовавшись тем фактом, что различия в площади последовательных многоугольников образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 4. ^[52] Китайский математик Цзу Чунчжи около 480 года нашей эры подсчитал, что $3.1415926<\pi <3.1415927$ и предложил приближения ${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$ и ${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$ , который он назвал Милю («близкое соотношение») и Юэлю («приблизительное соотношение») соответственно, используя алгоритм Лю Хуэя, примененный к многоугольнику с 12 288 сторонами. При правильном значении семи первых десятичных цифр это значение оставалось самое точное приближение $π$ , доступное на следующие 800 лет. ^[54]

Индийский астроном Арьябхата использовал значение 3,1416 в своей «Арьябхатия» (499 г. н.э.). ^[55] Фибоначчи в c. 1220 вычислил 3,1418, используя полигональный метод, независимый от Архимеда. ^[56] Итальянский писатель Данте , очевидно, использовал значение ${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$ . ^[56]

Персидский астроном Джамшид аль-Каши в 1424 году получил девять шестидесятеричных цифр, что примерно соответствует 16 десятичным цифрам, используя многоугольник с ${\textstyle 3\times 2^{28}}$ стороны, ^[57]^[58] который оставался мировым рекордом около 180 лет. ^[59] Французский математик Франсуа Вьет в 1579 году получил девять цифр с помощью многоугольника ${\textstyle 3\times 2^{17}}$ стороны. ^[59] Фламандский математик Адриан ван Ромен в 1593 году достиг 15 десятичных знаков. ^[59] В 1596 году голландский математик Людольф ван Сеулен достиг 20 цифр, позже этот рекорд он увеличил до 35 цифр (в результате $π$ до начала 20 века в Германии называлось «числом Людольфа»). ^[60] Голландский ученый Виллеброрд Снеллиус достиг 34 цифр в 1621 году. ^[61] и австрийский астроном Кристоф Гринбергер в 1630 году пришли к 38 цифрам, используя 10 ⁴⁰ стороны. ^[62] Христиан Гюйгенс смог получить 10 десятичных знаков в 1654 году, используя немного другой метод, эквивалентный экстраполяции Ричардсона . ^[63]^[64]

Бесконечная серия

Вычисление числа $π$ произвело революцию благодаря развитию методов бесконечных рядов в 16 и 17 веках. Бесконечная серия – это сумма членов бесконечной последовательности . Бесконечные ряды позволили математикам вычислить $число π$ с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, использовавшие геометрические методы. ^[65] Хотя бесконечные ряды использовались для определения $числа π,$ в первую очередь, европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц , этот подход также появился в школе Кералы где-то в 14 или 15 веке. ^[66]^[67] Около 1500 года нашей эры письменное описание бесконечного ряда, который можно было использовать для вычисления числа $π,$ было изложено в санскритских стихах в «Тантрасамграхе» Нилакантхи Сомаяджи . ^[66] Серия представлена без доказательств, но доказательства представлены в более поздней работе «Юктибхаша» примерно 1530 года нашей эры. Описаны несколько бесконечных рядов, включая ряды для синуса (который Нилакантха приписывает Мадхаве из Сангамаграмы ), косинуса и арктангенса, которые теперь иногда называют рядами Мадхавы . Ряд арктангенса иногда называют рядом Грегори или рядом Грегори – Лейбница. ^[66] Мадхава использовал бесконечный ряд, чтобы оценить число $π$ до 11 цифр около 1400 года. ^[68]

В 1593 году Франсуа Вьет опубликовал то, что сейчас известно как формула Вьета , бесконечное произведение (а не бесконечная сумма , которая чаще используется в $вычислениях π$ ): ^[69]^[70]^[71] ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$

В 1655 году Джон Уоллис опубликовал то, что сейчас известно как произведение Уоллиса , также бесконечное произведение: ^[69] ${\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots$

Официальный портрет мужчины с длинными волосами. — Исаак Ньютон использовал бесконечные ряды для вычисления числа $π$ до 15 цифр, позже написав: «Мне стыдно рассказывать вам, до скольких цифр я провел эти вычисления». ^[72]

В 1660-х годах английский учёный Исаак Ньютон и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли исчисление , что привело к разработке множества бесконечных рядов для аппроксимации $числа π$ . Сам Ньютон использовал арксинусный ряд для вычисления 15-значного приближения числа $π$ в 1665 или 1666 годах, написав: «Мне стыдно сказать вам, к скольким цифрам я провел эти вычисления, не имея в то время других дел». ^[72]

В 1671 году Джеймс Грегори и независимо Лейбниц в 1673 году открыли в ряд Тейлора разложение арктангенса : ^[66]^[73]^[74] $\arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots$

Этот ряд, иногда называемый рядом Грегори-Лейбница , равен ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ при оценке с $z=1$ . ^[74] Но для $z=1$ , он сходится непрактично медленно (то есть приближается к ответу очень постепенно), требуя примерно в десять раз больше членов для вычисления каждой дополнительной цифры. ^[75]

В 1699 году английский математик Абрахам Шарп использовал ряд Грегори-Лейбница для ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ вычислить $π$ до 71 цифры, побив предыдущий рекорд в 39 цифр, который был установлен с помощью полигонального алгоритма. ^[76]

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори-Лейбница для создания алгоритма, который сходился гораздо быстрее: ^[3]^[77]^[78] ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.$

С помощью этой формулы Мачин достиг 100 цифр числа $π$ . ^[79] Другие математики создали варианты, известные теперь как формулы типа Машины , которые использовались для установления нескольких последовательных рекордов по вычислению цифр числа $π$ . ^[80]^[79]

Исаак Ньютон ускорил сходимость ряда Грегори-Лейбница в 1684 году (в неопубликованной работе; другие независимо обнаружили результат): ^[81]

\arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots

Леонард Эйлер популяризировал эту серию в своем учебнике по дифференциальному исчислению 1755 года, а позже использовал ее с формулами, подобными Машину, включая ${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$ с помощью которого он вычислил 20 цифр числа $π$ за один час. ^[82]

Машиноподобные формулы оставались самым известным методом расчета $π$ даже в эпоху компьютеров и использовались для установления рекордов в течение 250 лет, кульминацией которых стало 620-значное приближение в 1946 году Дэниела Фергюсона - лучшее приближение, достигнутое без посторонней помощи. счетного устройства. ^[83]

В 1844 году рекорд был установлен Захариасом Дазе , который применил подобную Машину формулу для вычисления в уме 200 десятичных знаков числа $π$ по указанию немецкого математика Карла Фридриха Гаусса . ^[84]

В 1853 году британский математик Уильям Шэнкс вычислил $число π$ до 607 цифр, но допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными. Хотя в 1873 году он вычислил еще 100 цифр, доведя общее число до 707, его предыдущая ошибка также сделала все новые цифры неверными. ^[85]

Скорость сходимости

Некоторые бесконечные ряды для $π$ сходятся быстрее других. Учитывая выбор двух бесконечных рядов для $π$ , математики обычно будут использовать тот, который сходится быстрее, потому что более быстрая сходимость уменьшает объем вычислений, необходимых для вычисления $π$ с любой заданной точностью. ^[86] Простой бесконечный ряд для $π$ — это ряд Грегори–Лейбница : ^[87] $\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots$

По мере того, как к сумме добавляются отдельные члены этого бесконечного ряда, общая сумма постепенно приближается к $π$ и – при достаточном количестве членов – может приблизиться к $π$ настолько, насколько это необходимо. Однако он сходится довольно медленно – после 500 000 членов он дает только пять правильных десятичных цифр $π$ . ^[88]

Бесконечный ряд для $π$ (опубликованный Нилакантой в 15 веке), который сходится быстрее, чем ряд Грегори – Лейбница: ^[89]^[90] $\pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots$

В следующей таблице сравниваются скорости сходимости этих двух рядов:

Бесконечный ряд для $π$	После 1-го семестра	После 2-го семестра	После 3-го срока	После 4-го семестра	После 5-го семестра	Сходится к:
$\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots$	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	$π$ = 3,1415...
$\pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-\cdots$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...	$π$ = 3,1415...

После пяти членов сумма ряда Грегори-Лейбница находится в пределах 0,2 от правильного значения $π$ , тогда как сумма ряда Нилаканты находится в пределах 0,002 от правильного значения. Ряд Нилаканты сходится быстрее и более полезен для вычисления цифр числа $π$ . Ряды, которые сходятся еще быстрее, включают ряды Мачина и ряды Чудновского , последний дает 14 правильных десятичных цифр за член. ^[86]

Иррациональность и трансцендентность

Не все математические достижения, связанные с $π,$ были направлены на повышение точности приближений. Когда Эйлер в 1735 году решил Базельскую задачу , найдя точное значение суммы обратных квадратов, он установил связь между $π$ и простыми числами , что впоследствии способствовало разработке и изучению дзета-функции Римана : ^[91]

${\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots$

Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт в 1768 году доказал, что $π$ иррационально число , то есть оно не равно частному двух целых чисел. ^[20] В доказательстве Ламберта использовалось представление касательной функции в виде цепной дроби. ^[92] Французский математик Адриен-Мари Лежандр в 1794 году доказал, что $π$ ² также иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что $π$ трансцендентно число . ^[93] подтверждая гипотезу Лежандра и Эйлера. ^[94]^[95] Харди и Райт заявляют, что «доказательства впоследствии были изменены и упрощены Гильбертом, Гурвицем и другими авторами». ^[96]

Принятие символа $π$

Самое раннее известное использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было сделано валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году.

Леонард Эйлер популяризировал использование греческой буквы π в работах, которые он опубликовал в 1736 и 1748 годах.

В самых ранних обычаях греческая буква $π$ использовалась для обозначения полупериметра ( полупериферии на латыни) круга. ^[8] и объединялся в соотношениях с $δ$ (для диаметра или полудиаметра) или $ρ$ (для радиуса ), чтобы сформировать константы окружности. ^[97]^[98]^[99]^[100] (Раньше математики иногда использовали вместо них такие буквы, как $c$ или $p$ . ^[101]) Первое зарегистрированное использование — это « Отреда » $\delta .\pi$ " , чтобы выразить соотношение периферии и диаметра в 1647 и более поздних изданиях Clavis Mathematicae . ^[102]^[101] Барроу также использовал " ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$ " для представления константы $3,14...$ , ^[103] в то время как Грегори вместо этого использовал " ${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$ " чтобы представить $6,28...$ . ^[104]^[99]

Самое раннее известное использование одной только греческой буквы $π$ для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было осуществлено валлийским математиком Уильямом Джонсом в его работе 1706 года Synopsis Palmariorum Matheseos ; или Новое введение в математику . ^[3]^[105] Греческая буква появляется на стр. 243 во фразе " ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$ Периферия ( $π$ )», рассчитанная для круга радиусом один. Однако Джонс пишет, что его уравнения для $π$ взяты из «готового пера поистине гениального мистера Джона Мэчина », что приводит к предположению, что Мачин, возможно, использовал греческую букву. перед Джонсом. ^[101] Обозначение Джонса не было сразу принято другими математиками, а обозначение дробей все еще использовалось даже в 1767 году. ^[97]^[106]

Эйлер начал использовать однобуквенную форму, начиная с своего «Опыта, объясняющего свойства воздуха» 1727 года , хотя в этой и некоторых более поздних работах он использовал $π = 6,28...$ , отношение периферии к радиусу. ^[107]^[108] Эйлер впервые использовал $число π$ = 3,14... в своей работе «Механика» 1736 года . ^[109] и продолжил в своей широко читаемой работе 1748 года Introductio in analysin infinitorum (он писал: «для краткости мы запишем это число как $π$ ; таким образом, $π$ равно половине длины окружности радиуса $1$ »). ^[110] Поскольку Эйлер активно переписывался с другими математиками в Европе, использование греческой буквы быстро распространилось, и с тех пор эта практика получила повсеместное распространение в западном мире . ^[101] хотя определение все еще варьировалось от $3,14...$ до $6,28...$ даже в 1761 году. ^[111]

Современный поиск большего количества цифр

Компьютерная эра и итеративные алгоритмы

Итерационный алгоритм Гаусса – Лежандра :
Инициализировать $\textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.$ Итерировать $\textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},$ $\textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.$ Тогда оценка для $π$ дается выражением $\textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.$

Развитие компьютеров в середине 20-го века снова произвело революцию в поиске цифр числа $π$ . Математики Джон Ренч и Леви Смит в 1949 году с помощью настольного калькулятора достигли 1120 цифр. ^[112] Используя бесконечный ряд обратного тангенса (арктана), команда под руководством Джорджа Райтвизнера и Джона фон Неймана в том же году достигла 2037 цифр с помощью расчета, который занял 70 часов компьютерного времени на компьютере ENIAC . ^[113]^[114] Рекорд, всегда основанный на арктанном ряду, неоднократно побивался (3089 цифр в 1955 г., ^[115] 7480 цифр в 1957 г.; 10 000 цифр в 1958 году; 100 000 цифр в 1961 году), пока в 1973 году не было достигнуто 1 миллион цифр. ^[113]

Два дополнительных события, произошедшие примерно в 1980 году, еще раз ускорили возможность вычисления $π$ . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов вычисления $π$ , которые были намного быстрее, чем бесконечные ряды; и, во-вторых, изобретение быстрых алгоритмов умножения , которые могли очень быстро умножать большие числа. ^[116] Такие алгоритмы особенно важны в современных $вычислениях π$ , поскольку большая часть времени компьютера посвящена умножению. ^[117] К ним относятся алгоритм Карацубы , умножение Тума-Кука и методы, основанные на преобразовании Фурье . ^[118]

Итеративные алгоритмы были независимо опубликованы в 1975–1976 годах физиком Юджином Саламином и учёным Ричардом Брентом . ^[119] Это позволяет избежать зависимости от бесконечных серий. Итерационный алгоритм повторяет определенное вычисление, каждая итерация использует выходные данные предыдущих шагов в качестве входных данных и выдает результат на каждом шаге, который сходится к желаемому значению. Этот подход был фактически изобретен более 160 лет назад Карлом Фридрихом Гауссом в том, что сейчас называется методом среднего арифметического геометрического (AGM-метод) или алгоритмом Гаусса-Лежандра . ^[119] В модификации Саламина и Брента он также называется алгоритмом Брента – Саламина.

Итеративные алгоритмы широко использовались после 1980 года, поскольку они быстрее, чем алгоритмы бесконечных рядов: в то время как бесконечные ряды обычно увеличивают количество правильных цифр аддитивно в последовательных терминах, итерационные алгоритмы обычно умножают количество правильных цифр на каждом шаге. Например, алгоритм Брента-Саламина удваивает количество цифр на каждой итерации. В 1984 году братья Джон и Питер Борвейн разработали итерационный алгоритм, который увеличивает количество цифр на каждом шаге в четыре раза; а в 1987 году — тот, который увеличивает количество цифр в пять раз на каждом этапе. ^[120] Итеративные методы использовались японским математиком Ясумасой Канадой, чтобы установить несколько рекордов по вычислению $числа π$ в период с 1995 по 2002 год. ^[121] За эту быструю сходимость приходится платить: итеративные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные серии. ^[121]

Мотивы вычисления $π$

Для большинства численных вычислений, включающих $π$ , несколько цифр обеспечивают достаточную точность. По мнению Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, тридцати девяти цифр достаточно для выполнения большинства космологических вычислений, поскольку именно такая точность необходима для расчета окружности наблюдаемой Вселенной с точностью до одного атома. Принимая во внимание дополнительные цифры, необходимые для компенсации ошибок округления в вычислениях , Арндт приходит к выводу, что нескольких сотен цифр будет достаточно для любого научного применения. Несмотря на это, люди усердно работали над вычислением $числа π$ до тысяч и миллионов цифр. ^[122] Частично эти усилия можно приписать человеческому стремлению бить рекорды, и подобные достижения с помощью $π$ часто попадают в заголовки газет по всему миру. ^[123]^[124] Они также имеют практическую пользу, например, тестирование суперкомпьютеров , тестирование алгоритмов численного анализа (включая алгоритмы высокоточного умножения ); и в самой чистой математике, предоставляя данные для оценки случайности цифр $π$ . ^[125]

Быстро сходящийся ряд

Современные $π-$ калькуляторы не используют исключительно итерационные алгоритмы. В 1980-х и 1990-х годах были открыты новые бесконечные ряды, которые работают так же быстро, как итеративные алгоритмы, но при этом проще и требуют меньше памяти. ^[121] Быстрые итерационные алгоритмы были ожидаемы в 1914 году, когда индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовал десятки инновационных формул для $числа π$ , отличавшихся элегантностью, математической глубиной и быстрой сходимостью. ^[126] Одна из его формул, основанная на модульных уравнениях , такова: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, чем большинство арктанцевых рядов, включая формулу Мачина. ^[127] Билл Госпер был первым, кто использовал его для достижения успехов в вычислении числа $π$ , установив рекорд в 17 миллионов цифр в 1985 году. ^[128] Формулы Рамануджана предвосхитили современные алгоритмы, разработанные братьями Борвейн ( Джонатаном и Питером ) и братьями Чудновскими . ^[129] Формула Чудновского, разработанная в 1987 году: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.$

Он производит около 14 цифр $π$ за термин. ^[130] и использовался для нескольких рекордных $расчетов π$ , включая первый, превысивший 1 миллиард (10 ⁹) цифр в 1989 году братьев Чудновских, 10 триллионов (10 ¹³) цифры 2011 года Александра Йи и Сигэру Кондо, ^[131] и «100 триллионов цифр» Эммы Харуки Ивао в 2022 году. ^[132] Похожие формулы см. также в серии Рамануджана-Сато .

В 2006 году математик Саймон Плуфф использовал алгоритм целочисленных отношений PSLQ. ^[133] сгенерировать несколько новых формул для $π$ , соответствующих следующему шаблону: $\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),$ где $q$ - это $e п$ (константа Гельфонда), $k$ — нечетное число , а $a, b, c$ — некоторые рациональные числа, вычисленные Плуффом. ^[134]

Методы Монте-Карло

Игла Бюффона . Иглы a и b выпадают случайным образом.

Случайные точки расставлены на квадрате и вписанном внутрь круге.

Методы Монте-Карло , которые оценивают результаты нескольких случайных испытаний, могут использоваться для создания аппроксимаций $π$ . ^[135] Игла Бюффона — один из таких приемов: если иглу длиной $ℓ$ бросить $n$ раз на поверхность, на которой проведены параллельные линии на расстоянии $t$ единиц друг от друга, и если $x$ из этих раз она останавливается, пересекая линию ( $x$ > 0), то можно аппроксимировать $π$ на основе подсчетов: ^[136] $\pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.$

Другой метод Монте-Карло для вычисления числа $π$ — нарисовать круг, вписанный в квадрат, и случайным образом расставить точки в квадрате. Отношение точек внутри круга к общему количеству точек будет примерно равно $π/4$ . ^[137]

Другой способ вычислить $π$ с использованием вероятности — начать со случайного блуждания , генерируемого последовательностью (честных) подбрасываний монеты: независимых случайных величин $X k$ таких, что $X k \in {-1,1}$ с равными вероятностями. Соответствующее случайное блуждание $W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}$ так что для каждого $W$ n $n получается$ из сдвинутого и масштабированного биномиального распределения . При $n$ изменении $W n$ определяет (дискретный) случайный процесс . Тогда $π$ можно вычислить по формуле ^[138] $\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.$

Этот метод Монте-Карло не зависит от какого-либо отношения к окружностям и является следствием центральной предельной теоремы , обсуждаемой ниже .

Эти методы Монте-Карло для аппроксимации числа $π$ очень медленны по сравнению с другими методами и не дают никакой информации о точном количестве получаемых цифр. Таким образом, они никогда не используются для аппроксимации $числа π$ , когда требуется скорость или точность. ^[139]

Алгоритмы патрубка

В 1995 году были открыты два алгоритма, которые открыли новые возможности исследования $π$ . Их называют алгоритмами крана , потому что, подобно воде, капающей из крана , они выдают однозначные числа $π$ , которые не используются повторно после расчета. ^[140]^[141] В этом отличие от бесконечных серий или итеративных алгоритмов, которые сохраняют и используют все промежуточные цифры до тех пор, пока не будет получен окончательный результат. ^[140]

Математики Стэн Вагон и Стэнли Рабинович в 1995 году разработали простой алгоритм с патрубком. ^[141]^[142]^[143] Его скорость сравнима с алгоритмами арктанга, но не так быстро, как итеративные алгоритмы. ^[142]

Другой алгоритм патрубка, BBP алгоритм извлечения цифр , был открыт в 1995 году Саймоном Плуффом: ^[144]^[145] $\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).$

Эта формула, в отличие от других, предшествующих ей, может дать любую отдельную шестнадцатеричную цифру числа $π,$ не вычисляя все предыдущие цифры. ^[144] Отдельные двоичные цифры могут быть извлечены из отдельных шестнадцатеричных цифр, а восьмеричные цифры могут быть извлечены из одной или двух шестнадцатеричных цифр. Важным применением алгоритмов извлечения цифр является проверка новых утверждений о вычислениях записи $π$ : после того, как заявлена новая запись, десятичный результат преобразуется в шестнадцатеричный, а затем алгоритм извлечения цифр используется для вычисления нескольких случайно выбранных шестнадцатеричных цифр ближе к концу. ; если они совпадают, это дает меру уверенности в том, что все вычисления верны. ^[131]

В период с 1998 по 2000 год распределенных вычислений проект PiHex использовал формулу Белларда (модификация алгоритма BBP) для вычисления квадриллионной доли (10 ¹⁵th) бит числа $π$ , который оказался равен 0. ^[146] В сентябре 2010 года Yahoo! компании Сотрудник использовал приложение Hadoop на тысяче компьютеров в течение 23 дней, чтобы вычислить 256 бит числа $π$ в двухквадриллионной (2×10) ¹⁵th) бит, который тоже бывает нулевым. ^[147]

В 2022 году Плуфф нашел алгоритм с основанием 10 для вычисления цифр числа $π$ . ^[148]

Роль и характеристики в математике

Поскольку $число π$ тесно связано с кругом, оно встречается во многих формулах из области геометрии и тригонометрии, особенно в тех, которые касаются кругов, сфер или эллипсов. Другие отрасли науки, такие как статистика, физика, анализ Фурье и теория чисел, также включают $π$ в некоторые из своих важных формул.

Геометрия и тригонометрия

$π$ появляется в формулах для площадей и объемов геометрических фигур, основанных на кругах, таких как эллипсы , сферы , конусы и торы . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных формул, в которых используется $π$ . ^[149]

Длина окружности радиуса $r$ равна $2π r$ .
Площадь круга радиуса $r$ равна $π r 2$ .
Площадь эллипса с большой полуосью $a$ и малой полуосью $b$ равна $π ab$ .
Объем сферы радиуса $r$ равен $⁠ 4 / 3 ⁠ π r 3$ .
Площадь поверхности сферы радиуса $r$ равна $4π r. 2$ .

Некоторые из приведенных выше формул являются частными случаями объема n -мерного шара и площади поверхности его границы, ( n −1)-мерной сферы , приведенных ниже .

Помимо кругов, существуют и другие кривые постоянной ширины . По теореме Барбье периметр каждой кривой постоянной ширины равен $π,$ умноженному на ее ширину. Треугольник Рело (образованный пересечением трех кругов, радиусы которых являются сторонами равностороннего треугольника ) имеет наименьшую возможную площадь при своей ширине, а круг - наибольшую. Существуют также некруговые гладкие и даже алгебраические кривые постоянной ширины. ^[150]

Определенные интегралы , описывающие окружность, площадь или объем фигур, созданных кругами, обычно имеют значения, включающие $π$ . Например, интеграл, определяющий половину площади круга радиуса один, определяется следующим образом: ^[151] $\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

В этом интеграле функция ${\sqrt {1-x^{2}}}$ представляет собой высоту над $x$ -ось полукруга ( квадратный корень является следствием теоремы Пифагора ), а интеграл вычисляет площадь под полукругом.

Единицы угла

Тригонометрические функции основаны на углах, и математики обычно используют радианы в качестве единиц измерения. $π$ играет важную роль в углах, измеряемых в радианах , которые определяются так, что полный круг охватывает угол в 2 $π$ радиан. Угловая мера 180° равна $π$ радиан, а 1° = $π$ /180 радиан . ^[152]

Общие тригонометрические функции имеют периоды, кратные $π$ ; например, синус и косинус имеют период 2 $π$ , ^[153] поэтому для любого угла $θ$ и любого целого $k$ числа ^[153] $\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).$

Собственные значения

Многие появления числа $π$ в формулах математики и естественных наук связаны с его тесной связью с геометрией. Однако $π$ появляется и во многих естественных ситуациях, по-видимому, не имеющих ничего общего с геометрией.

Во многих приложениях оно играет выдающуюся роль собственного значения . Например, идеализированную вибрирующую струну можно смоделировать как график функции $f$ на единичном интервале $[0, 1]$ с фиксированными концами $f (0) = f (1) = 0$ . Моды колебаний струны являются решениями дифференциального уравнения $f''(x)+\lambda f(x)=0$ , или $f''(t)=-\lambda f(x)$ . Таким образом, $λ$ второй производной. является собственным значением оператора $f\mapsto f''$ ограничивает его , и теория Штурма – Лиувилля принятием только определенных конкретных значений. Он должен быть положительным, так как оператор отрицательно определен , поэтому удобно писать $λ = ν 2$ , где $ν > 0$ называется волновым числом . Тогда $f (x) = sin(π x)$ удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению с $ν = π$ . ^[154]

Значение $π$ фактически является наименьшим из таких значений волнового числа и связано с основной формой колебаний струны. Один из способов показать это — оценить энергию , которая удовлетворяет неравенству Виртингера : ^[155] для функции $f:[0,1]\to \mathbb {C}$ с $f (0) = f (1) = 0$ и $f$ , $f'$ оба интегрируемы с квадратом , мы имеем: $\pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,$ с равенством именно тогда, когда $f$ кратно $sin(π x)$ . Здесь $π$ появляется как оптимальная константа в неравенстве Виртингера, и отсюда следует, что это наименьшее волновое число, если использовать вариационную характеристику собственного значения. Как следствие, $π$ — наименьшее сингулярное значение оператора производной в пространстве функций на $[0, 1],$ обращающихся в нуль на обоих концах ( пространство Соболева $H_{0}^{1}[0,1]$ ).

Неравенства

Число $π,$ которое служит, появляется в аналогичных задачах на собственные значения в многомерном анализе. Как упоминалось выше , ее можно охарактеризовать через роль лучшей константы в изопериметрическом неравенстве : площадь $A,$ ограниченная плоской жордановой кривой с периметром $P,$ удовлетворяет неравенству $4\pi A\leq P^{2},$ и равенство, очевидно, достигается для окружности, так как в этом случае $A = π r 2$ и $P знак равно 2π р$ . ^[157]

В конечном итоге, как следствие изопериметрического неравенства, $π$ появляется в оптимальной константе для критического неравенства Соболева в n измерениях, что, таким образом, характеризует роль $π$ и во многих физических явлениях, например, в классической теории потенциала . ^[158]^[159]^[160] В двух измерениях критическое неравенство Соболева имеет вид $2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}$ для f — гладкая функция с компактным носителем в $R 2$ , $\nabla f$ градиент f и , $\|f\|_{2}$ и $\|\nabla f\|_{1}$ относятся соответственно к $L 2$ и $Л 1$ -норма . Неравенство Соболева эквивалентно изопериметрическому неравенству (в любом измерении) с теми же лучшими константами.

Неравенство Виртингера также обобщается на многомерные неравенства Пуанкаре , которые обеспечивают наилучшие константы для энергии Дирихле n - мерной мембраны. В частности, $π$ — наибольшая константа такая, что $\pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}$ для всех выпуклых подмножеств $G$ в $R н$ диаметра 1 и интегрируемые с квадратом функции u на $G$ с нулевым средним значением. ^[161] Так же, как неравенство Виртингера является вариационной формой проблемы собственных значений Дирихле в одном измерении, неравенство Пуанкаре является вариационной формой проблемы собственных значений Неймана в любом измерении.

Преобразование Фурье и принцип неопределенности Гейзенберга

Константа $π$ также появляется как критический спектральный параметр в преобразовании Фурье . Это интегральное преобразование , которое преобразует комплекснозначную интегрируемую функцию $f$ на действительной прямой в функцию, определяемую как: ${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.$

Хотя существует несколько различных соглашений о преобразовании Фурье и обратном ему, любое такое соглашение должно $включать π$ где-то . Однако приведенное выше определение является наиболее каноническим, дающим единственный унитарный оператор на $L 2$ это также гомоморфизм алгебры $L 1$ в $Л \infty$ . ^[162]

Принцип неопределенности Гейзенберга также содержит число $π$ . Принцип неопределенности дает точную нижнюю границу степени, в которой можно локализовать функцию как в пространстве, так и по частоте: с нашими соглашениями о преобразовании Фурье $\left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.$

Физические последствия, касающиеся неопределенности при одновременном наблюдении положения и импульса квантово-механической системы, обсуждаются ниже . Появление $π$ в формулах анализа Фурье в конечном итоге является следствием теоремы Стоуна–фон Неймана , утверждающей единственность представления Шрёдингера группы Гейзенберга . ^[163]

Гауссовы интегралы

График функции Гаусса $ƒ (x) = e - х 2$ . Цветная область между функцией и *осью x* имеет площадь $\sqrt π$ .

В областях вероятности и статистики часто используется нормальное распределение как простая модель сложных явлений; например, ученые обычно предполагают, что ошибка наблюдения в большинстве экспериментов подчиняется нормальному распределению. ^[164] Функция Гаусса , которая представляет собой функцию плотности вероятности нормального распределения со средним значением $µ$ и стандартным отклонением $σ$ , естественно содержит $π$ : ^[165] $f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.$

Фактор ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ делает площадь под графиком $f$ равной единице, как это требуется для распределения вероятностей. Это следует из замены переменных в интеграле Гаусса : ^[165] $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}$ который говорит, что площадь под основной колоколообразной кривой на рисунке равна квадратному корню из $π$ .

Центральная предельная теорема объясняет центральную роль нормальных распределений и, следовательно $, π$ в вероятности и статистике. Эта теорема в конечном итоге связана со спектральной характеристикой π $как собственного значения, связанной с принципом неопределенности Гейзенберга, и$ с тем фактом, что равенство в принципе неопределенности выполняется только для функции Гаусса. ^[166] Эквивалентно, $π$ — это уникальная константа, составляющая нормальное распределение Гаусса $e. -π х 2$ равен его собственному преобразованию Фурье. ^[167] Действительно, согласно Хоу (1980) , «весь процесс» установления фундаментальных теорем анализа Фурье сводится к интегралу Гаусса. ^[163]

Топология

Константа $π$ появляется в формуле Гаусса – Бонне , которая связывает дифференциальную геометрию поверхностей с их топологией . В частности, если компактная поверхность $Σ$ имеет гауссовую кривизну K , то $\int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )$ где $χ (Σ)$ — эйлерова характеристика , являющаяся целым числом. ^[168] Примером может служить площадь поверхности сферы S кривизны 1 (так что ее радиус кривизны , совпадающий с ее радиусом, также равен 1.) Эйлерова характеристика сферы может быть вычислена из ее групп гомологии и оказывается равной равен двум. Таким образом, мы имеем $A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi$ воспроизводя формулу площади поверхности сферы радиуса 1.

Константа появляется во многих других интегральных формулах топологии, в частности, в тех, которые включают характеристические классы через гомоморфизм Черна – Вейля . ^[169]

Интегральная формула Коши

Сложные аналитические функции можно представить как совокупность линий тока и эквипотенциалов, систем кривых, пересекающихся под прямым углом. Здесь показан комплексный логарифм гамма-функции.

Одним из ключевых инструментов комплексного анализа является контурное интегрирование функции по положительно ориентированной ( спрямляемой ) жордановой кривой $γ$ . Форма интегральной формулы Коши гласит, что если точка $z 0$ находится внутри $γ$ , то ^[170] $\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.$

Хотя кривая $γ$ не является окружностью и, следовательно, не имеет какой-либо очевидной связи с константой $π$ , стандартное доказательство этого результата использует теорему Мореры , из которой следует, что интеграл инвариантен относительно гомотопии кривой, так что его можно деформируется в окружность, а затем явно интегрируется в полярных координатах. В более общем смысле верно, что если спрямляемая замкнутая кривая $γ$ не содержит $z 0$ , то указанный выше интеграл в $2π i$ раз превышает число витков кривой.

между значениями комплексной аналитической функции $f (z)$ на жордановой кривой $γ$ и значением $f (z)$ в любой внутренней точке $z0 кривой$ γ $Общий вид интегральной формулы Коши устанавливает связь$ : ^[171] $\oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})$ при условии, что $f (z)$ аналитична в области, ограниченной $γ$ , и непрерывно продолжается до $γ$ . Интегральная формула Коши является частным случаем теоремы о вычетах , согласно которой если $g (z)$ — мероморфная функция , область, заключенная в $γ$ , и непрерывна в окрестности $γ$ , то $\oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})$ сумма представляет собой вычеты в полюсах g $z () .$ где

Векторное исчисление и физика

Константа $π$ повсеместно встречается в векторном исчислении и теории потенциала , например, в законе Кулона . ^[172] Закон Гаусса , уравнения Максвелла и даже уравнения поля Эйнштейна . ^[173]^[174] Возможно, самым простым примером этого является двумерный ньютоновский потенциал , представляющий потенциал точечного источника в начале координат, связанное с ним поле имеет единичный поток наружу через любую гладкую и ориентированную замкнутую поверхность, окружающую источник: $\Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.$ Фактор $1/2\pi$ необходимо для того, чтобы гарантировать, что $\Phi$ является фундаментальным решением уравнения Пуассона в $\mathbb {R} ^{2}$ : ^[175] $\Delta \Phi =\delta$ где $\delta$ – дельта-функция Дирака .

В более высоких измерениях коэффициенты $π$ присутствуют из-за нормализации на n-мерный объем единичной n сферы . Например, в трех измерениях ньютоновский потенциал равен: ^[175] $\Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},$ который имеет в знаменателе двумерный объем (т.е. площадь) единичной 2-сферы.

Полная кривизна

При математическом исследовании дифференциальной геометрии кривых погруженной полная кривизна плоской длине кривой представляет собой интеграл от кривизны вдоль кривой, взятый по дуги :

\int _{a}^{b}k(s)\,ds=2\pi N.

Общая кривизна замкнутой кривой всегда является целым числом, кратным 2

π

, где N называется индексом кривой или числом поворота - это число витков единичного касательного вектора вокруг начала координат или, что то же самое, степень отображения. единичному кругу, присваивающему каждой точке кривой единичный вектор скорости в этой точке. Эта карта аналогична карте Гаусса для поверхностей.

Гамма-функция и приближение Стирлинга

Функция факториала $n!$ является произведением всех натуральных чисел до $n$ . Гамма -функция расширяет концепцию факториала (обычно определяемую только для неотрицательных целых чисел) на все комплексные числа, за исключением отрицательных действительных целых чисел, с тождеством $\Gamma (n)=(n-1)!$ . Когда гамма-функция оценивается как полуцелые числа, результат содержит $π$ . Например, $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ и ${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$ . ^[176]

Гамма-функция определяется разработкой продукта Вейерштрасса : ^[177] $\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}$ где $γ$ — постоянная Эйлера–Машерони . Вычисленное при $z = 1/2$ и возведенное в квадрат, уравнение $Γ(1/2) 2 = π$ сводится к формуле произведения Уоллиса. Гамма-функция также связана с дзета-функцией Римана и тождествами для функционального определителя , в котором константа $π$ играет важную роль .

функция используется для расчета объема $V n (r)$ n Гамма - -мерного шара радиуса r в евклидовом n -мерном пространстве и площади поверхности $S n -1 (r)$ его границы ( n −1 )-мерная сфера : ^[178] $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},$ $S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.$

следует Далее, из функционального уравнения , что $2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.$

Гамма-функция может использоваться для создания простой аппроксимации факториала $n!$ для большого $n$ : ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ которое известно как приближение Стирлинга . ^[179] Эквивалентно, $\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.$

В качестве геометрического применения приближения Стирлинга пусть $Δ n$ обозначает стандартный симплекс в n -мерном евклидовом пространстве, а $(n + 1)Δ n$ обозначает симплекс, все стороны которого увеличены в $n + 1$ раз . Затем $\operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.$

Гипотеза Эрхарта об объеме состоит в том, что это (оптимальная) верхняя граница объема выпуклого тела, содержащего только одну точку решетки . ^[180]

Теория чисел и дзета-функция Римана

Каждому простому числу соответствует группа Прюфера , которая является арифметической локализацией круга. L -функции аналитической теории чисел также локализованы в каждом простом числе p .

Решение Базельской проблемы с использованием гипотезы Вейля : значение $ζ (2)$ — это гиперболическая площадь фундаментальной области модулярной группы , умноженная на $π /2$ .

Дзета -функция Римана $ζ (s)$ используется во многих областях математики. При оценке при $s = 2$ это можно записать как $\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots$

Поиск простого решения для этого бесконечного ряда был знаменитой математической задачей, называемой Базельской проблемой . Леонард Эйлер решил ее в 1735 году, когда показал, что она равна $π. 2 /6$ . ^[91] Результат Эйлера приводит к результату теории чисел , согласно которому вероятность того, что два случайных числа будут относительно простыми (то есть не будут иметь общих множителей), равна $6/π. 2$ . ^[181]^[182] Эта вероятность основана на наблюдении, что вероятность того, что любое число делится на простое число $p,$ равна $1/ p$ (например, каждое седьмое целое число делится на 7). Следовательно, вероятность того, что два числа оба делятся на это простое число, равна $1. / п 2$ , и вероятность того, что хотя бы один из них не является таковым, равна $1 - 1/ p 2$ . Для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы; поэтому вероятность того, что два числа являются относительно простыми, определяется произведением всех простых чисел: ^[183] ${\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}$

Эту вероятность можно использовать вместе с генератором случайных чисел для аппроксимации $числа π$ с использованием подхода Монте-Карло. ^[184]

Решение Базельской проблемы подразумевает, что геометрически полученная величина $π$ глубоко связана с распределением простых чисел. Это частный случай гипотезы Вейля о числах Тамагавы , утверждающий равенство подобных таких бесконечных произведений арифметических величин, локализованных в каждом простом числе p , и геометрической величины: обратной объему некоторого локально симметричного пространства . В случае Базельской задачи это гиперболическое 3-многообразие $SL 2 (R) / SL 2 (Z)$ . ^[185]

Дзета-функция также удовлетворяет функциональному уравнению Римана, которое включает $π,$ а также гамма-функцию: $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).$

Кроме того, производная дзета-функции удовлетворяет условию $\exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.$

Следствием этого является то, что $π$ можно получить из функционального определителя гармонического осциллятора . Этот функциональный определитель можно вычислить посредством разложения произведения, и он эквивалентен формуле произведения Уоллиса. ^[186] Расчеты могут быть переработаны в квантовой механике , в частности, в вариационном подходе к спектру атома водорода . ^[187]

ряд Фурье

Константа $π$ также естественным образом появляется в рядах Фурье периодических функций . Периодические функции — это функции на группе $T = R / Z$ дробных частей действительных чисел. что комплекснозначная функция $f$ на $T$ может быть записана как бесконечная линейная суперпозиция унитарных характеров T $Разложение Фурье показывает ,$ . То есть непрерывные групповые гомоморфизмы из $T$ в группу окружностей $U (1)$ комплексных чисел с единичным модулем. Это теорема о том, что каждый характер $T$ является одной из комплексных экспонент. $e_{n}(x)=e^{2\pi inx}$ .

существует единственный характер $На T$ с точностью до комплексного сопряжения, который является групповым изоморфизмом. Используя меру Хаара на группе окружностей, константа $π$ равна половине величины производной Радона – Никодима этого характера. Остальные символы имеют производные, величины которых являются целыми положительными кратными 2 $π$ . ^[19] В результате константа $π$ является единственным числом таким, что группа T , снабженная своей мерой Хаара, является двойственной по Понтрягину решетке целых кратных 2 $π$ . ^[189] Это вариант одномерной формулы суммирования Пуассона .

Модульные формы и тэта-функции

Константа $π$ глубоко связана с теорией модулярных форм и тэта-функций . Например, алгоритм Чудновского существенным образом задействует j-инвариант эллиптической кривой .

Модульные формы — это голоморфные функции в верхней полуплоскости, характеризующиеся своими свойствами преобразования под действием модулярной группы. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ (или различные ее подгруппы), решетка в группе $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ . Примером может служить тета-функция Якоби. $\theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }$ это своего рода модульная форма, называемая формой Якоби . ^[190] Иногда это пишут с помощью нома $q=e^{\pi i\tau }$ .

Константа $π$ — это уникальная константа, которая делает тэта-функцию Якоби автоморфной формой , что означает, что она преобразуется определенным образом. Некоторые тождества справедливы для всех автоморфных форм. Примером является $\theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),$ из чего следует, что $θ$ преобразуется как представление дискретной группы Гейзенберга . Общие модулярные формы и другие тэта-функции также включают $π$ , опять-таки из-за теоремы Стоуна-фон Неймана . ^[190]

Распределение Коши и теория потенциала

Распределение Коши $g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}$ представляет собой функцию плотности вероятности . Полная вероятность равна единице благодаря интегралу: $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .$

Энтропия Шеннона распределения Коши равна $ln(4π)$ , что также включает $π$ .

Распределение Коши играет важную роль в теории потенциала , поскольку это простейшая мера Фюрстенберга , классическое ядро Пуассона , связанное с броуновским движением в полуплоскости. ^[191] Сопряженные гармонические функции , а также преобразование Гильберта связаны с асимптотикой ядра Пуассона. Преобразование Гильберта H — это интегральное преобразование, задаваемое главным значением Коши сингулярного интеграла. $Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.$

Константа $π$ — это уникальный (положительный) нормализующий фактор, такой, что H определяет линейную комплексную структуру в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом вещественных функций на действительной прямой. ^[192] Преобразование Гильберта, как и преобразование Фурье, можно охарактеризовать исключительно с точки зрения его свойств преобразования в гильбертовом пространстве $L. 2 (R)$ : с точностью до нормировочного множителя это единственный ограниченный линейный оператор, который коммутирует с положительными расширениями и антикоммутирует со всеми отражениями вещественной прямой. ^[193] Константа $π$ — это уникальный нормировочный множитель, который делает это преобразование унитарным.

В множестве Мандельброта

Появление числа $π$ во фрактале, называемом множеством Мандельброта, было обнаружено Дэвидом Боллом в 1991 году. ^[194] Он исследовал поведение набора Мандельброта вблизи «шеи» при $(-0,75, 0)$ . Когда количество итераций до расхождения для точки $(-0,75, ε)$ умножается на $ε$ , результат приближается к $π,$ когда $ε$ приближается к нулю. Точка $(0,25 + ε, 0)$ на вершине большой «долины» в правой части множества Мандельброта ведет себя аналогично: число итераций до тех пор, пока дивергенция, умноженная на квадратный корень из $ε,$ стремится к $π$ . ^[194]^[195]

Проективная геометрия

Пусть $V$ — множество всех дважды дифференцируемых действительных функций. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ удовлетворяющие обыкновенному дифференциальному уравнению $f''(x)+f(x)=0$ . Тогда $V$ — двумерное вещественное векторное пространство с двумя параметрами, соответствующими паре начальных условий дифференциального уравнения. Для любого $t\in \mathbb {R}$ , позволять $e_{t}:V\to \mathbb {R}$ быть функционалом оценки, который соответствует каждому $f\in V$ ценность $e_{t}(f)=f(t)$ функции $f$ в вещественной точке $t$ . Тогда t ядро для каждого $e_{t}$ — одномерное линейное подпространство $V$ . Следовательно $t\mapsto \ker e_{t}$ определяет функцию из $\mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)$ от действительной прямой к действительной проективной прямой . Эта функция периодическая, и величину $π$ можно охарактеризовать как период этого отображения. ^[196] Это примечательно тем, что в этом контексте естественным образом появляется константа $π$ , а не 2 $π$ .

Вне математики

Описание физических явлений

Хотя не является физической константой , $число π$ оно регулярно появляется в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы Вселенной, часто из-за $связи π$ с кругом и сферическими системами координат . Простая формула из области классической механики дает приблизительный период $Т$ простого маятника длины $L$ , качающегося с небольшой амплитудой ( $g$ — ускорение свободного падения Земли ): ^[197] $T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.$

Одной из ключевых формул квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга , который показывает, что неопределенность в измерении положения частицы (Δx $)$ и импульса (Δp $)$ не может одновременно быть сколь угодно малой (где $h$ — планковская постоянный ): ^[198] $\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.$

Тот факт, что $π$ примерно равно 3, играет роль в относительно длительном времени жизни ортопозитрония . Время жизни, обратное низшему порядку постоянной тонкой структуры $α$ , равно ^[199] ${\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},$ где $m e$ — масса электрона.

$π$ присутствует в некоторых формулах проектирования конструкций, таких как формула потери устойчивости , выведенная Эйлером, которая дает максимальную осевую нагрузку $F,$ которую может выдержать длинная тонкая колонна длиной $L$ , модуль упругости $E$ и момент инерции площади $I, которые$ могут нести без потери устойчивости. : ^[200] $F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.$

Область гидродинамики содержит $π$ в законе Стокса , который аппроксимирует силу трения $F,$ действующую на небольшие сферические объекты радиуса $R$ , движущиеся со скоростью $v$ в жидкости с динамической вязкостью $η$ : ^[201] $F=6\pi \eta Rv.$

В электромагнетике проницаемости вакуума константа ц ₀ появляется в уравнениях Максвелла , описывающих свойства электрических и магнитных полей и электромагнитного излучения . До 20 мая 2019 года он определялся именно как $\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.$

Запоминание цифр

Пифилология – это практика запоминания большого количества цифр числа $π$ . ^[202] мировые рекорды хранятся в Книге рекордов Гиннеса . Рекорд запоминания цифр числа $π$ , сертифицированный Книгой рекордов Гиннеса, составляет 70 000 цифр, произнесенный в Индии Раджвиром Миной за 9 часов 27 минут 21 марта 2015 года. ^[203] В 2006 году Акира Харагути , японский инженер на пенсии, заявил, что произнес 100 000 десятичных знаков, но это утверждение не было подтверждено Книгой рекордов Гиннеса. ^[204]

Один из распространенных методов — запомнить рассказ или стихотворение, в котором длины слов представляют собой цифры числа $π$ : в первом слове три буквы, во втором — одна, в третьем — четыре, в четвертом — одна, в пятом — пять и скоро. Такие средства запоминания называются мнемотехникой . Ранний пример мнемоники числа «пи», первоначально придуманной английским ученым Джеймсом Джинсом , звучит так: «Как мне хочется выпить, конечно, алкоголика, после тяжелых лекций по квантовой механике». ^[202] Когда используется стихотворение, его иногда называют пьесой . ^[205] Стихи для запоминания числа $π$ написаны не только на английском, но и на нескольких языках. ^[202] Рекордные $запоминатели π$ обычно не полагаются на стихи, а вместо этого используют такие методы, как запоминание числовых шаблонов и метод локусов . ^[206]

Некоторые авторы использовали цифры $π,$ чтобы создать новую форму ограниченного письма , где длины слов должны представлять цифры $π$ . Кадейская каденция содержит первые 3835 цифр числа $π$ таким образом: ^[207] а полноформатная книга Not a Wake содержит 10 000 слов, каждое из которых представляет одну цифру числа $π$ . ^[208]

В популярной культуре

Возможно, из-за простоты определения и повсеместного присутствия в формулах, $π$ было представлено в популярной культуре больше, чем другие математические конструкции. ^[209]

Во Дворце открытий (музее науки в Париже) есть круглая комната, известная как комната Пи . На его стене начертано 707 цифр числа $π$ . Цифры представляют собой большие деревянные символы, прикрепленные к куполообразному потолку. Цифры были основаны на расчете 1873 года английского математика Уильяма Шэнкса , который включал ошибку, начинающуюся с 528-й цифры. Ошибка была обнаружена в 1946 году и исправлена в 1949 году. ^[210]

В романе Карла Сагана » 1985 года «Контакт предполагается, что создатель Вселенной спрятал послание глубоко внутри цифр $π$ . Эта часть истории была исключена из экранизации романа. ^[211]^[212] Цифры $π$ также были включены в текст песни «Pi» из альбома Aerial « Кейт Буш » 2005 года . ^[213] В эпизоде Звездного пути 1967 года « Волк в загоне » вышедший из-под контроля компьютер удерживается с помощью инструкции «Вычислить до последней цифры значение $π$ ». ^[46]

В Соединенных Штатах День Пи выпадает на 14 марта (в американском стиле пишется 3/14) и популярен среди студентов. ^[46] $Число π$ и его цифровое представление часто используются самопровозглашенными « фанатами математики » для шуток среди групп с математическим и технологическим складом ума. , Приветствие колледжа которое по-разному приписывают Массачусетскому технологическому институту или Политехническому институту Ренсселера, включает «3.14159». ^[214]^[215] День Пи в 2015 году был особенно значимым, поскольку дата и время 14.03.15 9:26:53 отражали гораздо больше цифр числа Пи. ^[216]^[217] В тех частях мира, где даты обычно отмечаются в формате день/месяц/год, 22 июля представляет собой «День приближения числа Пи», поскольку 22/7 = 3,142857. ^[218]

Некоторые предложили заменить $π$ на $τ = 2 π$ , ^[219] утверждая, что $τ$ как число радиан за один оборот или отношение длины окружности к ее радиусу более естественно, чем $π$ , и упрощает многие формулы. ^[220]^[221] Такое использование $τ$ не вошло в основную математику. ^[222] но с 2010 года это привело к тому, что 28 июня люди празднуют День Двух Пи или День Тау. ^[223]

В 1897 году математик-любитель попытался убедить законодательный орган штата Индиана принять закон штата Индиана о Пи , который описывал метод квадратуры круга и содержал текст, подразумевающий различные неправильные значения числа $π$ , включая 3,2. Законопроект печально известен как попытка установить значение математической константы законодательным указом. Законопроект был принят Палатой представителей Индианы, но отклонен Сенатом и, таким образом, не стал законом. ^[224]

В компьютерной культуре

В современной интернет-культуре отдельные лица и организации часто отдают дань уважения числу $π$ . Например, ученый-компьютерщик Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы TeX приблизиться к $π$ . Версии: 3, 3.1, 3.14 и т. д. ^[225] $τ$ был добавлен в несколько языков программирования как предопределенная константа. ^[226]^[227]

См. также

Ссылки

Пояснительные примечания

^ В частности, $π$ предполагается, что — нормальное число , что подразумевает особый вид статистической случайности его цифр во всех основаниях.
^ Точный интеграл, который использовал Вейерштрасс, был $\pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.$ Реммерт 2012 , с. 148
^ Показанный полином представляет собой первые несколько членов в ряд Тейлора разложения синусоидальной функции .

Цитаты

^ Эндрюс, Аски и Рой 1999 , стр. 59.
^ Гупта, Р.К. (1992). «Об оставшемся члене серии Мадхавы-Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джонс, Уильям (1706). Краткое содержание Palmariorum Matheseos . Лондон: Дж. Уэйл. стр. 243 , 263 . п. 263: Существуют различные другие способы определения длин или площадей определенных кривых линий или плоскостей , которые могут очень облегчить практику; как, например, в Круге Диаметр равен Окружности как от 1 до
${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$
$3.14159 и т. д. = π$ . Эту серию (среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера Джона Мэчина ; и посредством него Ван Сеулена или число число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
Перепечатано в Смит, Дэвид Юджин (1929). «Уильям Джонс: первое использование числа $π$ для обозначения соотношения кругов» . Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.
^ "π ^и триллионы цифр числа π" . pi2e.ch. из Архивировано оригинала 6 декабря 2016 года.
^ Харука Ивао, Эмма (14 марта 2019 г.). «Пи в небе: вычисление рекордных 31,4 триллионов цифр постоянной Архимеда в Google Cloud» . Облачная платформа Google . Архивировано из оригинала 19 октября 2019 года . Проверено 12 апреля 2019 г.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 17.
^ Бейли, Дэвид Х.; Плуфф, Саймон М.; Борвейн, Питер Б.; Борвейн, Джонатан М. (1997). «В поисках ПИ». Математический интеллект . 19 (1): 50–56. CiteSeerX 10.1.1.138.7085 . дои : 10.1007/BF03024340 . ISSN 0343-6993 . S2CID 14318695 .
^ Jump up to: ^а ^б Отред, Уильям (1652). Теорема в книгах Архимеда о сфере и цилиндре декларативная (на латыни). Через Л. Личфилда они приходят к Т. Робинсону. $δ π$ :: полудиаметр полупериферия
^ «пи» . Словарь.reference.com. 2 марта 1993 года. Архивировано из оригинала 28 июля 2014 года . Проверено 18 июня 2012 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Арндт и Хенель 2006 , с. 8.
^ Апостол, Том (1967). Исчисление . Том. 1 (2-е изд.). Уайли. п. 102. С логической точки зрения это неудовлетворительно на современном этапе, поскольку мы еще не обсуждали понятие длины дуги.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Реммерт 2012 , с. 129.
^ Бальцер, Ричард (1870). ( на Элементы математики немецком языке). Хирзель. п. 195. Архивировано из оригинала 14 сентября 2016 года.
^ Ландау, Эдмунд (1934). Введение в дифференциальное исчисление и интегральное исчисление (на немецком языке). Нордофф. п. 193.
^ Jump up to: ^а ^б Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл. п. 183. ИСБН 978-0-07-054235-8 .
^ Рудин, Уолтер (1986). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 2.
^ Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 46.
^ Бурбаки, Николя (1981). Общая топология . Спрингер. §VIII.2.
^ Jump up to: ^а ^б Бурбаки, Николя (1979). Функции действительной переменной (на французском языке). Спрингер. §II.3.
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 5.
^ Салихов, В. (2008). «О мере иррациональности числа пи». Российские математические обзоры . 53 (3): 570–572. Бибкод : 2008РуМаС..63..570С . doi : 10.1070/RM2008v063n03ABEH004543 . ISSN 0036-0279 . S2CID 250798202 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 22–23.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 22, 28–30.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 3.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 6.
^ Посаментье и Леманн 2004 , с. 25
^ Эймар и Лафон 2004 , с. 129
^ Бекманн, Питер (1989) [1974]. История Пи . Пресса Святого Мартина. п. 37. ИСБН 978-0-88029-418-8 .
^ Шлагер, Нил; Лауэр, Джош (2001). Наука и ее времена: понимание социального значения научных открытий . Группа Гейл. ISBN 978-0-7876-3933-4 . Архивировано из оригинала 13 декабря 2019 года . Проверено 19 декабря 2019 г. , с. 185.
^ Jump up to: ^а ^б Эймар и Лафон 2004 , с. 78
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 33.
^ Jump up to: ^а ^б Моллин, Р.А. (1999). «Продолжительная дробь драгоценных камней». Новый архив по математике . 17 (3): 383–405. МР 1743850 .
^ Ланге, LJ (май 1999 г.). «Элегантная цепная дробь для $числа π$ ». Американский математический ежемесячник . 106 (5): 456–458. дои : 10.2307/2589152 . JSTOR 2589152 .
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 240.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 242.
^ Кеннеди, ЕС (1978). «Абу-р-Райхан аль-Бируни, 973–1048». Журнал истории астрономии . 9 : 65. Бибкод : 1978JHA.....9...65K . дои : 10.1177/002182867800900106 . S2CID 126383231 . Птолемей использовал трехшестидесятеричную аппроксимацию, а Джамшид аль-Каши расширил ее до девяти цифр; видеть Аабо, Асгер (1964). Эпизоды из ранней истории математики . Новая математическая библиотека. Том. 13. Нью-Йорк: Рэндом Хаус. п. 125. ИСБН 978-0-88385-613-0 . Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.
^ Абрамсон 2014 , Раздел 8.5: Полярная форма комплексных чисел .
^ Jump up to: ^а ^б Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 592
^ Маор, Эли (2009). Э: История числа . Издательство Принстонского университета. п. 160. ИСБН 978-0-691-14134-3 .
^ Эндрюс, Аски и Рой 1999 , стр. 14.
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 167.
^ Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье. стр. 67–77, 165–166. ISBN 978-0-88920-324-2 . Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года . Проверено 5 июня 2013 г.
^ Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. п. 27 . ISBN 978-0691120676 .
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 170.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 175, 205.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Борвейн, Джонатан М. (2014). «Жизнь $π$ : от Архимеда до ЭНИАКа и далее». В Сидоли, Натан; Ван Браммелен, Глен (ред.). Из Александрии через Багдад: Обзоры и исследования древнегреческих и средневековых исламских математических наук в честь Дж. Л. Берггрена . Гейдельберг: Спрингер. стр. 531–561. дои : 10.1007/978-3-642-36736-6_24 . ISBN 978-3-642-36735-9 . МР 3203895 .
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 171.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 176.
^ Бойер и Мерцбах 1991 , с. 168.
^ Arndt & Haenel 2006 , стр. 15–16, 175, 184–186, 205. Гринбергер достиг 39 цифр в 1630 году; Резкие 71 цифра в 1699 году.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 176–177.
^ Jump up to: ^а ^б Бойер и Мерцбах 1991 , с. 202
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 177.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 178.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 179.
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 180.
^ Азарян, Мохаммад К. (2010). «Ар-Рисала аль-мухитийя: Краткое изложение» . Миссурийский журнал математических наук . 22 (2): 64–85. дои : 10.35834/mjms/1312233136 .
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). «Гийат ад-Дин Джамшид Масуд аль-Каши» . MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 12 апреля 2011 года . Проверено 11 августа 2012 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Арндт и Хенель 2006 , с. 182.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 182–183.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 183.
^ Гринбергерус, Христофор (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (на латыни). Архивировано из оригинала (PDF) 1 февраля 2014 года. Его оценка: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < $π$ < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 9.
^ Брезински, К. (2009). «Некоторые пионеры методов экстраполяции». В Бултиле, Адемаре ; Кулс, Рональд (ред.). Рождение численного анализа . Всемирная научная. стр. 1–22. дои : 10.1142/9789812836267_0001 . ISBN 978-981-283-625-0 .
^ Йодер, Джоэлла Г. (1996). «По следам геометрии: Математический мир Христиана Гюйгенса» . Де Зевентьенде Эув . 12 : 83–93 - через Цифровую библиотеку голландской литературы .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 185–191.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Рой, Ранджан (1990). «Открытие $формулы ряда для числа π$ Лейбницем, Грегори и Нилакантой » (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 185–186.
^ Джозеф, Джордж Гевергезе (1991). Герб павлина: неевропейские корни математики . Издательство Принстонского университета. п. 264. ИСБН 978-0-691-13526-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 187.
^ ОЭИС : A060294
^ Жизнь, Фрэнсис (1593). Ответы на различные математические вопросы . Том. VIII.
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 188. Ньютон, цитата Арндта.
^ Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевой квадратуре круга» (PDF) . Анналы Будапештского университета наук (компьютерный раздел) . 4 : 75–83.
^ Jump up to: ^а ^б Эймар и Лафон 2004 , стр. 53–54.
^ Кукер, MJ (2011). «Быстрые формулы для медленно сходящихся знакопеременных рядов» (PDF) . Математический вестник . 95 (533): 218–226. дои : 10.1017/S0025557200002928 . S2CID 123392772 . Архивировано из оригинала 4 мая 2019 года . Проверено 23 февраля 2023 г. {{cite journal}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 189.
^ Тведдл, Ян (1991). «Джон Мачин и Роберт Симсон о ряде по обратным касательным для $числа π$ ». Архив истории точных наук . 42 (1): 1–14. дои : 10.1007/BF00384331 . JSTOR 41133896 . S2CID 121087222 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 192–193.
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель, 2006 , стр. 72–74.
^ Лемер, Д.Х. (1938). «Об арккотангенсных отношениях для $π$ » (PDF) . Американский математический ежемесячник . 45 (10): 657–664 Опубликовано: Математической ассоциацией Америки. дои : 10.1080/00029890.1938.11990873 . JSTOR 2302434 .
^ Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и произведения в развитии математики . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 215–216, 219–220.
Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4, 1674–1684. Издательство Кембриджского университета. стр. 526–653.
^ Сандифер, Эд (2009). «Оценка π» (PDF) . Как Эйлер это сделал . Перепечатано в Как Эйлер сделал еще больше . Математическая ассоциация Америки. 2014. С. 109–118.
Эйлер, Леонард (1755). «§2.2.30» . Институты дифференциального исчисления (на латыни). Academia Imperiale Scientiarum Petropolitana. п. 318. Е 212
Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Исследование некоторых рядов, наиболее приспособленных к отношению длины окружности к приблизительному диаметру » . Новые известия Петрополитической академии наук . 11 : 133–149, 167–168. Е 705
Чиен-Ли, Хван (2004). «88.38 Некоторые наблюдения о методе арктангенсов для расчета $π$ ». Математический вестник . 88 (512): 270–278. дои : 10.1017/S0025557200175060 . S2CID 123532808 .
Чиен-Ли, Хван (2005). «89.67 Элементарный вывод ряда Эйлера для арктангенса». Математический вестник . 89 (516): 469–470. дои : 10.1017/S0025557200178404 . S2CID 123395287 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 192–196, 205.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 194–196.
^ Хейс, Брайан (сентябрь 2014 г.). «Карандаш, бумага и Пи» . Американский учёный . Том. 102, нет. 5. с. 342. дои : 10.1511/2014.110.342 . Проверено 22 января 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Борвейн, Дж. М.; Борвейн, П.Б. (1988). «Рамануджан и Пи». Научный американец . 256 (2): 112–117. Бибкод : 1988SciAm.258b.112B . doi : 10.1038/scientificamerican0288-112 .
Арндт и Хенель 2006 , стр. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 69–72.
^ Борвейн, Дж. М.; Борвейн, ПБ; Дилчер, К. (1989). «Пи, числа Эйлера и асимптотические разложения». Американский математический ежемесячник . 96 (8): 681–687. дои : 10.2307/2324715 . hdl : 1959.13/1043679 . JSTOR 2324715 .
^ Арндт и Хенель 2006 , Формула 16.10, стр. 223.
^ Уэллс, Дэвид (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (переработанная редакция). Пингвин. п. 35. ISBN 978-0-14-026149-3 .
^ Jump up to: ^а ^б Посаментье и Леманн 2004 , с. 284
^ Ламберт, Иоганн, «Мемуары о некоторых замечательных свойствах круговых и логарифмических трансцендентных величин», перепечатано в Berggren, Borwein & Borwein 1997 , стр. 129–140
^ Линдеманн, Ф. (1882). «О числе Людольфа» . Отчеты о заседаниях Королевской прусской академии наук в Берлине . 2 :679-682.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 196.
^ Харди и Райт 1938 и 2000: 177 сносок § 11.13–14 ссылаются на доказательство Линдеманна, появившееся в Math. Энн . 20 (1882), 213–225.
^ см. Харди и Райт 1938 и 2000: 177, сноска § 11.13–14. Доказательства трансцендентности e и π можно найти на стр. 170–176. Они цитируют два источника доказательств: Ландау 1927 или Перрон 1910; полные цитаты см. в «Списке книг» на стр. 417–419.
^ Jump up to: ^а ^б Каджори, Флориан (2007). История математических обозначений: Том. II . Cosimo, Inc., стр. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1 . отношение длины круга к его диаметру было представлено в дробной форме с помощью двух букв... Дж. А. Сегнер... в 1767 году он представил $3,14159...$ через $δ : π$ , как это сделал Отред более чем веком ранее
^ «Хронология числа Пи» Шеплер, Х.К. (1950) Математический журнал . 23 .
Часть 1. Январь/февраль. (3): 165–170. дои : 10.2307/3029284 .
Часть 2. Март/апрель. (4): 216-228. два : 10.2307/3029832 .
Часть 3. Май/июнь. (5): 279-283. дои : 10.2307/3029000 .
См. стр. 220: Уильям Отред использовал букву $π$ для обозначения периферии (то есть окружности) круга.
^ Jump up to: ^а ^б Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Курьерская корпорация. п. 312. ИСБН 978-0-486-20430-7 .
^ Арчибальд, RC (1921). «Исторические заметки об отношении $е -(π /2) = я я$ . The American Mathematical Monthly . 28 (3): 116–121. doi : 10.2307/2972388 . JSTOR 2972388. " Примечательно, что эти буквы никогда не используются отдельно, то есть $π$ используется не для обозначения «Полупериферии».
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Арндт и Хенель 2006 , с. 166.
^ См., например, Отред, Уильям (1648). Clavis Mathematicæ [ Ключ к математике ] (на латыни). Лондон: Томас Харпер. п. 69 . (английский перевод: Отред, Уильям (1694). Ключ математики . Дж. Солсбери. )
^ Барроу, Исаак (1860). «Лекция XXIV» . В Уэвелле, Уильям (ред.). Математические труды Исаака Барроу (на латыни). Гарвардский университет. Издательство Кембриджского университета. п. 381.
^ Грегори, Дэвид (1695). «Преподобному г-ну Генри Олдричу, декану STT Церкви Христа, Оксфорд» (PDF) . Философские труды (на латыни). 19 (231): 637–652. Бибкод : 1695RSPT...19..637G . дои : 10.1098/rstl.1695.0114 . JSTOR 102382 .
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 165: Факсимиле текста Джонса находится в Berggren, Borwein & Borwein 1997 , стр. 108–109.
^ Сегнер, Джон Андреас (1756). Математический курс (на латыни). Галле Магдебургика. п. 282. Архивировано из оригинала 15 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г.
^ Эйлер, Леонард (1727). «Tentamen explicationis phaenomenorum aeris» (PDF) . Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (на латыни). 2 : 351. Е007 . Архивировано (PDF) из оригинала 1 апреля 2016 г. Проверено 15 октября 2017 г. Sumatur proratione radii ad perpheriem, $I: π$ Английский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine : « $π$ принимается за отношение радиуса к периферии [обратите внимание, что в этой работе эйлерово $π$ вдвое больше нашего $π$ .]"
^ Эйлер, Леонард (1747). Генри, Чарльз (ред.). Неопубликованные письма Эйлера к Аламберту . Бюллетень библиографии и истории математических и физических наук (на французском языке). Том. 19 (опубликовано в 1886 г.). п. 139. Е858 . пусть π — длина окружности независимо от радиуса $= 1.$ Поэтому Каджори, Флориан (1913). «История экспоненциальных и логарифмических понятий». Американский математический ежемесячник . 20 (3): 75–84. дои : 10.2307/2973441 . JSTOR 2973441 . Обозначим $π$ длину окружности (!) круга единичного радиуса.
^ Эйлер, Леонард (1736). «Гл. 3 Положение 34 Кор. 1 » Механика, или наука о движении, объясненная аналитически. (с таблицами) (на латинице). Том. 1. Академия наук Санкт-Петербурга. п. 113. Е015 . Пусть $1: π$ обозначает отношение диаметра к периферии. Английский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine : «Пусть $1: π$ обозначает отношение диаметра к окружности».
^ Эйлер, Леонард (1707–1783) (1922). Все произведения Леонарда Эйлера. 1. Математические работы. Том VIII, введение Леонарда Эйлера в анализ бесконечно малых. Tomus primus / опубликовано Адольфом Крацером и Фердинандом Рудио (на латыни). Губы: Б. Г. Теубнери. стр. 133–134. Е101 . Архивировано из оригинала 16 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г. {{cite book}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Сегнер, Иоганн Андреас фон (1761). Математический курс: Анализы элементов бесконечного. Элементы анализа бесконечного (на латыни). Рейнджер. п. 374. Теперь, если $π$ обозначает длину окружности, диаметр которой равен $2$
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 205.
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 197.
^ Рейтвизнер, Джордж (1950). «Определение ENIAC чисел пи и е с точностью до 2000 десятичных знаков». Математические таблицы и другие средства вычислений . 4 (29): 11–15. дои : 10.2307/2002695 . JSTOR 2002695 .
^ Николсон, Дж. К.; Джинел, Дж. (1955). «Некоторые комментарии к расчету π NORC». Математика. Табл. СПИД. Комп . 9 (52): 162–164. дои : 10.2307/2002052 . JSTOR 2002052 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 15–17.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 131.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 132, 140.
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 87.
^ Arndt & Haenel 2006 , стр. 111 (5 раз), стр. 113–114 (4 раза). Подробности алгоритмов см. Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений . Уайли. ISBN 978-0-471-31515-5 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бейли, Дэвид Х. (16 мая 2003 г.). «Некоторые сведения о недавних вычислениях числа Пи в Канаде» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 15 апреля 2012 года . Проверено 12 апреля 2012 г.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 17–19.
^ Шудель, Мэтт (25 марта 2009 г.). «Джон В. Ренч-младший: математик любил число Пи». Вашингтон Пост . п. Б5.
^ Коннор, Стив (8 января 2010 г.). «Большой вопрос: насколько близко мы подошли к знанию точного значения числа Пи?» . Независимый . Лондон. Архивировано из оригинала 2 апреля 2012 года . Проверено 14 апреля 2012 г.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 18.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 103–104.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 104
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 104, 206.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 110–111.
^ Эймар и Лафон 2004 , с. 254
^ Jump up to: ^а ^б Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Джонатан М. (2016). «15.2 Расчетные записи» . Пи: следующее поколение, справочник по новейшей истории числа Пи и его вычислений . Международное издательство Спрингер. п. 469. дои : 10.1007/978-3-319-32377-0 . ISBN 978-3-319-32375-6 .
^ Кассель, Давид (11 июня 2022 г.). «Как Эмма Харука Ивао из Google помогла установить новый рекорд для Пи» . Новый стек .
^ PSLQ означает частичную сумму наименьших квадратов.
^ Плуфф, Саймон (апрель 2006 г.). «Личность, вдохновленная записными книжками Рамануджана (часть 2)» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 14 января 2012 года . Проверено 10 апреля 2009 г.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 39
^ Рамали, Дж. Ф. (октябрь 1969 г.). «Задача Бюффона о лапше». Американский математический ежемесячник . 76 (8): 916–918. дои : 10.2307/2317945 . JSTOR 2317945 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 39–40.
Посаментье и Леманн 2004 , с. 105
^ Грюнбаум, Б. (1960). «Проекционные константы» . Труды Американского математического общества . 95 (3): 451–465. дои : 10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 43.
Посаментье и Леманн 2004 , стр. 105–108
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , стр. 77–84.
^ Jump up to: ^а ^б Гиббонс, Джереми (2006). «Неограниченные ступенчатые алгоритмы для цифр числа пи» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (4): 318–328. дои : 10.2307/27641917 . JSTOR 27641917 . МР 2211758 .
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 77.
^ Рабиновиц, Стэнли; Вагон, Стэн (март 1995 г.). «Алгоритм патрубка для цифр числа Пи». Американский математический ежемесячник . 102 (3): 195–203. дои : 10.2307/2975006 . JSTOR 2975006 .
^ Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , стр. 117, 126–128.
^ Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Питер Б .; Плуфф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Бибкод : 1997MaCom..66..903B . CiteSeerX 10.1.1.55.3762 . дои : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 . S2CID 6109631 . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2012 года.
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 20
Формула Белларда в: Беллард, Фабрис . «Новая формула для расчета n ^й двоичная цифра числа пи" . Архивировано 12 сентября 2007 года . Проверено 27 октября 2007 года .
^ Палмер, Джейсон (16 сентября 2010 г.). «Рекорд Пи побит: команда нашла двухквадриллионную цифру» . Новости Би-би-си . Архивировано из оригинала 17 марта 2011 года . Проверено 26 марта 2011 г.
^ Плуфф, Симон (2022). «Формула для $n-й$ десятичной или двоичной цифры числа $π$ и степени числа $π$ ». arXiv : 2201.12601 [ math.NT ].
^ Бронштейн и Семендяев 1971 , стр. 200, 209
^ Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019). Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями . Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-030-03868-7 . ISBN 978-3-030-03866-3 . МР 3930585 . S2CID 127264210 .
См. теорему Барбье, следствие 5.1.1, с. 98; Треугольники Рело, стр. 3, 10; гладкие кривые, такие как аналитическая кривая Рабиновица, § 5.3.3, стр. 111–112.
^ Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт (2016). «Раздел 5.5, Упражнение 316» . Исчисление . Том. 1. ОпенСтакс . п. 594.
^ Абрамсон 2014 , Раздел 5.1: Углы .
^ Jump up to: ^а ^б Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 210–211
^ Гильберт, Дэвид ; Курант, Ричард (1966). Методы математической физики, том 1 . Уайли. стр. 286–290.
^ Дим и Маккин 1972 , с. 47.
^ Томпсон, Уильям (1894). «Изопериметрические задачи». Серия «Природа: Популярные лекции и обращения» . II : 571–592.
^ Чавел, Исаак (2001). Изопериметрические неравенства . Издательство Кембриджского университета.
^ Таленти, Джорджио (1976). «Лучшая константа в неравенстве Соболева». Анналы чистой и прикладной математики . 110 (1): 353–372. CiteSeerX 10.1.1.615.4193 . дои : 10.1007/BF02418013 . ISSN 1618-1891 . S2CID 16923822 .
^ Л. Эспозито; К. Нитч; К. Тромбетти (2011). «Наилучшие константы в неравенствах Пуанкаре для выпуклых областей». arXiv : 1110.2960 [ math.AP ].
^ Дель Пино, М.; Долбо, Дж. (2002). «Наилучшие константы для неравенств Гальярдо – Ниренберга и приложения к нелинейной диффузии». Журнал чистой и прикладной математики . 81 (9): 847–875. CiteSeerX 10.1.1.57.7077 . дои : 10.1016/s0021-7824(02)01266-7 . S2CID 8409465 .
^ Пейн, Ле; Вайнбергер, Х.Ф. (1960). «Оптимальное неравенство Пуанкаре для выпуклых областей». Архив рациональной механики и анализа . 5 (1): 286–292. Бибкод : 1960ArRMA...5..286P . дои : 10.1007/BF00252910 . ISSN 0003-9527 . S2CID 121881343 .
^ Фолланд, Джеральд (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Издательство Принстонского университета. п. 5.
^ Jump up to: ^а ^б Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе» . Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–844. дои : 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 . МР 0578375 .
^ Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1 , Уайли, 1968, стр. 174–190.
^ Jump up to: ^а ^б Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 106–107, 744, 748
^ Дим и Маккин 1972 , раздел 2.7.
^ Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971). Анализ Фурье в евклидовых пространствах . Издательство Принстонского университета. п. 6. ; Теорема 1.13.
^ Спивак, Михаил (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию . Том. 3. Опубликуй или погибни Пресса. ; Глава 6.
^ Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии . Том. 2 (Новая ред.). Уайли Интерсайенс . п. 293. ; Глава XII Классы характеристик
^ Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 115.
^ Джоглекар, С.Д. (2005). Математическая физика . Университетская пресса. п. 166. ИСБН 978-81-7371-422-1 .
^ Шей, Х.М. (1996). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . WW Нортон. ISBN 0-393-96997-5 .
^ Йео, Адриан (2006). Прелести пи, е и других интересных чисел . Мировой научный паб. п. 21. ISBN 978-981-270-078-0 .
^ Элерс, Юрген (2000). Уравнения поля Эйнштейна и их физические последствия . Спрингер. п. 7. ISBN 978-3-540-67073-5 .
^ Jump up to: ^а ^б Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7
^ Бронштейн и Семендяев 1971 , стр. 191–192
^ Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . сериал Афина; избранные темы по математике (1-е изд.). Холт, Райнхарт и Уинстон.
^ Эванс, Лоуренс (1997). Уравнения в частных производных . АМС. п. 615.
^ Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 190
^ Бенджамин Нилл; Андреас Паффенхольц (2014). «О случае равенства в гипотезе объема Эрхарта». Достижения в геометрии . 14 (4): 579–586. arXiv : 1205.1270 . дои : 10.1515/advgeom-2014-0001 . ISSN 1615-7168 . S2CID 119125713 .
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 41–43.
^ Эта теорема была доказана Эрнесто Чезаро в 1881 году. Более строгое доказательство, чем приведенное здесь интуитивное и неформальное, см. Харди, GH (2008). Введение в теорию чисел . Издательство Оксфордского университета. Теорема 332. ISBN 978-0-19-921986-5 .
^ Огилви, CS ; Андерсон, Дж. Т. (1988). Экскурсии по теории чисел . Dover Publications Inc., стр. 29–35. ISBN 0-486-25778-9 .
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 43
^ Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел . Академическая пресса. стр. 262–265.
^ Сондоу, Дж. (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений отрицательных целых чисел посредством преобразования рядов Эйлера». Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. CiteSeerX 10.1.1.352.5774 . дои : 10.1090/s0002-9939-1994-1172954-7 . S2CID 122276856 .
^ Т. Фридман; Ч.Р. Хаген (2015). «Квантово-механический вывод формулы Уоллиса для числа пи». Журнал математической физики . 56 (11): 112101. arXiv : 1510.07813 . Бибкод : 2015JMP....56k2101F . дои : 10.1063/1.4930800 . S2CID 119315853 .
^ Тейт, Джон Т. (1950). «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке». В Касселсе, JWS; Фрелих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел (Труды учебной конференции, Брайтон, 1965) . Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия. стр. 305–347. ISBN 978-0-9502734-2-6 . МР 0217026 .
↑ Smoke & McKean 1972 , Глава 4.
^ Jump up to: ^а ^б Мамфорд, Дэвид (1983). Тата-лекции по Тэте I. Бостон: Биркхаузер. стр. 1–117. ISBN 978-3-7643-3109-2 .
^ Порт, Сидней; Стоун, Чарльз (1978). Броуновское движение и классическая теория потенциала . Академическая пресса. п. 29.
^ Титчмарш, Э. (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.). Оксфордский университет: Clarendon Press (опубликовано в 1986 г.). ISBN 978-0-8284-0324-5 .
^ Штейн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета. ; Глава II.
^ Jump up to: ^а ^б Клебанов, Аарон (2001). «Пи в множестве Мандельброта» (PDF) . Фракталы . 9 (4): 393–402. дои : 10.1142/S0218348X01000828 . Архивировано из оригинала (PDF) 27 октября 2011 года . Проверено 14 апреля 2012 г.
^ Пейтген, Хайнц-Отто (2004). Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Спрингер. стр. 801–803. ISBN 978-0-387-20229-7 .
^ Овсиенко В.; Табачников, С. (2004). «Раздел 1.3». Проективная дифференциальная геометрия, старая и новая: от производной Шварца к когомологиям групп диффеоморфизмов . Кембриджские трактаты по математике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83186-4 .
^ Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). Основы физики (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 381. ИСБН 0-471-14854-7 .
^ Уроне, Пол Питер; Хинрикс, Роджер (2022). «29.7 Вероятность: принцип неопределенности Гейзенберга» . Колледж физики 2е . ОпенСтакс .
^ Ицыксон, К. ; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля (изд. 2005 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44568-7 . LCCN 2005053026 . OCLC 61200849 .
^ Лоу, Питер (1971). Классическая теория структур на основе дифференциального уравнения . Издательство Кембриджского университета. стр. 116–118. ISBN 978-0-521-08089-7 .
^ Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. п. 233. ИСБН 0-521-66396-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Арндт и Хенель, 2006 , стр. 44–45.
^ «Самые запомненные места Пи». Архивировано 14 февраля 2016 года в Wayback Machine , Книга рекордов Гиннеса.
^ Отаке, Томоко (17 декабря 2006 г.). «Как можно запомнить 100 000 чисел?» . Джапан Таймс . Архивировано из оригинала 18 августа 2013 года . Проверено 27 октября 2007 г.
^ Данези, Марсель (январь 2021 г.). «Глава 4: Пи в популярной культуре». Пи ( $π$ ) в природе, искусстве и культуре . Брилл. п. 97 . дои : 10.1163/9789004433397 . ISBN 9789004433373 . S2CID 224869535 .
^ Раз, А.; Паккард, МГ (2009). «Кусочек числа Пи: исследовательское нейровизуализационное исследование кодирования и извлечения цифр у превосходного запоминающего» . Нейрокейз . 15 (5): 361–372. дои : 10.1080/13554790902776896 . ПМЦ 4323087 . ПМИД 19585350 .
^ Кит, Майк . «Кадейские заметки и комментарии к каденции» . Архивировано из оригинала 18 января 2009 года . Проверено 29 июля 2009 г.
^ Кейт, Майкл; Дайана Кейт (17 февраля 2010 г.). Not A Wake: Мечта, полностью воплощающая цифры (пи) до 10 000 десятичных знаков . Винкулум Пресс. ISBN 978-0-9630097-1-5 .
^ Например, Пиковер называет π «самой известной математической константой всех времен», а Петерсон пишет: «Однако из всех известных математических констант пи продолжает привлекать наибольшее внимание», ссылаясь на духи π от Живанши , Pi (фильм). и День Пи в качестве примеров. Видеть: Пиковер, Клиффорд А. (1995). Ключи от бесконечности . Уайли и сыновья. п. 59 . ISBN 978-0-471-11857-2 . Петерсон, Иварс (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел к волшебным кругам . Спектр МАА. Математическая ассоциация Америки. п. 17. ISBN 978-0-88385-537-9 . Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.
^ Посаментье и Леманн 2004 , с. 118
Арндт и Хенель 2006 , с. 50
^ Арндт и Хенель 2006 , с. 14
^ Польстер, Буркард ; Росс, Марти (2012). Математика идет в кино . Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 56–57. ISBN 978-1-421-40484-4 .
^ Гилл, Энди (4 ноября 2005 г.). «Обзор Аэриала» . Независимый . Архивировано из оригинала 15 октября 2006 года. Почти аутичное удовлетворение обсессивно-компульсивного математика, очарованного числом «Пи» (которое дает возможность услышать, как Буш медленно поет огромные фрагменты рассматриваемого числа длиной в несколько десятков цифр).
^ Рубильо, Джеймс М. (январь 1989 г.). «Разрушить их». Учитель математики . 82 (1): 10. JSTOR 27966082 .
^ Петроски, Генри (2011). Название «Азбука инженера: крупицы более мягкой стороны профессии» . Издательство Кембриджского университета. п. 47. ИСБН 978-1-139-50530-7 .
^ «С Днем числа Пи! Посмотрите эти потрясающие видеоролики, в которых дети читают 3.14» . USAToday.com . 14 марта 2015 года. Архивировано из оригинала 15 марта 2015 года . Проверено 14 марта 2015 г.
^ Розенталь, Джеффри С. (февраль 2015 г.). «Пи Мгновенный» . Математические горизонты . 22 (3): 22. doi : 10.4169/mathhorizons.22.3.22 . S2CID 218542599 .
^ Гриффин, Эндрю. «День Пи: почему некоторые математики отказываются праздновать 14 марта и не отмечают день, наполненный десертами» . Независимый . Архивировано из оригинала 24 апреля 2019 года . Проверено 2 февраля 2019 г.
^ Фрайбергер, Марианна; Томас, Рэйчел (2015). «Тау – новое $π$ » . Нумерикон: путешествие по скрытой жизни чисел . Кверкус. п. 159. ИСБН 978-1-62365-411-5 .
^ Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Математические горизонты . 19 (4): 34. doi : 10.4169/mathhorizons.19.4.34 . S2CID 126179022 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 года.
^ Пале, Робер (2001). « $П$ неправильно!» (PDF) . Математический интеллект . 23 (3): 7–8. дои : 10.1007/BF03026846 . S2CID 120965049 . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июня 2012 года.
^ «Жизни Пи ничего не угрожает – эксперты хладнокровно проводят кампанию по замене на тау» . Телеграф Индии . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г.
^ «Забудьте День Пи. Нам следует праздновать День Тау | Новости науки» . Проверено 2 мая 2023 г.
^ Арндт и Хенель 2006 , стр. 211–212.
Посаментье и Леманн 2004 , стр. 36–37
Халлерберг, Артур (май 1977 г.). «Квадрат Индианы». Журнал «Математика» . 50 (3): 136–140. дои : 10.2307/2689499 . JSTOR 2689499 .
^ Кнут, Дональд (3 октября 1990 г.). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . Текс Маг . 5 (1): 145. Архивировано (PDF) из оригинала 13 апреля 2016 года . Проверено 17 февраля 2017 г. .
^ «PEP 628 — Добавить math.tau» .
^ «Ящик тау» . Проверено 6 декабря 2022 г.

Общие и цитируемые источники

Абрамсон, Джей (2014). Предварительный расчет . ОпенСтакс .
Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Кембридж: Университетское издательство. ISBN 978-0-521-78988-2 .
Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Издательство Спрингер. ISBN 978-3-540-66572-4 . Проверено 5 июня 2013 г. Английский перевод Катрионы и Дэвида Лишки.
Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан ; Борвейн, Питер (1997). Пи: Справочник . Издательство Спрингер. ISBN 978-0-387-20571-7 .
Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-54397-8 .
Бронштейн, Илья; Семендяев К.А. (1971). Путеводитель по математике . Опубликовано Харри Дойчем . ISBN 978-3-87144-095-3 .
Дым, Х.; Маккин, HP (1972). Ряды Фурье и интегралы . Академическая пресса.
Эймар, Пьер; Лафон, Жан Пьер (2004). Число $π$ . Перевод Уилсона, Стивена. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3246-2 . английский перевод Autour du nombre $π$ (на французском языке). Германн. 1999.
Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2004). $π$ : Биография самого загадочного числа в мире . Книги Прометея. ISBN 978-1-59102-200-8 .
Реммерт, Рейнхольд (2012). «Глава 5. Что такое π?» . В Хайнц-Дитер Эббингауз; Ганс Гермес; Фридрих Хирцебрух; Макс Кохер; Клаус Майнцер; Юрген Нойкирх; Александр Престель; Райнхольд Реммерт (ред.). Числа . Спрингер. ISBN 978-1-4612-1005-4 .

Дальнейшее чтение

Блатнер, Дэвид (1999). Радость $π$ . Уокер и компания. ISBN 978-0-8027-7562-7 .
Делаэ, Жан-Поль (1997). Захватывающее число $π$ . Париж: Научная библиотека. ISBN 2-902918-25-9 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Пи» . Математический мир .
Демонстрация Ламбертом (1761) иррациональности числа $π$ , онлайн. Архивировано 31 декабря 2014 года в Wayback Machine и проанализировано BibNum. Архивировано 2 апреля 2015 года в Wayback Machine (PDF).
$π$ Поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр $π$ , $e$ и √ 2
аппроксимация π точками решетки и аппроксимация π прямоугольниками и трапециями (интерактивные иллюстрации)

[1] В частности, $π$ предполагается, что — нормальное число , что подразумевает особый вид статистической случайности его цифр во всех основаниях.

[14] Точный интеграл, который использовал Вейерштрасс, был $\pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.$ Реммерт 2012 , с. 148

[28] Показанный полином представляет собой первые несколько членов в ряд Тейлора разложения синусоидальной функции .

[FOOTNOTEAndrewsAskeyRoy199959-2] Эндрюс, Аски и Рой 1999 , стр. 59.

[3] Гупта, Р.К. (1992). «Об оставшемся члене серии Мадхавы-Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.

[jones-4] Jump up to: ^а ^б ^с Джонс, Уильям (1706). Краткое содержание Palmariorum Matheseos . Лондон: Дж. Уэйл. стр. 243 , 263 . п. 263: Существуют различные другие способы определения длин или площадей определенных кривых линий или плоскостей , которые могут очень облегчить практику; как, например, в Круге Диаметр равен Окружности как от 1 до
${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$
$3.14159 и т. д. = π$ . Эту серию (среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера Джона Мэчина ; и посредством него Ван Сеулена или число число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
Перепечатано в Смит, Дэвид Юджин (1929). «Уильям Джонс: первое использование числа $π$ для обозначения соотношения кругов» . Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.

[5] "π ^и триллионы цифр числа π" . pi2e.ch. из Архивировано оригинала 6 декабря 2016 года.

[6] Харука Ивао, Эмма (14 марта 2019 г.). «Пи в небе: вычисление рекордных 31,4 триллионов цифр постоянной Архимеда в Google Cloud» . Облачная платформа Google . Архивировано из оригинала 19 октября 2019 года . Проверено 12 апреля 2019 г.

[FOOTNOTEArndtHaenel200617-7] Арндт и Хенель 2006 , с. 17.

[8] Бейли, Дэвид Х.; Плуфф, Саймон М.; Борвейн, Питер Б.; Борвейн, Джонатан М. (1997). «В поисках ПИ». Математический интеллект . 19 (1): 50–56. CiteSeerX 10.1.1.138.7085 . дои : 10.1007/BF03024340 . ISSN 0343-6993 . S2CID 14318695 .

[firstPi-9] Jump up to: ^а ^б Отред, Уильям (1652). Теорема в книгах Архимеда о сфере и цилиндре декларативная (на латыни). Через Л. Личфилда они приходят к Т. Робинсону. $δ π$ :: полудиаметр полупериферия

[10] «пи» . Словарь.reference.com. 2 марта 1993 года. Архивировано из оригинала 28 июля 2014 года . Проверено 18 июня 2012 г.

[FOOTNOTEArndtHaenel20068-11] Jump up to: ^а ^б ^с Арндт и Хенель 2006 , с. 8.

[12] Апостол, Том (1967). Исчисление . Том. 1 (2-е изд.). Уайли. п. 102. С логической точки зрения это неудовлетворительно на современном этапе, поскольку мы еще не обсуждали понятие длины дуги.

[FOOTNOTERemmert2012129-13] Jump up to: ^а ^б ^с Реммерт 2012 , с. 129.

[15] Бальцер, Ричард (1870). ( на Элементы математики немецком языке). Хирзель. п. 195. Архивировано из оригинала 14 сентября 2016 года.

[16] Ландау, Эдмунд (1934). Введение в дифференциальное исчисление и интегральное исчисление (на немецком языке). Нордофф. п. 193.

[Rudin_1976-17] Jump up to: ^а ^б Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл. п. 183. ИСБН 978-0-07-054235-8 .

[18] Рудин, Уолтер (1986). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 2.

[19] Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 46.

[20] Бурбаки, Николя (1981). Общая топология . Спрингер. §VIII.2.

[Nicolas_Bourbaki-21] Jump up to: ^а ^б Бурбаки, Николя (1979). Функции действительной переменной (на французском языке). Спрингер. §II.3.

[FOOTNOTEArndtHaenel20065-22] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 5.

[23] Салихов, В. (2008). «О мере иррациональности числа пи». Российские математические обзоры . 53 (3): 570–572. Бибкод : 2008РуМаС..63..570С . doi : 10.1070/RM2008v063n03ABEH004543 . ISSN 0036-0279 . S2CID 250798202 .

[FOOTNOTEArndtHaenel200622–23-24] Арндт и Хенель 2006 , стр. 22–23.

[FOOTNOTEArndtHaenel200622,_28–30-25] Арндт и Хенель 2006 , стр. 22, 28–30.

[FOOTNOTEArndtHaenel20063-26] Арндт и Хенель 2006 , с. 3.

[FOOTNOTEArndtHaenel20066-27] Арндт и Хенель 2006 , с. 6.

[29] Посаментье и Леманн 2004 , с. 25

[30] Эймар и Лафон 2004 , с. 129

[31] Бекманн, Питер (1989) [1974]. История Пи . Пресса Святого Мартина. п. 37. ИСБН 978-0-88029-418-8 .

[32] Шлагер, Нил; Лауэр, Джош (2001). Наука и ее времена: понимание социального значения научных открытий . Группа Гейл. ISBN 978-0-7876-3933-4 . Архивировано из оригинала 13 декабря 2019 года . Проверено 19 декабря 2019 г. , с. 185.

[Eymard_1999_78-33] Jump up to: ^а ^б Эймар и Лафон 2004 , с. 78

[FOOTNOTEArndtHaenel200633-34] Арндт и Хенель 2006 , с. 33.

[mollin-35] Jump up to: ^а ^б Моллин, Р.А. (1999). «Продолжительная дробь драгоценных камней». Новый архив по математике . 17 (3): 383–405. МР 1743850 .

[36] Ланге, LJ (май 1999 г.). «Элегантная цепная дробь для $числа π$ ». Американский математический ежемесячник . 106 (5): 456–458. дои : 10.2307/2589152 . JSTOR 2589152 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006240-37] Арндт и Хенель 2006 , с. 240.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006242-38] Арндт и Хенель 2006 , с. 242.

[39] Кеннеди, ЕС (1978). «Абу-р-Райхан аль-Бируни, 973–1048». Журнал истории астрономии . 9 : 65. Бибкод : 1978JHA.....9...65K . дои : 10.1177/002182867800900106 . S2CID 126383231 . Птолемей использовал трехшестидесятеричную аппроксимацию, а Джамшид аль-Каши расширил ее до девяти цифр; видеть Аабо, Асгер (1964). Эпизоды из ранней истории математики . Новая математическая библиотека. Том. 13. Нью-Йорк: Рэндом Хаус. п. 125. ИСБН 978-0-88385-613-0 . Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.

[FOOTNOTEAbramson2014[httpsopenstaxorgbooksprecalculuspages8-5-polar-form-of-complex-numbers_Section_8.5:_Polar_form_of_complex_numbers]-40] Абрамсон 2014 , Раздел 8.5: Полярная форма комплексных чисел .

[EF-41] Jump up to: ^а ^б Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 592

[42] Маор, Эли (2009). Э: История числа . Издательство Принстонского университета. п. 160. ИСБН 978-0-691-14134-3 .

[FOOTNOTEAndrewsAskeyRoy199914-43] Эндрюс, Аски и Рой 1999 , стр. 14.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006167-44] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 167.

[45] Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье. стр. 67–77, 165–166. ISBN 978-0-88920-324-2 . Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года . Проверено 5 июня 2013 г.

[46] Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. п. 27 . ISBN 978-0691120676 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006170-47] Арндт и Хенель 2006 , с. 170.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006175,_205-48] Арндт и Хенель 2006 , стр. 175, 205.

[life-of-pi-49] Jump up to: ^а ^б ^с Борвейн, Джонатан М. (2014). «Жизнь $π$ : от Архимеда до ЭНИАКа и далее». В Сидоли, Натан; Ван Браммелен, Глен (ред.). Из Александрии через Багдад: Обзоры и исследования древнегреческих и средневековых исламских математических наук в честь Дж. Л. Берггрена . Гейдельберг: Спрингер. стр. 531–561. дои : 10.1007/978-3-642-36736-6_24 . ISBN 978-3-642-36735-9 . МР 3203895 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006171-50] Арндт и Хенель 2006 , с. 171.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006176-51] Арндт и Хенель 2006 , с. 176.

[FOOTNOTEBoyerMerzbach1991168-52] Бойер и Мерцбах 1991 , с. 168.

[ArPI-53] Arndt & Haenel 2006 , стр. 15–16, 175, 184–186, 205. Гринбергер достиг 39 цифр в 1630 году; Резкие 71 цифра в 1699 году.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006176–177-54] Арндт и Хенель 2006 , стр. 176–177.

[autogenerated202-55] Jump up to: ^а ^б Бойер и Мерцбах 1991 , с. 202

[FOOTNOTEArndtHaenel2006177-56] Арндт и Хенель 2006 , с. 177.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006178-57] Арндт и Хенель 2006 , с. 178.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006179-58] Арндт и Хенель 2006 , с. 179.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006180-59] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 180.

[60] Азарян, Мохаммад К. (2010). «Ар-Рисала аль-мухитийя: Краткое изложение» . Миссурийский журнал математических наук . 22 (2): 64–85. дои : 10.35834/mjms/1312233136 .

[61] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). «Гийат ад-Дин Джамшид Масуд аль-Каши» . MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 12 апреля 2011 года . Проверено 11 августа 2012 г.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006182-62] Jump up to: ^а ^б ^с Арндт и Хенель 2006 , с. 182.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006182–183-63] Арндт и Хенель 2006 , стр. 182–183.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006183-64] Арндт и Хенель 2006 , с. 183.

[65] Гринбергерус, Христофор (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (на латыни). Архивировано из оригинала (PDF) 1 февраля 2014 года. Его оценка: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < $π$ < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 9.

[66] Брезински, К. (2009). «Некоторые пионеры методов экстраполяции». В Бултиле, Адемаре ; Кулс, Рональд (ред.). Рождение численного анализа . Всемирная научная. стр. 1–22. дои : 10.1142/9789812836267_0001 . ISBN 978-981-283-625-0 .

[67] Йодер, Джоэлла Г. (1996). «По следам геометрии: Математический мир Христиана Гюйгенса» . Де Зевентьенде Эув . 12 : 83–93 - через Цифровую библиотеку голландской литературы .

[Ais-68] Арндт и Хенель 2006 , стр. 185–191.

[Roypp-69] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Рой, Ранджан (1990). «Открытие $формулы ряда для числа π$ Лейбницем, Грегори и Нилакантой » (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006185–186-70] Арндт и Хенель 2006 , стр. 185–186.

[71] Джозеф, Джордж Гевергезе (1991). Герб павлина: неевропейские корни математики . Издательство Принстонского университета. п. 264. ИСБН 978-0-691-13526-7 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006187-72] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 187.

[73] ОЭИС : A060294

[74] Жизнь, Фрэнсис (1593). Ответы на различные математические вопросы . Том. VIII.

[Newton-75] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 188. Ньютон, цитата Арндта.

[76] Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевой квадратуре круга» (PDF) . Анналы Будапештского университета наук (компьютерный раздел) . 4 : 75–83.

[LS-77] Jump up to: ^а ^б Эймар и Лафон 2004 , стр. 53–54.

[78] Кукер, MJ (2011). «Быстрые формулы для медленно сходящихся знакопеременных рядов» (PDF) . Математический вестник . 95 (533): 218–226. дои : 10.1017/S0025557200002928 . S2CID 123392772 . Архивировано из оригинала 4 мая 2019 года . Проверено 23 февраля 2023 г. {{cite journal}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[FOOTNOTEArndtHaenel2006189-79] Арндт и Хенель 2006 , с. 189.

[tweddle-80] Тведдл, Ян (1991). «Джон Мачин и Роберт Симсон о ряде по обратным касательным для $числа π$ ». Архив истории точных наук . 42 (1): 1–14. дои : 10.1007/BF00384331 . JSTOR 41133896 . S2CID 121087222 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006192–193-81] Арндт и Хенель 2006 , стр. 192–193.

[A72n4-82] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель, 2006 , стр. 72–74.

[83] Лемер, Д.Х. (1938). «Об арккотангенсных отношениях для $π$ » (PDF) . Американский математический ежемесячник . 45 (10): 657–664 Опубликовано: Математической ассоциацией Америки. дои : 10.1080/00029890.1938.11990873 . JSTOR 2302434 .

[84] Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и произведения в развитии математики . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 215–216, 219–220.
Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4, 1674–1684. Издательство Кембриджского университета. стр. 526–653.

[85] Сандифер, Эд (2009). «Оценка π» (PDF) . Как Эйлер это сделал . Перепечатано в Как Эйлер сделал еще больше . Математическая ассоциация Америки. 2014. С. 109–118.
Эйлер, Леонард (1755). «§2.2.30» . Институты дифференциального исчисления (на латыни). Academia Imperiale Scientiarum Petropolitana. п. 318. Е 212
Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Исследование некоторых рядов, наиболее приспособленных к отношению длины окружности к приблизительному диаметру » . Новые известия Петрополитической академии наук . 11 : 133–149, 167–168. Е 705
Чиен-Ли, Хван (2004). «88.38 Некоторые наблюдения о методе арктангенсов для расчета $π$ ». Математический вестник . 88 (512): 270–278. дои : 10.1017/S0025557200175060 . S2CID 123532808 .
Чиен-Ли, Хван (2005). «89.67 Элементарный вывод ряда Эйлера для арктангенса». Математический вестник . 89 (516): 469–470. дои : 10.1017/S0025557200178404 . S2CID 123395287 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006192–196,_205-86] Арндт и Хенель 2006 , стр. 192–196, 205.

[A194-87] Арндт и Хенель 2006 , стр. 194–196.

[hayes-2014-88] Хейс, Брайан (сентябрь 2014 г.). «Карандаш, бумага и Пи» . Американский учёный . Том. 102, нет. 5. с. 342. дои : 10.1511/2014.110.342 . Проверено 22 января 2022 г.

[Aconverge-89] Jump up to: ^а ^б Борвейн, Дж. М.; Борвейн, П.Б. (1988). «Рамануджан и Пи». Научный американец . 256 (2): 112–117. Бибкод : 1988SciAm.258b.112B . doi : 10.1038/scientificamerican0288-112 .
Арндт и Хенель 2006 , стр. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202.

[FOOTNOTEArndtHaenel200669–72-90] Арндт и Хенель 2006 , стр. 69–72.

[91] Борвейн, Дж. М.; Борвейн, ПБ; Дилчер, К. (1989). «Пи, числа Эйлера и асимптотические разложения». Американский математический ежемесячник . 96 (8): 681–687. дои : 10.2307/2324715 . hdl : 1959.13/1043679 . JSTOR 2324715 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006Formula_16.10,_p._223-92] Арндт и Хенель 2006 , Формула 16.10, стр. 223.

[93] Уэллс, Дэвид (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (переработанная редакция). Пингвин. п. 35. ISBN 978-0-14-026149-3 .

[Posamentier-94] Jump up to: ^а ^б Посаментье и Леманн 2004 , с. 284

[95] Ламберт, Иоганн, «Мемуары о некоторых замечательных свойствах круговых и логарифмических трансцендентных величин», перепечатано в Berggren, Borwein & Borwein 1997 , стр. 129–140

[96] Линдеманн, Ф. (1882). «О числе Людольфа» . Отчеты о заседаниях Королевской прусской академии наук в Берлине . 2 :679-682.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006196-97] Арндт и Хенель 2006 , с. 196.

[98] Харди и Райт 1938 и 2000: 177 сносок § 11.13–14 ссылаются на доказательство Линдеманна, появившееся в Math. Энн . 20 (1882), 213–225.

[99] см. Харди и Райт 1938 и 2000: 177, сноска § 11.13–14. Доказательства трансцендентности e и π можно найти на стр. 170–176. Они цитируют два источника доказательств: Ландау 1927 или Перрон 1910; полные цитаты см. в «Списке книг» на стр. 417–419.

[Cajori-2007-100] Jump up to: ^а ^б Каджори, Флориан (2007). История математических обозначений: Том. II . Cosimo, Inc., стр. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1 . отношение длины круга к его диаметру было представлено в дробной форме с помощью двух букв... Дж. А. Сегнер... в 1767 году он представил $3,14159...$ через $δ : π$ , как это сделал Отред более чем веком ранее

[101] «Хронология числа Пи» Шеплер, Х.К. (1950) Математический журнал . 23 .
Часть 1. Январь/февраль. (3): 165–170. дои : 10.2307/3029284 .
Часть 2. Март/апрель. (4): 216-228. два : 10.2307/3029832 .
Часть 3. Май/июнь. (5): 279-283. дои : 10.2307/3029000 .
См. стр. 220: Уильям Отред использовал букву $π$ для обозначения периферии (то есть окружности) круга.

[Smith-1958-102] Jump up to: ^а ^б Смит, Дэвид Э. (1958). История математики . Курьерская корпорация. п. 312. ИСБН 978-0-486-20430-7 .

[103] Арчибальд, RC (1921). «Исторические заметки об отношении $е -(π /2) = я я$ . The American Mathematical Monthly . 28 (3): 116–121. doi : 10.2307/2972388 . JSTOR 2972388. " Примечательно, что эти буквы никогда не используются отдельно, то есть $π$ используется не для обозначения «Полупериферии».

[FOOTNOTEArndtHaenel2006166-104] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Арндт и Хенель 2006 , с. 166.

[105] См., например, Отред, Уильям (1648). Clavis Mathematicæ [ Ключ к математике ] (на латыни). Лондон: Томас Харпер. п. 69 . (английский перевод: Отред, Уильям (1694). Ключ математики . Дж. Солсбери. )

[106] Барроу, Исаак (1860). «Лекция XXIV» . В Уэвелле, Уильям (ред.). Математические труды Исаака Барроу (на латыни). Гарвардский университет. Издательство Кембриджского университета. п. 381.

[107] Грегори, Дэвид (1695). «Преподобному г-ну Генри Олдричу, декану STT Церкви Христа, Оксфорд» (PDF) . Философские труды (на латыни). 19 (231): 637–652. Бибкод : 1695RSPT...19..637G . дои : 10.1098/rstl.1695.0114 . JSTOR 102382 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006165-108] Арндт и Хенель 2006 , с. 165: Факсимиле текста Джонса находится в Berggren, Borwein & Borwein 1997 , стр. 108–109.

[109] Сегнер, Джон Андреас (1756). Математический курс (на латыни). Галле Магдебургика. п. 282. Архивировано из оригинала 15 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г.

[110] Эйлер, Леонард (1727). «Tentamen explicationis phaenomenorum aeris» (PDF) . Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (на латыни). 2 : 351. Е007 . Архивировано (PDF) из оригинала 1 апреля 2016 г. Проверено 15 октября 2017 г. Sumatur proratione radii ad perpheriem, $I: π$ Английский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine : « $π$ принимается за отношение радиуса к периферии [обратите внимание, что в этой работе эйлерово $π$ вдвое больше нашего $π$ .]"

[111] Эйлер, Леонард (1747). Генри, Чарльз (ред.). Неопубликованные письма Эйлера к Аламберту . Бюллетень библиографии и истории математических и физических наук (на французском языке). Том. 19 (опубликовано в 1886 г.). п. 139. Е858 . пусть π — длина окружности независимо от радиуса $= 1.$ Поэтому Каджори, Флориан (1913). «История экспоненциальных и логарифмических понятий». Американский математический ежемесячник . 20 (3): 75–84. дои : 10.2307/2973441 . JSTOR 2973441 . Обозначим $π$ длину окружности (!) круга единичного радиуса.

[112] Эйлер, Леонард (1736). «Гл. 3 Положение 34 Кор. 1 » Механика, или наука о движении, объясненная аналитически. (с таблицами) (на латинице). Том. 1. Академия наук Санкт-Петербурга. п. 113. Е015 . Пусть $1: π$ обозначает отношение диаметра к периферии. Английский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine : «Пусть $1: π$ обозначает отношение диаметра к окружности».

[113] Эйлер, Леонард (1707–1783) (1922). Все произведения Леонарда Эйлера. 1. Математические работы. Том VIII, введение Леонарда Эйлера в анализ бесконечно малых. Tomus primus / опубликовано Адольфом Крацером и Фердинандом Рудио (на латыни). Губы: Б. Г. Теубнери. стр. 133–134. Е101 . Архивировано из оригинала 16 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г. {{cite book}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[114] Сегнер, Иоганн Андреас фон (1761). Математический курс: Анализы элементов бесконечного. Элементы анализа бесконечного (на латыни). Рейнджер. п. 374. Теперь, если $π$ обозначает длину окружности, диаметр которой равен $2$

[FOOTNOTEArndtHaenel2006205-115] Арндт и Хенель 2006 , с. 205.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006197-116] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 197.

[117] Рейтвизнер, Джордж (1950). «Определение ENIAC чисел пи и е с точностью до 2000 десятичных знаков». Математические таблицы и другие средства вычислений . 4 (29): 11–15. дои : 10.2307/2002695 . JSTOR 2002695 .

[118] Николсон, Дж. К.; Джинел, Дж. (1955). «Некоторые комментарии к расчету π NORC». Математика. Табл. СПИД. Комп . 9 (52): 162–164. дои : 10.2307/2002052 . JSTOR 2002052 .

[FOOTNOTEArndtHaenel200615–17-119] Арндт и Хенель 2006 , стр. 15–17.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006131-120] Арндт и Хенель 2006 , с. 131.

[FOOTNOTEArndtHaenel2006132,_140-121] Арндт и Хенель 2006 , стр. 132, 140.

[FOOTNOTEArndtHaenel200687-122] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 87.

[123] Arndt & Haenel 2006 , стр. 111 (5 раз), стр. 113–114 (4 раза). Подробности алгоритмов см. Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений . Уайли. ISBN 978-0-471-31515-5 .

[Background-124] Jump up to: ^а ^б ^с Бейли, Дэвид Х. (16 мая 2003 г.). «Некоторые сведения о недавних вычислениях числа Пи в Канаде» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 15 апреля 2012 года . Проверено 12 апреля 2012 г.

[125] Арндт и Хенель 2006 , стр. 17–19.

[MSNBC-126] Шудель, Мэтт (25 марта 2009 г.). «Джон В. Ренч-младший: математик любил число Пи». Вашингтон Пост . п. Б5.

[independent.co.uk-127] Коннор, Стив (8 января 2010 г.). «Большой вопрос: насколько близко мы подошли к знанию точного значения числа Пи?» . Независимый . Лондон. Архивировано из оригинала 2 апреля 2012 года . Проверено 14 апреля 2012 г.

[FOOTNOTEArndtHaenel200618-128] Арндт и Хенель 2006 , с. 18.

[129] Арндт и Хенель 2006 , стр. 103–104.

[130] Арндт и Хенель 2006 , с. 104

[131] Арндт и Хенель 2006 , стр. 104, 206.

[132] Арндт и Хенель 2006 , стр. 110–111.

[133] Эймар и Лафон 2004 , с. 254

[NW-134] Jump up to: ^а ^б Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Джонатан М. (2016). «15.2 Расчетные записи» . Пи: следующее поколение, справочник по новейшей истории числа Пи и его вычислений . Международное издательство Спрингер. п. 469. дои : 10.1007/978-3-319-32377-0 . ISBN 978-3-319-32375-6 .

[135] Кассель, Давид (11 июня 2022 г.). «Как Эмма Харука Ивао из Google помогла установить новый рекорд для Пи» . Новый стек .

[136] PSLQ означает частичную сумму наименьших квадратов.

[137] Плуфф, Саймон (апрель 2006 г.). «Личность, вдохновленная записными книжками Рамануджана (часть 2)» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 14 января 2012 года . Проверено 10 апреля 2009 г.

[138] Арндт и Хенель 2006 , с. 39

[bn-139] Рамали, Дж. Ф. (октябрь 1969 г.). «Задача Бюффона о лапше». Американский математический ежемесячник . 76 (8): 916–918. дои : 10.2307/2317945 . JSTOR 2317945 .

[140] Арндт и Хенель 2006 , стр. 39–40.
Посаментье и Леманн 2004 , с. 105

[141] Грюнбаум, Б. (1960). «Проекционные константы» . Труды Американского математического общества . 95 (3): 451–465. дои : 10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9 .

[142] Арндт и Хенель 2006 , стр. 43.
Посаментье и Леманн 2004 , стр. 105–108

[FOOTNOTEArndtHaenel200677–84-143] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , стр. 77–84.

[Gibbons-144] Jump up to: ^а ^б Гиббонс, Джереми (2006). «Неограниченные ступенчатые алгоритмы для цифр числа пи» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (4): 318–328. дои : 10.2307/27641917 . JSTOR 27641917 . МР 2211758 .

[FOOTNOTEArndtHaenel200677-145] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , с. 77.

[146] Рабиновиц, Стэнли; Вагон, Стэн (март 1995 г.). «Алгоритм патрубка для цифр числа Пи». Американский математический ежемесячник . 102 (3): 195–203. дои : 10.2307/2975006 . JSTOR 2975006 .

[FOOTNOTEArndtHaenel2006117,_126–128-147] Jump up to: ^а ^б Арндт и Хенель 2006 , стр. 117, 126–128.

[bbpf-148] Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Питер Б .; Плуфф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Бибкод : 1997MaCom..66..903B . CiteSeerX 10.1.1.55.3762 . дои : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 . S2CID 6109631 . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2012 года.

[149] Арндт и Хенель 2006 , с. 20
Формула Белларда в: Беллард, Фабрис . «Новая формула для расчета n ^й двоичная цифра числа пи" . Архивировано 12 сентября 2007 года . Проверено 27 октября 2007 года .

[150] Палмер, Джейсон (16 сентября 2010 г.). «Рекорд Пи побит: команда нашла двухквадриллионную цифру» . Новости Би-би-си . Архивировано из оригинала 17 марта 2011 года . Проверено 26 марта 2011 г.

[151] Плуфф, Симон (2022). «Формула для $n-й$ десятичной или двоичной цифры числа $π$ и степени числа $π$ ». arXiv : 2201.12601 [ math.NT ].

[152] Бронштейн и Семендяев 1971 , стр. 200, 209

[153] Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019). Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями . Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-030-03868-7 . ISBN 978-3-030-03866-3 . МР 3930585 . S2CID 127264210 .
См. теорему Барбье, следствие 5.1.1, с. 98; Треугольники Рело, стр. 3, 10; гладкие кривые, такие как аналитическая кривая Рабиновица, § 5.3.3, стр. 111–112.

[154] Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт (2016). «Раздел 5.5, Упражнение 316» . Исчисление . Том. 1. ОпенСтакс . п. 594.

[FOOTNOTEAbramson2014[httpsopenstaxorgbooksprecalculuspages5-1-angles_Section_5.1:_Angles]-155] Абрамсон 2014 , Раздел 5.1: Углы .

[WCS-156] Jump up to: ^а ^б Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 210–211

[157] Гильберт, Дэвид ; Курант, Ричард (1966). Методы математической физики, том 1 . Уайли. стр. 286–290.

[FOOTNOTEDymMcKean197247-158] Дим и Маккин 1972 , с. 47.

[159] Томпсон, Уильям (1894). «Изопериметрические задачи». Серия «Природа: Популярные лекции и обращения» . II : 571–592.

[160] Чавел, Исаак (2001). Изопериметрические неравенства . Издательство Кембриджского университета.

[161] Таленти, Джорджио (1976). «Лучшая константа в неравенстве Соболева». Анналы чистой и прикладной математики . 110 (1): 353–372. CiteSeerX 10.1.1.615.4193 . дои : 10.1007/BF02418013 . ISSN 1618-1891 . S2CID 16923822 .

[162] Л. Эспозито; К. Нитч; К. Тромбетти (2011). «Наилучшие константы в неравенствах Пуанкаре для выпуклых областей». arXiv : 1110.2960 [ math.AP ].

[163] Дель Пино, М.; Долбо, Дж. (2002). «Наилучшие константы для неравенств Гальярдо – Ниренберга и приложения к нелинейной диффузии». Журнал чистой и прикладной математики . 81 (9): 847–875. CiteSeerX 10.1.1.57.7077 . дои : 10.1016/s0021-7824(02)01266-7 . S2CID 8409465 .

[164] Пейн, Ле; Вайнбергер, Х.Ф. (1960). «Оптимальное неравенство Пуанкаре для выпуклых областей». Архив рациональной механики и анализа . 5 (1): 286–292. Бибкод : 1960ArRMA...5..286P . дои : 10.1007/BF00252910 . ISSN 0003-9527 . S2CID 121881343 .

[165] Фолланд, Джеральд (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Издательство Принстонского университета. п. 5.

[howe-166] Jump up to: ^а ^б Хау, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе» . Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–844. дои : 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 . МР 0578375 .

[167] Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1 , Уайли, 1968, стр. 174–190.

[GaussProb-168] Jump up to: ^а ^б Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 106–107, 744, 748

[FOOTNOTEDymMcKean1972Section_2.7-169] Дим и Маккин 1972 , раздел 2.7.

[170] Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971). Анализ Фурье в евклидовых пространствах . Издательство Принстонского университета. п. 6. ; Теорема 1.13.

[171] Спивак, Михаил (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию . Том. 3. Опубликуй или погибни Пресса. ; Глава 6.

[172] Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии . Том. 2 (Новая ред.). Уайли Интерсайенс . п. 293. ; Глава XII Классы характеристик

[173] Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 115.

[174] Джоглекар, С.Д. (2005). Математическая физика . Университетская пресса. п. 166. ИСБН 978-81-7371-422-1 .

[175] Шей, Х.М. (1996). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . WW Нортон. ISBN 0-393-96997-5 .

[176] Йео, Адриан (2006). Прелести пи, е и других интересных чисел . Мировой научный паб. п. 21. ISBN 978-981-270-078-0 .

[177] Элерс, Юрген (2000). Уравнения поля Эйнштейна и их физические последствия . Спрингер. п. 7. ISBN 978-3-540-67073-5 .

[Elliptic_PDE2-178] Jump up to: ^а ^б Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7

[179] Бронштейн и Семендяев 1971 , стр. 191–192

[180] Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . сериал Афина; избранные темы по математике (1-е изд.). Холт, Райнхарт и Уинстон.

[181] Эванс, Лоуренс (1997). Уравнения в частных производных . АМС. п. 615.

[182] Бронштейн и Семендяев 1971 , с. 190

[183] Бенджамин Нилл; Андреас Паффенхольц (2014). «О случае равенства в гипотезе объема Эрхарта». Достижения в геометрии . 14 (4): 579–586. arXiv : 1205.1270 . дои : 10.1515/advgeom-2014-0001 . ISSN 1615-7168 . S2CID 119125713 .

[184] Арндт и Хенель 2006 , стр. 41–43.

[185] Эта теорема была доказана Эрнесто Чезаро в 1881 году. Более строгое доказательство, чем приведенное здесь интуитивное и неформальное, см. Харди, GH (2008). Введение в теорию чисел . Издательство Оксфордского университета. Теорема 332. ISBN 978-0-19-921986-5 .

[186] Огилви, CS ; Андерсон, Дж. Т. (1988). Экскурсии по теории чисел . Dover Publications Inc., стр. 29–35. ISBN 0-486-25778-9 .

[187] Арндт и Хенель 2006 , с. 43

[188] Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел . Академическая пресса. стр. 262–265.

[189] Сондоу, Дж. (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений отрицательных целых чисел посредством преобразования рядов Эйлера». Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. CiteSeerX 10.1.1.352.5774 . дои : 10.1090/s0002-9939-1994-1172954-7 . S2CID 122276856 .

[190] Т. Фридман; Ч.Р. Хаген (2015). «Квантово-механический вывод формулы Уоллиса для числа пи». Журнал математической физики . 56 (11): 112101. arXiv : 1510.07813 . Бибкод : 2015JMP....56k2101F . дои : 10.1063/1.4930800 . S2CID 119315853 .

[191] Тейт, Джон Т. (1950). «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке». В Касселсе, JWS; Фрелих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел (Труды учебной конференции, Брайтон, 1965) . Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия. стр. 305–347. ISBN 978-0-9502734-2-6 . МР 0217026 .

[FOOTNOTEDymMcKean1972Chapter_4-192] Smoke & McKean 1972 , Глава 4.

[Mumford_1983_1–117-193] Jump up to: ^а ^б Мамфорд, Дэвид (1983). Тата-лекции по Тэте I. Бостон: Биркхаузер. стр. 1–117. ISBN 978-3-7643-3109-2 .

[194] Порт, Сидней; Стоун, Чарльз (1978). Броуновское движение и классическая теория потенциала . Академическая пресса. п. 29.

[195] Титчмарш, Э. (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.). Оксфордский университет: Clarendon Press (опубликовано в 1986 г.). ISBN 978-0-8284-0324-5 .

[196] Штейн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета. ; Глава II.

[KA-197] Jump up to: ^а ^б Клебанов, Аарон (2001). «Пи в множестве Мандельброта» (PDF) . Фракталы . 9 (4): 393–402. дои : 10.1142/S0218348X01000828 . Архивировано из оригинала (PDF) 27 октября 2011 года . Проверено 14 апреля 2012 г.

[198] Пейтген, Хайнц-Отто (2004). Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Спрингер. стр. 801–803. ISBN 978-0-387-20229-7 .

[199] Овсиенко В.; Табачников, С. (2004). «Раздел 1.3». Проективная дифференциальная геометрия, старая и новая: от производной Шварца к когомологиям групп диффеоморфизмов . Кембриджские трактаты по математике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83186-4 .

[200] Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). Основы физики (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 381. ИСБН 0-471-14854-7 .

[201] Уроне, Пол Питер; Хинрикс, Роджер (2022). «29.7 Вероятность: принцип неопределенности Гейзенберга» . Колледж физики 2е . ОпенСтакс .

[202] Ицыксон, К. ; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля (изд. 2005 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44568-7 . LCCN 2005053026 . OCLC 61200849 .

[203] Лоу, Питер (1971). Классическая теория структур на основе дифференциального уравнения . Издательство Кембриджского университета. стр. 116–118. ISBN 978-0-521-08089-7 .

[204] Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. п. 233. ИСБН 0-521-66396-2 .

[A445-205] Jump up to: ^а ^б ^с Арндт и Хенель, 2006 , стр. 44–45.

[206] «Самые запомненные места Пи». Архивировано 14 февраля 2016 года в Wayback Machine , Книга рекордов Гиннеса.

[japantimes-207] Отаке, Томоко (17 декабря 2006 г.). «Как можно запомнить 100 000 чисел?» . Джапан Таймс . Архивировано из оригинала 18 августа 2013 года . Проверено 27 октября 2007 г.

[208] Данези, Марсель (январь 2021 г.). «Глава 4: Пи в популярной культуре». Пи ( $π$ ) в природе, искусстве и культуре . Брилл. п. 97 . дои : 10.1163/9789004433397 . ISBN 9789004433373 . S2CID 224869535 .

[209] Раз, А.; Паккард, МГ (2009). «Кусочек числа Пи: исследовательское нейровизуализационное исследование кодирования и извлечения цифр у превосходного запоминающего» . Нейрокейз . 15 (5): 361–372. дои : 10.1080/13554790902776896 . ПМЦ 4323087 . ПМИД 19585350 .

[210] Кит, Майк . «Кадейские заметки и комментарии к каденции» . Архивировано из оригинала 18 января 2009 года . Проверено 29 июля 2009 г.

[KeithNAW-211] Кейт, Майкл; Дайана Кейт (17 февраля 2010 г.). Not A Wake: Мечта, полностью воплощающая цифры (пи) до 10 000 десятичных знаков . Винкулум Пресс. ISBN 978-0-9630097-1-5 .

[212] Например, Пиковер называет π «самой известной математической константой всех времен», а Петерсон пишет: «Однако из всех известных математических констант пи продолжает привлекать наибольшее внимание», ссылаясь на духи π от Живанши , Pi (фильм). и День Пи в качестве примеров. Видеть: Пиковер, Клиффорд А. (1995). Ключи от бесконечности . Уайли и сыновья. п. 59 . ISBN 978-0-471-11857-2 . Петерсон, Иварс (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел к волшебным кругам . Спектр МАА. Математическая ассоциация Америки. п. 17. ISBN 978-0-88385-537-9 . Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.

[213] Посаментье и Леманн 2004 , с. 118
Арндт и Хенель 2006 , с. 50

[214] Арндт и Хенель 2006 , с. 14

[215] Польстер, Буркард ; Росс, Марти (2012). Математика идет в кино . Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 56–57. ISBN 978-1-421-40484-4 .

[216] Гилл, Энди (4 ноября 2005 г.). «Обзор Аэриала» . Независимый . Архивировано из оригинала 15 октября 2006 года. Почти аутичное удовлетворение обсессивно-компульсивного математика, очарованного числом «Пи» (которое дает возможность услышать, как Буш медленно поет огромные фрагменты рассматриваемого числа длиной в несколько десятков цифр).

[217] Рубильо, Джеймс М. (январь 1989 г.). «Разрушить их». Учитель математики . 82 (1): 10. JSTOR 27966082 .

[218] Петроски, Генри (2011). Название «Азбука инженера: крупицы более мягкой стороны профессии» . Издательство Кембриджского университета. п. 47. ИСБН 978-1-139-50530-7 .

[219] «С Днем числа Пи! Посмотрите эти потрясающие видеоролики, в которых дети читают 3.14» . USAToday.com . 14 марта 2015 года. Архивировано из оригинала 15 марта 2015 года . Проверено 14 марта 2015 г.

[220] Розенталь, Джеффри С. (февраль 2015 г.). «Пи Мгновенный» . Математические горизонты . 22 (3): 22. doi : 10.4169/mathhorizons.22.3.22 . S2CID 218542599 .

[221] Гриффин, Эндрю. «День Пи: почему некоторые математики отказываются праздновать 14 марта и не отмечают день, наполненный десертами» . Независимый . Архивировано из оригинала 24 апреля 2019 года . Проверено 2 февраля 2019 г.

[222] Фрайбергер, Марианна; Томас, Рэйчел (2015). «Тау – новое $π$ » . Нумерикон: путешествие по скрытой жизни чисел . Кверкус. п. 159. ИСБН 978-1-62365-411-5 .

[223] Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Математические горизонты . 19 (4): 34. doi : 10.4169/mathhorizons.19.4.34 . S2CID 126179022 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 года.

[224] Пале, Робер (2001). « $П$ неправильно!» (PDF) . Математический интеллект . 23 (3): 7–8. дои : 10.1007/BF03026846 . S2CID 120965049 . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июня 2012 года.

[225] «Жизни Пи ничего не угрожает – эксперты хладнокровно проводят кампанию по замене на тау» . Телеграф Индии . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г.

[226] «Забудьте День Пи. Нам следует праздновать День Тау | Новости науки» . Проверено 2 мая 2023 г.

[227] Арндт и Хенель 2006 , стр. 211–212.
Посаментье и Леманн 2004 , стр. 36–37
Халлерберг, Артур (май 1977 г.). «Квадрат Индианы». Журнал «Математика» . 50 (3): 136–140. дои : 10.2307/2689499 . JSTOR 2689499 .

[228] Кнут, Дональд (3 октября 1990 г.). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . Текс Маг . 5 (1): 145. Архивировано (PDF) из оригинала 13 апреля 2016 года . Проверено 17 февраля 2017 г. .

[229] «PEP 628 — Добавить math.tau» .

[230] «Ящик тау» . Проверено 6 декабря 2022 г.

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[б]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[с]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]