Special functions of several complex variables
Тета-функция Якоби θ 1 с номером q = e я п т = 0,1 е 0,1 я р :
θ
1
(
z
,
q
)
=
2
q
1
4
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
q
n
(
n
+
1
)
sin
(
2
n
+
1
)
z
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
q
(
n
+
1
2
)
2
e
(
2
n
+
1
)
i
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z,q)&=2q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin(2n+1)z\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}e^{(2n+1)iz}.\end{aligned}}}
В математике тэта - функции представляют собой специальные функции нескольких комплексных переменных . Они встречаются во многих темах, включая абелевы многообразия , пространства модулей , квадратичные формы и солитоны . Как алгебры Грассмана они появляются в квантовой теории поля . [1]
Наиболее распространенной формой тэта-функции является форма, встречающаяся в теории эллиптических функций . По отношению к одной из комплексных переменных (обычно называемой z ) тэта-функция обладает свойством, выражающим ее поведение относительно сложения периода связанных эллиптических функций, что делает ее квазипериодической функцией . В абстрактной теории эта квазипериодичность происходит из класса когомологий линейного расслоения на комплексном торе , условия спуска .
Одна из интерпретаций тэта-функций при работе с уравнением теплопроводности заключается в том, что «тэта-функция — это специальная функция, которая описывает эволюцию температуры в сегментной области с учетом определенных граничных условий». [2]
На протяжении всей этой статьи
(
e
π
i
τ
)
α
{\displaystyle (e^{\pi i\tau })^{\alpha }}
следует интерпретировать как
e
α
π
i
τ
{\displaystyle e^{\alpha \pi i\tau }}
(для решения вопросов выбора филиала ). [примечание 1]
Тета-функция Якоби [ править ]
Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, а также множество различных и несовместимых систем обозначений для них.
Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоби Якоби ) — это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ , где z может быть любым комплексным числом , а τ — отношение полупериода , ограниченное верхней полуплоскостью , что означает он имеет положительную мнимую часть. Оно определяется формулой
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
exp
(
π
i
n
2
τ
+
2
π
i
n
z
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
q
n
2
cos
(
2
π
n
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
2
η
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}}
где q = exp( πiτ ) — имя , а η = exp(2 πiz ) . Это форма Якоби . Ограничение гарантирует, что это абсолютно сходящийся ряд. При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции от z . Соответственно, тэта-функция 1-периодична по z :
ϑ
(
z
+
1
;
τ
)
=
ϑ
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}
Заполняя квадрат , он также становится τ -квазипериодическим по z , причем
ϑ
(
z
+
τ
;
τ
)
=
exp
(
−
π
i
(
τ
+
2
z
)
)
ϑ
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp {\bigl (}-\pi i(\tau +2z){\bigr )}\vartheta (z;\tau ).}
Таким образом, в целом
ϑ
(
z
+
a
+
b
τ
;
τ
)
=
exp
(
−
π
i
b
2
τ
−
2
π
i
b
z
)
ϑ
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )}
для любых целых чисел a и b .
Для любого фиксированного
τ
{\displaystyle \tau }
, функция является целой функцией на комплексной плоскости, поэтому по теореме Лиувилля она не может быть двоякопериодической по
1
,
τ
{\displaystyle 1,\tau }
если только оно не является постоянным, и поэтому лучшее, что мы можем сделать, это сделать его периодическим в
1
{\displaystyle 1}
и квазипериодический по
τ
{\displaystyle \tau }
. Действительно, поскольку
|
ϑ
(
z
+
a
+
b
τ
;
τ
)
ϑ
(
z
;
τ
)
|
=
exp
(
π
(
b
2
ℑ
(
τ
)
+
2
b
ℑ
(
z
)
)
)
{\displaystyle \left|{\frac {\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )}{\vartheta (z;\tau )}}\right|=\exp \left(\pi (b^{2}\Im (\tau )+2b\Im (z))\right)}
и
ℑ
(
τ
)
>
0
{\displaystyle \Im (\tau )>0}
, функция
ϑ
(
z
,
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z,\tau )}
неограничено, как того требует теорема Лиувилля.
Фактически это наиболее общая целая функция с двумя квазипериодами в следующем смысле: [3]
Тета-функция θ 1 с другим именем q = e ipt . Черная точка на правом рисунке показывает, как q меняется с ростом τ .
Тета-функция θ 1 с другим именем q = e ipt . Черная точка на правом рисунке показывает, как q меняется с ростом τ .
Вспомогательные функции [ править ]
Определенную выше тэта-функцию Якоби иногда рассматривают вместе с тремя вспомогательными тэта-функциями, и в этом случае она записывается с двойным индексом 0:
ϑ
00
(
z
;
τ
)
=
ϑ
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}
Вспомогательные функции (или полупериодические) определяются формулой
ϑ
01
(
z
;
τ
)
=
ϑ
(
z
+
1
2
;
τ
)
ϑ
10
(
z
;
τ
)
=
exp
(
1
4
π
i
τ
+
π
i
z
)
ϑ
(
z
+
1
2
τ
;
τ
)
ϑ
11
(
z
;
τ
)
=
exp
(
1
4
π
i
τ
+
π
i
(
z
+
1
2
)
)
ϑ
(
z
+
1
2
τ
+
1
2
;
τ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}
Эти обозначения следуют Риману и Мамфорду ; Первоначальная формулировка Якоби использовалась в терминах нома q = e ipt а не τ . В обозначениях Якоби θ -функции записываются:
θ
1
(
z
;
q
)
=
θ
1
(
π
z
,
q
)
=
−
ϑ
11
(
z
;
τ
)
θ
2
(
z
;
q
)
=
θ
2
(
π
z
,
q
)
=
ϑ
10
(
z
;
τ
)
θ
3
(
z
;
q
)
=
θ
3
(
π
z
,
q
)
=
ϑ
00
(
z
;
τ
)
θ
4
(
z
;
q
)
=
θ
4
(
π
z
,
q
)
=
ϑ
01
(
z
;
τ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}
Якоби тета 1
Якоби тета 2
Якоби тета 3
Якоби тета 4
Приведенные выше определения тэта-функций Якоби отнюдь не единственны. См. тета-функции Якоби (варианты обозначений) для дальнейшего обсуждения.
Если мы положим z = 0 в приведенных выше тэта-функциях, мы получим только четыре функции от τ , определенные в верхней полуплоскости. Эти функции называются функциями тета-нульверта , что происходит от немецкого термина, обозначающего нулевое значение, из-за аннулирования левой записи в выражении тета-функции. В качестве альтернативы мы получаем только четыре функции от q , определенные на единичном круге
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
. Их иногда называют тэта-константами : [заметка 2]
ϑ
11
(
0
;
τ
)
=
−
θ
1
(
q
)
=
−
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
−
1
/
2
q
(
n
+
1
/
2
)
2
ϑ
10
(
0
;
τ
)
=
θ
2
(
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
(
n
+
1
/
2
)
2
ϑ
00
(
0
;
τ
)
=
θ
3
(
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
2
ϑ
01
(
0
;
τ
)
=
θ
4
(
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
q
n
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}}
с именем q = e ipt .
Обратите внимание, что
θ
1
(
q
)
=
0
{\displaystyle \theta _{1}(q)=0}
.
Их можно использовать для определения различных модульных форм и параметризации определенных кривых; в частности, тождество Якоби есть
θ
2
(
q
)
4
+
θ
4
(
q
)
4
=
θ
3
(
q
)
4
{\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}}
или эквивалентно,
ϑ
01
(
0
;
τ
)
4
+
ϑ
10
(
0
;
τ
)
4
=
ϑ
00
(
0
;
τ
)
4
{\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}}
что представляет собой кривую Ферма четвертой степени.
Личности Якоби [ править ]
Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под действием модулярной группы , которая порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ − 1 / τ . Уравнения для первого преобразования легко найти, поскольку добавление единицы к τ в показателе степени имеет тот же эффект, что и добавление 1/2 до z ( n ≡ n 2 мод 2 ). Для второго пусть
α
=
(
−
i
τ
)
1
2
exp
(
π
τ
i
z
2
)
.
{\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}
Затем
ϑ
00
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
00
(
z
;
τ
)
ϑ
01
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
10
(
z
;
τ
)
ϑ
10
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
α
ϑ
01
(
z
;
τ
)
ϑ
11
(
z
τ
;
−
1
τ
)
=
−
i
α
ϑ
11
(
z
;
τ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}
Тета-функции в терминах имени [ править ]
Вместо того, чтобы выражать тета-функции через z и τ , мы можем выразить их через аргументы w и ном q , где w = e πiz и q = е яма . В этой форме функции становятся
ϑ
00
(
w
,
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
w
2
)
n
q
n
2
ϑ
01
(
w
,
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
(
w
2
)
n
q
n
2
ϑ
10
(
w
,
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
w
2
)
n
+
1
2
q
(
n
+
1
2
)
2
ϑ
11
(
w
,
q
)
=
i
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
(
w
2
)
n
+
1
2
q
(
n
+
1
2
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}
Мы видим, что тэта-функции также могут быть определены через w и q без прямой ссылки на показательную функцию. Таким образом, эти формулы можно использовать для определения тета-функций в других полях , где показательная функция может быть определена не везде, например, в полях p -адических чисел .
Изображения продукта [ править ]
( Тройное произведение Якоби частный случай тождеств Макдональда ) говорит нам, что для комплексных чисел w и q с | д | < 1 и w ≠ 0 имеем
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
w
2
q
2
m
−
1
)
(
1
+
w
−
2
q
2
m
−
1
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
w
2
n
q
n
2
.
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта « Введение в теорию чисел» .
Если мы выразим тэта-функцию через ном q = e яма (отмечая, что некоторые авторы вместо этого устанавливают q = e 2 ямы ) и возьмем w = e πiz затем
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
exp
(
π
i
τ
n
2
)
exp
(
2
π
i
z
n
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
w
2
n
q
n
2
.
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}
Таким образом, мы получаем формулу произведения для тэта-функции в виде
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
exp
(
2
m
π
i
τ
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
+
2
π
i
z
)
)
(
1
+
exp
(
(
2
m
−
1
)
π
i
τ
−
2
π
i
z
)
)
.
{\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}
С точки зрения w и q :
ϑ
(
z
;
τ
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
q
2
m
−
1
w
2
)
(
1
+
q
2
m
−
1
w
2
)
=
(
q
2
;
q
2
)
∞
(
−
w
2
q
;
q
2
)
∞
(
−
q
w
2
;
q
2
)
∞
=
(
q
2
;
q
2
)
∞
θ
(
−
w
2
q
;
q
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}
где ( ; ) ∞ — символ q -Похгаммера , а θ (; ) — q -тэта-функция . Раскрывая члены, тройное произведение Якоби также можно записать
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
(
w
2
+
w
−
2
)
q
2
m
−
1
+
q
4
m
−
2
)
,
{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},}
который мы также можем записать как
ϑ
(
z
∣
q
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
−
1
+
q
4
m
−
2
)
.
{\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}
Эта форма в целом действительна, но, очевидно, представляет особый интерес, когда z действительно. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тэта-функций:
ϑ
01
(
z
∣
q
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
−
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
−
1
+
q
4
m
−
2
)
,
ϑ
10
(
z
∣
q
)
=
2
q
1
4
cos
(
π
z
)
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
+
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
+
q
4
m
)
,
ϑ
11
(
z
∣
q
)
=
−
2
q
1
4
sin
(
π
z
)
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
−
2
cos
(
2
π
z
)
q
2
m
+
q
4
m
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}
В частности,
lim
q
→
0
ϑ
10
(
z
∣
q
)
2
q
1
4
=
cos
(
π
z
)
,
lim
q
→
0
−
ϑ
11
(
z
∣
q
)
2
q
−
1
4
=
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{-{\frac {1}{4}}}}}=\sin(\pi z)}
поэтому мы можем интерпретировать их как однопараметрические деформации периодических функций
sin
,
cos
{\displaystyle \sin ,\cos }
, что еще раз подтверждает интерпретацию тета-функции как наиболее общей функции 2-квазипериода.
Интегральные представления [ править ]
Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:
ϑ
00
(
z
;
τ
)
=
−
i
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
π
u
z
+
π
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
;
ϑ
01
(
z
;
τ
)
=
−
i
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
π
u
z
)
sin
(
π
u
)
d
u
;
ϑ
10
(
z
;
τ
)
=
−
i
e
i
π
z
+
1
4
i
π
τ
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
π
u
z
+
π
u
+
π
τ
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
;
ϑ
11
(
z
;
τ
)
=
e
i
π
z
+
1
4
i
π
τ
∫
i
−
∞
i
+
∞
e
i
π
τ
u
2
cos
(
2
π
u
z
+
π
τ
u
)
sin
(
π
u
)
d
u
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}
Функция Тета Нулверта
θ
3
(
q
)
{\displaystyle \theta _{3}(q)}
как это целостное тождество:
θ
3
(
q
)
=
1
+
4
q
ln
(
1
/
q
)
π
∫
0
∞
exp
[
−
ln
(
1
/
q
)
x
2
]
{
1
−
q
2
cos
[
2
ln
(
1
/
q
)
x
]
}
1
−
2
q
2
cos
[
2
ln
(
1
/
q
)
x
]
+
q
4
d
x
{\displaystyle \theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x}
Эта формула обсуждалась в эссе « Преобразования производящей функции квадратного ряда» математика Макси Шмидта из Джорджии в Атланте.
На основе этой формулы приводятся следующие три выдающихся примера:
[
2
π
K
(
1
2
2
)
]
1
/
2
=
θ
3
[
exp
(
−
π
)
]
=
1
+
4
exp
(
−
π
)
∫
0
∞
exp
(
−
π
x
2
)
[
1
−
exp
(
−
2
π
)
cos
(
2
π
x
)
]
1
−
2
exp
(
−
2
π
)
cos
(
2
π
x
)
+
exp
(
−
4
π
)
d
x
{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x}
[
2
π
K
(
2
−
1
)
]
1
/
2
=
θ
3
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
1
+
4
2
4
exp
(
−
2
π
)
∫
0
∞
exp
(
−
2
π
x
2
)
[
1
−
exp
(
−
2
2
π
)
cos
(
2
2
π
x
)
]
1
−
2
exp
(
−
2
2
π
)
cos
(
2
2
π
x
)
+
exp
(
−
4
2
π
)
d
x
{\displaystyle {\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}
{
2
π
K
[
sin
(
π
12
)
]
}
1
/
2
=
θ
3
[
exp
(
−
3
π
)
]
=
1
+
4
3
4
exp
(
−
3
π
)
∫
0
∞
exp
(
−
3
π
x
2
)
[
1
−
exp
(
−
2
3
π
)
cos
(
2
3
π
x
)
]
1
−
2
exp
(
−
2
3
π
)
cos
(
2
3
π
x
)
+
exp
(
−
4
3
π
)
d
x
{\displaystyle {\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x}
Более того, тета-примеры
θ
3
(
1
2
)
{\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})}
и
θ
3
(
1
3
)
{\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}
должно отображаться:
θ
3
(
1
2
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
1
2
n
2
=
1
+
2
π
−
1
/
2
ln
(
2
)
∫
0
∞
exp
[
−
ln
(
2
)
x
2
]
{
16
−
4
cos
[
2
ln
(
2
)
x
]
}
17
−
8
cos
[
2
ln
(
2
)
x
]
d
x
{\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}
θ
3
(
1
2
)
=
2.128936827211877158669
…
{\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=2.128936827211877158669\ldots }
θ
3
(
1
3
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
1
3
n
2
=
1
+
4
3
π
−
1
/
2
ln
(
3
)
∫
0
∞
exp
[
−
ln
(
3
)
x
2
]
{
81
−
9
cos
[
2
ln
(
3
)
x
]
}
82
−
18
cos
[
2
ln
(
3
)
x
]
d
x
{\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}
θ
3
(
1
3
)
=
1.691459681681715341348
…
{\displaystyle \theta _{3}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1.691459681681715341348\ldots }
Явные значения [ править ]
Большая часть этих результатов принадлежит Рамануджану. См. потерянную записную книжку Рамануджана и соответствующую ссылку на функцию Эйлера . Результаты Рамануджана, приведенные в функции Эйлера, плюс несколько элементарных операций дают результаты, приведенные ниже, поэтому они либо находятся в потерянной записной книжке Рамануджана, либо следуют непосредственно из нее. См. также Йи (2004). [4] Определять,
φ
(
q
)
=
ϑ
00
(
0
;
τ
)
=
θ
3
(
0
;
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
2
{\displaystyle \quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}
с именем
q
=
e
π
i
τ
,
{\displaystyle q=e^{\pi i\tau },}
τ
=
n
−
1
,
{\displaystyle \tau =n{\sqrt {-1}},}
и эта-функция Дедекинда
η
(
τ
)
.
{\displaystyle \eta (\tau ).}
Тогда для
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle n=1,2,3,\dots }
φ
(
e
−
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
=
2
η
(
−
1
)
φ
(
e
−
2
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
2
+
2
2
φ
(
e
−
3
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
1
+
3
108
8
φ
(
e
−
4
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
2
+
8
4
4
φ
(
e
−
5
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
2
+
5
5
φ
(
e
−
6
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
1
4
+
3
4
+
4
4
+
9
4
12
3
8
φ
(
e
−
7
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
13
+
7
+
7
+
3
7
14
3
8
⋅
7
16
φ
(
e
−
8
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
2
+
2
+
128
8
4
φ
(
e
−
9
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
1
+
2
+
2
3
3
3
φ
(
e
−
10
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
64
4
+
80
4
+
81
4
+
100
4
200
4
φ
(
e
−
11
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
11
+
11
+
(
5
+
3
3
+
11
+
33
)
−
44
+
33
3
3
+
(
−
5
+
3
3
−
11
+
33
)
44
+
33
3
3
52180524
8
φ
(
e
−
12
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
1
4
+
2
4
+
3
4
+
4
4
+
9
4
+
18
4
+
24
4
2
108
8
φ
(
e
−
13
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
13
+
8
13
+
(
11
−
6
3
+
13
)
143
+
78
3
3
+
(
11
+
6
3
+
13
)
143
−
78
3
3
19773
4
φ
(
e
−
14
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
13
+
7
+
7
+
3
7
+
10
+
2
7
+
28
8
4
+
7
28
7
16
φ
(
e
−
15
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
7
+
3
3
+
5
+
15
+
60
4
+
1500
4
12
3
8
⋅
5
2
φ
(
e
−
16
π
)
=
φ
(
e
−
4
π
)
+
π
4
Γ
(
3
4
)
1
+
2
4
128
16
φ
(
e
−
17
π
)
=
π
4
Γ
(
3
4
)
2
(
1
+
17
4
)
+
17
8
5
+
17
17
+
17
17
2
φ
(
e
−
20
π
)
=
φ
(
e
−
5
π
)
+
π
4
Γ
(
3
4
)
3
+
2
5
4
5
2
6
φ
(
e
−
36
π
)
=
3
φ
(
e
−
9
π
)
+
2
φ
(
e
−
4
π
)
−
φ
(
e
−
π
)
+
π
4
Γ
(
3
4
)
2
4
+
18
4
+
216
4
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}}
Если возвести обратную константу Гельфонда в степень обратной нечетному числу, то соответствующее
ϑ
00
{\displaystyle \vartheta _{00}}
ценности или
ϕ
{\displaystyle \phi }
значения можно представить упрощенно, используя гиперболический лемнискатический синус :
φ
[
exp
(
−
1
5
π
)
]
=
π
4
Γ
(
3
4
)
−
1
slh
(
1
5
2
ϖ
)
slh
(
2
5
2
ϖ
)
{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}
φ
[
exp
(
−
1
7
π
)
]
=
π
4
Γ
(
3
4
)
−
1
slh
(
1
7
2
ϖ
)
slh
(
2
7
2
ϖ
)
slh
(
3
7
2
ϖ
)
{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}
φ
[
exp
(
−
1
9
π
)
]
=
π
4
Γ
(
3
4
)
−
1
slh
(
1
9
2
ϖ
)
slh
(
2
9
2
ϖ
)
slh
(
3
9
2
ϖ
)
slh
(
4
9
2
ϖ
)
{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}
φ
[
exp
(
−
1
11
π
)
]
=
π
4
Γ
(
3
4
)
−
1
slh
(
1
11
2
ϖ
)
slh
(
2
11
2
ϖ
)
slh
(
3
11
2
ϖ
)
slh
(
4
11
2
ϖ
)
slh
(
5
11
2
ϖ
)
{\displaystyle \varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}}
С письмом
ϖ
{\displaystyle \varpi }
. константа лемнискаты представлена
Обратите внимание, что имеют место следующие модульные тождества:
2
φ
(
q
4
)
=
φ
(
q
)
+
2
φ
2
(
q
2
)
−
φ
2
(
q
)
3
φ
(
q
9
)
=
φ
(
q
)
+
9
φ
4
(
q
3
)
φ
(
q
)
−
φ
3
(
q
)
3
5
φ
(
q
25
)
=
φ
(
q
5
)
cot
(
1
2
arctan
(
2
5
φ
(
q
)
φ
(
q
5
)
φ
2
(
q
)
−
φ
2
(
q
5
)
1
+
s
(
q
)
−
s
2
(
q
)
s
(
q
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}}
где
s
(
q
)
=
s
(
e
π
i
τ
)
=
−
R
(
−
e
−
π
i
/
(
5
τ
)
)
{\displaystyle s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)}
представляет собой непрерывную дробь Роджерса-Рамануджана :
s
(
q
)
=
tan
(
1
2
arctan
(
5
2
φ
2
(
q
5
)
φ
2
(
q
)
−
1
2
)
)
cot
2
(
1
2
arccot
(
5
2
φ
2
(
q
5
)
φ
2
(
q
)
−
1
2
)
)
5
=
e
−
π
i
/
(
25
τ
)
1
−
e
−
π
i
/
(
5
τ
)
1
+
e
−
2
π
i
/
(
5
τ
)
1
−
⋱
{\displaystyle {\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}}
Математик Брюс Берндт открыл дополнительные значения [5] тета-функции:
φ
(
exp
(
−
3
π
)
)
=
π
−
1
Γ
(
4
3
)
3
/
2
2
−
2
/
3
3
13
/
8
φ
(
exp
(
−
2
3
π
)
)
=
π
−
1
Γ
(
4
3
)
3
/
2
2
−
2
/
3
3
13
/
8
cos
(
1
24
π
)
φ
(
exp
(
−
3
3
π
)
)
=
π
−
1
Γ
(
4
3
)
3
/
2
2
−
2
/
3
3
7
/
8
(
2
3
+
1
)
φ
(
exp
(
−
4
3
π
)
)
=
π
−
1
Γ
(
4
3
)
3
/
2
2
−
5
/
3
3
13
/
8
(
1
+
cos
(
1
12
π
)
)
φ
(
exp
(
−
5
3
π
)
)
=
π
−
1
Γ
(
4
3
)
3
/
2
2
−
2
/
3
3
5
/
8
sin
(
1
5
π
)
(
2
5
100
3
+
2
5
10
3
+
3
5
5
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}}
Дальнейшие значения [ править ]
Многие значения тета-функции [6] и особенно показанную фи-функцию можно представить через гамма-функцию:
φ
(
exp
(
−
2
π
)
)
=
π
−
1
/
2
Γ
(
9
8
)
Γ
(
5
4
)
−
1
/
2
2
7
/
8
φ
(
exp
(
−
2
2
π
)
)
=
π
−
1
/
2
Γ
(
9
8
)
Γ
(
5
4
)
−
1
/
2
2
1
/
8
(
1
+
2
−
1
)
φ
(
exp
(
−
3
2
π
)
)
=
π
−
1
/
2
Γ
(
9
8
)
Γ
(
5
4
)
−
1
/
2
2
3
/
8
3
−
1
/
2
(
3
+
1
)
tan
(
5
24
π
)
φ
(
exp
(
−
4
2
π
)
)
=
π
−
1
/
2
Γ
(
9
8
)
Γ
(
5
4
)
−
1
/
2
2
−
1
/
8
(
1
+
2
2
−
2
4
)
φ
(
exp
(
−
5
2
π
)
)
=
π
−
1
/
2
Γ
(
9
8
)
Γ
(
5
4
)
−
1
/
2
2
7
/
8
⋅
−
10
+
10
2
+
5
5
+
(
4
−
4
2
+
2
3
−
2
5
−
6
+
30
)
35
+
15
6
3
+
(
−
4
+
4
2
+
2
3
+
2
5
−
6
+
30
)
−
35
+
15
6
3
1125
4
φ
(
exp
(
−
6
π
)
)
=
π
−
1
/
2
Γ
(
5
24
)
Γ
(
5
12
)
−
1
/
2
2
−
13
/
24
3
−
1
/
8
sin
(
5
12
π
)
φ
(
exp
(
−
1
2
6
π
)
)
=
π
−
1
/
2
Γ
(
5
24
)
Γ
(
5
12
)
−
1
/
2
2
5
/
24
3
−
1
/
8
sin
(
5
24
π
)
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{3/8}3^{-1/2}({\sqrt {3}}+1){\sqrt {\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{-1/8}{\Bigl (}1+{\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {9}{8}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{4}}\right)}^{-1/2}2^{7/8}\\&&\cdot {\frac {\sqrt {-10+10{\sqrt {2}}+5{\sqrt {5}}+(4-4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {30}}){\sqrt[{3}]{35+15{\sqrt {6}}}}+(-4+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {30}}){\sqrt[{3}]{-35+15{\sqrt {6}}}}}}{\sqrt[{4}]{1125}}}\\\varphi \left(\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{-13/24}3^{-1/8}{\sqrt {\sin({\tfrac {5}{12}}\pi )}}\\\varphi \left(\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1/2}\Gamma \left({\tfrac {5}{24}}\right){\Gamma \left({\tfrac {5}{12}}\right)}^{-1/2}2^{5/24}3^{-1/8}\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )\end{array}}}
прямой о Теоремы мощности
Для преображения нома [7] в тэта-функциях можно использовать эти формулы:
θ
2
(
q
2
)
=
1
2
2
[
θ
3
(
q
)
2
−
θ
4
(
q
)
2
]
{\displaystyle \theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}}
θ
3
(
q
2
)
=
1
2
2
[
θ
3
(
q
)
2
+
θ
4
(
q
)
2
]
{\displaystyle \theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}}
θ
4
(
q
2
)
=
θ
4
(
q
)
θ
3
(
q
)
{\displaystyle \theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}}
Квадраты трех тета-функций с нулевым значением с функцией квадрата в качестве внутренней функции также формируются по образцу пифагорейских троек в соответствии с тождеством Якоби. Более того, эти преобразования действительны:
θ
3
(
q
4
)
=
1
2
θ
3
(
q
)
+
1
2
θ
4
(
q
)
{\displaystyle \theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)}
Эти формулы можно использовать для вычисления тета-значений куба нома:
27
θ
3
(
q
3
)
8
−
18
θ
3
(
q
3
)
4
θ
3
(
q
)
4
−
θ
3
(
q
)
8
=
8
θ
3
(
q
3
)
2
θ
3
(
q
)
2
[
2
θ
4
(
q
)
4
−
θ
3
(
q
)
4
]
{\displaystyle 27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]}
27
θ
4
(
q
3
)
8
−
18
θ
4
(
q
3
)
4
θ
4
(
q
)
4
−
θ
4
(
q
)
8
=
8
θ
4
(
q
3
)
2
θ
4
(
q
)
2
[
2
θ
3
(
q
)
4
−
θ
4
(
q
)
4
]
{\displaystyle 27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}
Для расчета тета-значений пятой степени нома можно использовать следующие формулы:
[
θ
3
(
q
)
2
−
θ
3
(
q
5
)
2
]
[
5
θ
3
(
q
5
)
2
−
θ
3
(
q
)
2
]
5
=
256
θ
3
(
q
5
)
2
θ
3
(
q
)
2
θ
4
(
q
)
4
[
θ
3
(
q
)
4
−
θ
4
(
q
)
4
]
{\displaystyle [\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}
[
θ
4
(
q
5
)
2
−
θ
4
(
q
)
2
]
[
5
θ
4
(
q
5
)
2
−
θ
4
(
q
)
2
]
5
=
256
θ
4
(
q
5
)
2
θ
4
(
q
)
2
θ
3
(
q
)
4
[
θ
3
(
q
)
4
−
θ
4
(
q
)
4
]
{\displaystyle [\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]}
Преобразование в корне куба имени [ править ]
Формулы для значений тэта-функции Нулверта из кубического корня эллиптического нома получаются путем сопоставления двух вещественных решений соответствующих уравнений четвертой степени:
[
θ
3
(
q
1
/
3
)
2
θ
3
(
q
)
2
−
3
θ
3
(
q
3
)
2
θ
3
(
q
)
2
]
2
=
4
−
4
[
2
θ
2
(
q
)
2
θ
4
(
q
)
2
θ
3
(
q
)
4
]
2
/
3
{\displaystyle {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}
[
3
θ
4
(
q
3
)
2
θ
4
(
q
)
2
−
θ
4
(
q
1
/
3
)
2
θ
4
(
q
)
2
]
2
=
4
+
4
[
2
θ
2
(
q
)
2
θ
3
(
q
)
2
θ
4
(
q
)
4
]
2
/
3
{\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}
Трансформация пятого корня имени [ править ]
Непрерывная дробь Роджерса -Рамануджана может быть определена через тета-функцию Якоби следующим образом:
R
(
q
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
2
−
θ
4
(
q
)
2
2
θ
4
(
q
5
)
2
]
}
1
/
5
tan
{
1
2
arccot
[
1
2
−
θ
4
(
q
)
2
2
θ
4
(
q
5
)
2
]
}
2
/
5
{\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}
R
(
q
2
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
2
−
θ
4
(
q
)
2
2
θ
4
(
q
5
)
2
]
}
2
/
5
cot
{
1
2
arccot
[
1
2
−
θ
4
(
q
)
2
2
θ
4
(
q
5
)
2
]
}
1
/
5
{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}
R
(
q
2
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
θ
3
(
q
)
2
2
θ
3
(
q
5
)
2
−
1
2
]
}
2
/
5
tan
{
1
2
arccot
[
θ
3
(
q
)
2
2
θ
3
(
q
5
)
2
−
1
2
]
}
1
/
5
{\displaystyle R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}
Попеременная функция цепной дроби Роджерса-Рамануджана S(q) имеет следующие два тождества:
S
(
x
)
=
R
(
q
4
)
R
(
q
2
)
R
(
q
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
θ
3
(
q
)
2
2
θ
3
(
q
5
)
2
−
1
2
]
}
1
/
5
cot
{
1
2
arccot
[
θ
3
(
q
)
2
2
θ
3
(
q
5
)
2
−
1
2
]
}
2
/
5
{\displaystyle S(x)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}
Значения тета-функции из пятого корня нома можно представить как рациональную комбинацию непрерывных дробей R и S и значений тета-функции из пятой степени нома и самого нома. Следующие четыре уравнения действительны для всех значений q от 0 до 1:
θ
3
(
q
1
/
5
)
θ
3
(
q
5
)
−
1
=
1
S
(
q
)
[
S
(
q
)
2
+
R
(
q
2
)
]
[
1
+
R
(
q
2
)
S
(
q
)
]
{\displaystyle {\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}}
1
−
θ
4
(
q
1
/
5
)
θ
4
(
q
5
)
=
1
R
(
q
)
[
R
(
q
2
)
+
R
(
q
)
2
]
[
1
−
R
(
q
2
)
R
(
q
)
]
{\displaystyle 1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}}
θ
3
(
q
1
/
5
)
2
−
θ
3
(
q
)
2
=
[
θ
3
(
q
)
2
−
θ
3
(
q
5
)
2
]
[
1
+
1
R
(
q
2
)
S
(
q
)
+
R
(
q
2
)
S
(
q
)
+
1
R
(
q
2
)
2
+
R
(
q
2
)
2
+
1
S
(
q
)
−
S
(
q
)
]
{\displaystyle \theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}}
θ
4
(
q
)
2
−
θ
4
(
q
1
/
5
)
2
=
[
θ
4
(
q
5
)
2
−
θ
4
(
q
)
2
]
[
1
−
1
R
(
q
2
)
R
(
q
)
−
R
(
q
2
)
R
(
q
)
+
1
R
(
q
2
)
2
+
R
(
q
2
)
2
−
1
R
(
q
)
+
R
(
q
)
]
{\displaystyle \theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}}
Теоремы, зависящие от модуля
В сочетании с эллиптическим модулем можно отобразить следующие формулы:
Вот формулы квадрата эллиптического нома:
θ
4
[
q
(
k
)
]
=
θ
4
[
q
(
k
)
2
]
1
−
k
2
8
{\displaystyle \theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}
θ
4
[
q
(
k
)
2
]
=
θ
3
[
q
(
k
)
]
1
−
k
2
8
{\displaystyle \theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}}
θ
3
[
q
(
k
)
2
]
=
θ
3
[
q
(
k
)
]
cos
[
1
2
arcsin
(
k
)
]
{\displaystyle \theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]}
А это эффективная формула куба нома:
θ
4
⟨
q
{
tan
[
1
2
arctan
(
t
3
)
]
}
3
⟩
=
θ
4
⟨
q
{
tan
[
1
2
arctan
(
t
3
)
]
}
⟩
3
−
1
/
2
(
2
t
4
−
t
2
+
1
−
t
2
+
2
+
t
2
+
1
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}
Для всех реальных ценностей
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
теперь упомянутая формула действительна.
И для этой формулы будут приведены два примера:
Первый пример расчета со значением
t
=
1
{\displaystyle t=1}
вставлено:
θ
4
⟨
q
{
tan
[
1
2
arctan
(
1
)
]
}
3
⟩
=
θ
4
⟨
q
{
tan
[
1
2
arctan
(
1
)
]
}
⟩
3
−
1
/
2
(
3
+
2
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}
θ
4
[
exp
(
−
3
2
π
)
]
=
θ
4
[
exp
(
−
2
π
)
]
3
−
1
/
2
(
3
+
2
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}}
Второй пример расчета со значением
t
=
Φ
−
2
{\displaystyle t=\Phi ^{-2}}
вставлено:
θ
4
⟨
q
{
tan
[
1
2
arctan
(
Φ
−
6
)
]
}
3
⟩
=
θ
4
⟨
q
{
tan
[
1
2
arctan
(
Φ
−
6
)
]
}
⟩
3
−
1
/
2
(
2
Φ
−
8
−
Φ
−
4
+
1
−
Φ
−
4
+
2
+
Φ
−
4
+
1
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}
θ
4
[
exp
(
−
3
10
π
)
]
=
θ
4
[
exp
(
−
10
π
)
]
3
−
1
/
2
(
2
Φ
−
8
−
Φ
−
4
+
1
−
Φ
−
4
+
2
+
Φ
−
4
+
1
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}}
Константа
Φ
{\displaystyle \Phi }
представляет собой золотого сечения число
Φ
=
1
2
(
5
+
1
)
{\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}
точно.
Некоторые личности из сериала [ править ]
Суммы с тета-функцией в результате [ править ]
Бесконечная сумма [8] [9] обратных чисел Фибоначчи с нечетными индексами имеет следующее тождество:
∑
n
=
1
∞
1
F
2
n
−
1
=
5
2
∑
n
=
1
∞
2
(
Φ
−
2
)
n
−
1
/
2
1
+
(
Φ
−
2
)
2
n
−
1
=
5
4
∑
a
=
−
∞
∞
2
(
Φ
−
2
)
a
−
1
/
2
1
+
(
Φ
−
2
)
2
a
−
1
=
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=}
=
5
4
θ
2
(
Φ
−
2
)
2
=
5
8
[
θ
3
(
Φ
−
1
)
2
−
θ
4
(
Φ
−
1
)
2
]
{\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}
Не используя выражение тета-функции, можно сформулировать следующее тождество между двумя суммами:
∑
n
=
1
∞
1
F
2
n
−
1
=
5
4
[
∑
n
=
1
∞
2
Φ
−
(
2
n
−
1
)
2
/
2
]
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}}
∑
n
=
1
∞
1
F
2
n
−
1
=
1.82451515740692456814215840626732817332
…
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots }
Также в этом случае
Φ
=
1
2
(
5
+
1
)
{\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}
это снова число золотого сечения .
Бесконечная сумма обратных квадратов чисел Фибоначчи:
∑
n
=
1
∞
1
F
n
2
=
5
24
[
2
θ
2
(
Φ
−
2
)
4
−
θ
3
(
Φ
−
2
)
4
+
1
]
=
5
24
[
θ
3
(
Φ
−
2
)
4
−
2
θ
4
(
Φ
−
2
)
4
+
1
]
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}
Бесконечная сумма обратных чисел Пелля с нечетными индексами:
∑
n
=
1
∞
1
P
2
n
−
1
=
1
2
θ
2
[
(
2
−
1
)
2
]
2
=
1
2
2
[
θ
3
(
2
−
1
)
2
−
θ
4
(
2
−
1
)
2
]
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}
Суммы с тета-функцией в слагаемом [ править ]
Следующие две серии тождественности были доказаны Иштваном Мезё : [10]
θ
4
2
(
q
)
=
i
q
1
4
∑
k
=
−
∞
∞
q
2
k
2
−
k
θ
1
(
2
k
−
1
2
i
ln
q
,
q
)
,
θ
4
2
(
q
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
q
2
k
2
θ
4
(
k
ln
q
i
,
q
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}
Эти соотношения справедливы для всех 0 < q < 1 . Специализируя значения q , мы получаем следующие суммы без параметров:
π
e
π
2
⋅
1
Γ
2
(
3
4
)
=
i
∑
k
=
−
∞
∞
e
π
(
k
−
2
k
2
)
θ
1
(
i
π
2
(
2
k
−
1
)
,
e
−
π
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)}
π
2
⋅
1
Γ
2
(
3
4
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
θ
4
(
i
k
π
,
e
−
π
)
e
2
π
k
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}}
Якоби Нули тета - функций
Все нули тэта-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:
ϑ
(
z
;
τ
)
=
ϑ
00
(
z
;
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
+
1
2
+
τ
2
ϑ
11
(
z
;
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
ϑ
10
(
z
;
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
+
1
2
ϑ
01
(
z
;
τ
)
=
0
⟺
z
=
m
+
n
τ
+
τ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}
где m , n — произвольные целые числа.
Римана с дзета - Связь функцией
Отношение
ϑ
(
0
;
−
1
τ
)
=
(
−
i
τ
)
1
2
ϑ
(
0
;
τ
)
{\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}
был использован Риманом для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана с помощью преобразования Меллина
Γ
(
s
2
)
π
−
s
2
ζ
(
s
)
=
1
2
∫
0
∞
(
ϑ
(
0
;
i
t
)
−
1
)
t
s
2
d
t
t
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}
можно показать, что он инвариантен при замене s на 1 − s . Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведен в статье о дзета-функции Гурвица .
Вейерштрасса эллиптической функцией Связь с
Тета-функция использовалась Якоби для построения (в форме, адаптированной для легкого расчета) его эллиптических функций как частных четырех вышеупомянутых тета-функций, и могла быть использована им для построения эллиптических функций Вейерштрасса также , поскольку
℘
(
z
;
τ
)
=
−
(
log
ϑ
11
(
z
;
τ
)
)
″
+
c
{\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}
где вторая производная относится к z , а константа c определена так, что разложение Лорана ℘ ( z ) при z = 0 имеет нулевой постоянный член.
Связь с q функцией -гамма [ править ]
Четвертая тэта-функция – а значит, и все остальные – тесно связана с Джексона q -гамма-функцией соотношением [11]
(
Γ
q
2
(
x
)
Γ
q
2
(
1
−
x
)
)
−
1
=
q
2
x
(
1
−
x
)
(
q
−
2
;
q
−
2
)
∞
3
(
q
2
−
1
)
θ
4
(
1
2
i
(
1
−
2
x
)
log
q
,
1
q
)
.
{\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}
Связь с эта Дедекинда - функцией
Пусть η ( τ ) — эта-функция Дедекинда , а аргумент тета-функции имеет вид q = e яма . Затем,
θ
2
(
q
)
=
ϑ
10
(
0
;
τ
)
=
2
η
2
(
2
τ
)
η
(
τ
)
,
θ
3
(
q
)
=
ϑ
00
(
0
;
τ
)
=
η
5
(
τ
)
η
2
(
1
2
τ
)
η
2
(
2
τ
)
=
η
2
(
1
2
(
τ
+
1
)
)
η
(
τ
+
1
)
,
θ
4
(
q
)
=
ϑ
01
(
0
;
τ
)
=
η
2
(
1
2
τ
)
η
(
τ
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}
и,
θ
2
(
q
)
θ
3
(
q
)
θ
4
(
q
)
=
2
η
3
(
τ
)
.
{\displaystyle \theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).}
См. также модульные функции Вебера .
Эллиптический модуль [ править ]
Эллиптический модуль
k
(
τ
)
=
ϑ
10
(
0
;
τ
)
2
ϑ
00
(
0
;
τ
)
2
{\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}
а дополнительный эллиптический модуль равен
k
′
(
τ
)
=
ϑ
01
(
0
;
τ
)
2
ϑ
00
(
0
;
τ
)
2
{\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}}
Производные тэта-функций [ править ]
Это два одинаковых определения полного эллиптического интеграла второго рода:
E
(
k
)
=
∫
0
π
/
2
1
−
k
2
sin
(
φ
)
2
∂
φ
{\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\partial \varphi }
E
(
k
)
=
π
2
∑
a
=
0
∞
[
(
2
a
)
!
]
2
(
1
−
2
a
)
16
a
(
a
!
)
4
k
2
a
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}
Производные функций Тета Нулверта имеют следующий ряд Маклорена:
θ
2
′
(
x
)
=
d
d
x
θ
2
(
x
)
=
1
2
x
−
3
/
4
+
∑
n
=
1
∞
1
2
(
2
n
+
1
)
2
x
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
3
)
/
4
{\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}}
θ
3
′
(
x
)
=
d
d
x
θ
3
(
x
)
=
2
+
∑
n
=
1
∞
2
(
n
+
1
)
2
x
n
(
n
+
2
)
{\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}}
θ
4
′
(
x
)
=
d
d
x
θ
4
(
x
)
=
−
2
+
∑
n
=
1
∞
2
(
n
+
1
)
2
(
−
1
)
n
+
1
x
n
(
n
+
2
)
{\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}}
Производные тэта-функций с нулевым значением [12] следующие:
θ
2
′
(
x
)
=
d
d
x
θ
2
(
x
)
=
1
2
π
x
θ
2
(
x
)
θ
3
(
x
)
2
E
[
θ
2
(
x
)
2
θ
3
(
x
)
2
]
{\displaystyle \theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}}
θ
3
′
(
x
)
=
d
d
x
θ
3
(
x
)
=
θ
3
(
x
)
[
θ
3
(
x
)
2
+
θ
4
(
x
)
2
]
{
1
2
π
x
E
[
θ
3
(
x
)
2
−
θ
4
(
x
)
2
θ
3
(
x
)
2
+
θ
4
(
x
)
2
]
−
θ
4
(
x
)
2
4
x
}
{\displaystyle \theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}
θ
4
′
(
x
)
=
d
d
x
θ
4
(
x
)
=
θ
4
(
x
)
[
θ
3
(
x
)
2
+
θ
4
(
x
)
2
]
{
1
2
π
x
E
[
θ
3
(
x
)
2
−
θ
4
(
x
)
2
θ
3
(
x
)
2
+
θ
4
(
x
)
2
]
−
θ
3
(
x
)
2
4
x
}
{\displaystyle \theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}}
Две последние упомянутые формулы действительны для всех действительных чисел действительного интервала определения:
−
1
<
x
<
1
∩
x
∈
R
{\displaystyle -1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R} }
И эти две последние названные тета-производные функции связаны друг с другом следующим образом:
ϑ
4
(
x
)
[
d
d
x
ϑ
3
(
x
)
]
−
ϑ
3
(
x
)
[
d
d
x
θ
4
(
x
)
]
=
1
4
x
θ
3
(
x
)
θ
4
(
x
)
[
θ
3
(
x
)
4
−
θ
4
(
x
)
4
]
{\displaystyle \vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}}
Производные частных двух из трех упомянутых здесь тэта-функций всегда имеют рациональное отношение к этим трем функциям:
d
d
x
θ
2
(
x
)
θ
3
(
x
)
=
θ
2
(
x
)
θ
4
(
x
)
4
4
x
θ
3
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}}
d
d
x
θ
2
(
x
)
θ
4
(
x
)
=
θ
2
(
x
)
θ
3
(
x
)
4
4
x
θ
4
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}}
d
d
x
θ
3
(
x
)
θ
4
(
x
)
=
θ
3
(
x
)
5
−
θ
3
(
x
)
θ
4
(
x
)
4
4
x
θ
4
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}}
Для вывода этих формул вывода см. статьи Ном (математика) и Модульная лямбда-функция !
Интегралы от тэта-функций [ править ]
Для тэта-функций эти интегралы [13] действительны:
∫
0
1
θ
2
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
4
(
2
k
+
1
)
2
+
4
=
π
tanh
(
π
)
≈
3.129881
{\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881}
∫
0
1
θ
3
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
1
k
2
+
1
=
π
coth
(
π
)
≈
3.153348
{\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348}
∫
0
1
θ
4
(
x
)
d
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
k
2
+
1
=
π
csch
(
π
)
≈
0.272029
{\displaystyle \int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029}
Показанные окончательные результаты основаны на общих формулах сумм Коши.
Решение уравнения теплопроводности [ править ]
Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственно-периодическими граничными условиями. [14] Принимая z = x вещественным и τ = it с действительным и положительным t , мы можем записать
ϑ
(
x
;
i
t
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
exp
(
−
π
n
2
t
)
cos
(
2
π
n
x
)
{\displaystyle \vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)}
которое решает уравнение теплопроводности
∂
∂
t
ϑ
(
x
;
i
t
)
=
1
4
π
∂
2
∂
x
2
ϑ
(
x
;
i
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).}
Это решение тэта-функции является 1-периодическим по x и при t → 0 приближается к периодической дельта-функции или гребенке Дирака в смысле распределений
lim
t
→
0
ϑ
(
x
;
i
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
x
−
n
)
{\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}
.
Общие решения пространственно-периодической начальной задачи для уравнения теплопроводности можно получить путем свертки начальных данных при t = 0 с тэта-функцией.
Гейзенберга Отношение группе к
Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга . Эта инвариантность представлена в статье о тэта-представлении группы Гейзенберга.
Если F — квадратичная форма от n переменных, то тэта-функция, связанная с F , равна
θ
F
(
z
)
=
∑
m
∈
Z
n
e
2
π
i
z
F
(
m
)
{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}
с суммой, простирающейся по решетке целых чисел
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}
. Эта тета-функция представляет собой модульную форму веса. n / 2 (на соответствующей подгруппе) модулярной группы . В разложении Фурье
θ
^
F
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
R
F
(
k
)
e
2
π
i
k
z
,
{\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}
числа R F ( k ) называются числами представления формы.
персонажа Дирихле - серия Тета
Для χ примитивный характер Дирихле по модулю q и ν = 1 − χ (−1) / 2 , то
θ
χ
(
z
)
=
1
2
∑
n
=
−
∞
∞
χ
(
n
)
n
ν
e
2
i
π
n
2
z
{\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}}
это вес 1/2 q ν + модулярная уровня 4 форма 2 и характер
χ
(
d
)
(
−
1
d
)
ν
,
{\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },}
что значит [15]
θ
χ
(
a
z
+
b
c
z
+
d
)
=
χ
(
d
)
(
−
1
d
)
ν
(
θ
1
(
a
z
+
b
c
z
+
d
)
θ
1
(
z
)
)
1
+
2
ν
θ
χ
(
z
)
{\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}
в любое время
a
,
b
,
c
,
d
∈
Z
4
,
a
d
−
b
c
=
1
,
c
≡
0
mod
4
q
2
.
{\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}
Тета-функция Рамануджана [ править ]
Тета-функция Римана [ править ]
Позволять
H
n
=
{
F
∈
M
(
n
,
C
)
|
F
=
F
T
,
Im
F
>
0
}
{\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}
— множество симметричных квадратных матриц , мнимая часть которых положительно определена .
H
n
{\displaystyle \mathbb {H} _{n}}
называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . группы n -мерным аналогом модулярной является симплектическая группа Sp(2 n ,
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
) ; для n = 1 Sp (2,
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
) = SL(2,
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
) . n -мерный аналог конгруэнтных подгрупп играет
ker
{
Sp
(
2
n
,
Z
)
→
Sp
(
2
n
,
Z
/
k
Z
)
}
.
{\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.}
Тогда, учитывая τ ∈
H
n
{\displaystyle \mathbb {H} _{n}}
определяется тэта-функция Римана как
θ
(
z
,
τ
)
=
∑
m
∈
Z
n
exp
(
2
π
i
(
1
2
m
T
τ
m
+
m
T
z
)
)
.
{\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).}
Здесь z ∈
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
— n -мерный комплексный вектор, а верхний индекс T обозначает транспонирование . Тогда тэта-функция Якоби является частным случаем, когда n = 1 и τ ∈
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
где
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
— верхняя полуплоскость . Одним из основных применений тэта-функции Римана является то, что она позволяет давать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях , а также для других вспомогательных объектов, которые занимают видное место в их теории функций, взяв τ в качестве матрицы периода относительно канонический базис для своей первой группы гомологии .
Тета Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах
C
n
×
H
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}}
.
Функциональное уравнение
θ
(
z
+
a
+
τ
b
,
τ
)
=
exp
(
2
π
i
(
−
b
T
z
−
1
2
b
T
τ
b
)
)
θ
(
z
,
τ
)
{\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )}
которое справедливо для всех векторов a , b ∈
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}
, и для всех z ∈
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
и τ ∈
H
n
{\displaystyle \mathbb {H} _{n}}
.
Ряд Пуанкаре [ править ]
Ряд Пуанкаре обобщает тэта-ряд до автоморфных форм относительно произвольных фуксовых групп .
Вывод тета-значений [ править ]
Далее в качестве примеров будут выведены три важных значения тета-функции:
Вот как бета-функция Эйлера определяется в сокращенной форме:
β
(
x
)
=
Γ
(
x
)
2
Γ
(
2
x
)
{\displaystyle \beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}}
В общем случае для всех натуральных чисел
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
эта формула бета-функции Эйлера действительна:
4
−
1
/
(
n
+
2
)
n
+
2
csc
(
π
n
+
2
)
β
[
n
2
(
n
+
2
)
]
=
∫
0
∞
1
x
n
+
2
+
1
d
x
{\displaystyle {\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x}
Ниже приведены некоторые эллиптические интегральные сингулярные значения. [16] получены:
А следующая функция имеет следующую эллиптическую первообразную:
1
x
8
+
1
=
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}=}
=
d
d
x
1
4
sec
(
π
8
)
F
{
2
arctan
[
2
cos
(
π
/
8
)
x
x
4
+
2
x
2
+
1
−
x
2
+
1
]
;
2
2
4
sin
(
π
8
)
}
+
1
4
sec
(
π
8
)
F
{
arcsin
[
2
cos
(
π
/
8
)
x
x
2
+
1
]
;
tan
(
π
8
)
}
{\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}
По стоимости
n
=
6
{\displaystyle n=6}
появляется следующее тождество:
1
8
2
4
csc
(
π
8
)
β
(
3
8
)
=
∫
0
∞
1
x
8
+
1
d
x
=
{\displaystyle {\frac {1}{8{\sqrt[{4}]{2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}\,\mathrm {d} x=}
=
⟨
1
4
sec
(
π
8
)
F
{
2
arctan
[
2
cos
(
π
/
8
)
x
x
4
+
2
x
2
+
1
−
x
2
+
1
]
;
2
2
4
sin
(
π
8
)
}
+
1
4
sec
(
π
8
)
F
{
arcsin
[
2
cos
(
π
/
8
)
x
x
2
+
1
]
;
tan
(
π
8
)
}
⟩
x
=
0
x
=
∞
=
{\displaystyle ={\biggl \langle }{\color {blue}{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}{\biggr \rangle }_{x=0}^{x=\infty }=}
=
1
4
sec
(
π
8
)
F
[
π
;
2
2
4
sin
(
π
8
)
]
=
1
2
sec
(
π
8
)
K
(
2
2
−
2
)
=
2
sin
(
π
8
)
K
(
2
−
1
)
{\displaystyle ={\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\bigl [}\pi ;2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {1}{2}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )}=2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2}}-1)}
Этот результат следует из этой цепочки уравнений:
K
(
2
−
1
)
=
1
8
2
4
(
2
+
1
)
β
(
3
8
)
{\displaystyle {\color {ForestGreen}K({\sqrt {2}}-1)={\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)\,\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}}}
Сочетание целостных тождеств с именем [ править ]
Функция эллиптического имени имеет следующие важные значения:
q
(
1
2
2
)
=
exp
(
−
π
)
{\displaystyle q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )}
q
[
1
4
(
6
−
2
)
]
=
exp
(
−
3
π
)
{\displaystyle q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )}
q
(
2
−
1
)
=
exp
(
−
2
π
)
{\displaystyle q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )}
Доказательство правильности этих значений номов см. в статье Ном (математика) !
На основе этих интегральных тождеств и вышеупомянутого определения и тождеств тэта-функций в том же разделе этой статьи теперь должны быть определены примерные значения тета-нуля:
θ
3
[
q
(
k
)
]
=
2
π
−
1
K
(
k
)
{\displaystyle \theta _{3}[q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}
θ
3
[
exp
(
−
π
)
]
=
θ
3
[
q
(
1
2
2
)
]
=
2
π
−
1
K
(
1
2
2
)
=
2
−
1
/
2
π
−
1
/
2
β
(
1
4
)
1
/
2
=
2
−
1
/
4
π
4
Γ
(
3
4
)
−
1
{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}}
θ
3
[
exp
(
−
3
π
)
]
=
θ
3
{
q
[
1
4
(
6
−
2
)
]
}
=
2
π
−
1
K
[
1
4
(
6
−
2
)
]
=
2
−
1
/
6
3
−
1
/
8
π
−
1
/
2
β
(
1
3
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}}
θ
3
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
θ
3
[
q
(
2
−
1
)
]
=
2
π
−
1
K
(
2
−
1
)
=
2
−
1
/
8
cos
(
1
8
π
)
π
−
1
/
2
β
(
3
8
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}
θ
4
[
q
(
k
)
]
=
1
−
k
2
4
2
π
−
1
K
(
k
)
{\displaystyle \theta _{4}[q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}}
θ
4
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
θ
4
[
q
(
2
−
1
)
]
=
2
2
−
2
4
2
π
−
1
K
(
2
−
1
)
=
2
−
1
/
4
cos
(
1
8
π
)
1
/
2
π
−
1
/
2
β
(
3
8
)
1
/
2
{\displaystyle \theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}}
Обычная последовательность номеров разделов [ править ]
Обычная последовательность разделов
P
(
n
)
{\displaystyle P(n)}
само по себе указывает количество способов, которыми положительное целое число
n
{\displaystyle n}
можно разбить на положительные целые слагаемые. Для чисел
n
=
1
{\displaystyle n=1}
к
n
=
5
{\displaystyle n=5}
, соответствующие номера разделов
P
{\displaystyle P}
со всеми связанными номерными разделами перечислены в следующей таблице:
Примеры значений P(n) и связанных с ними числовых разделов
н
П (п)
платные разделы
0
1
() пустой раздел/ пустая сумма
1
1
(1)
2
2
(1+1), (2)
3
3
(1+1+1), (1+2), (3)
4
5
(1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4)
5
7
(1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)
Производящую функцию регулярной числовой последовательности разделов можно представить через произведение Поххаммера следующим образом:
∑
k
=
0
∞
P
(
k
)
x
k
=
1
(
x
;
x
)
∞
=
θ
3
(
x
)
−
1
/
6
θ
4
(
x
)
−
2
/
3
[
θ
3
(
x
)
4
−
θ
4
(
x
)
4
16
x
]
−
1
/
24
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}}
Суммирование уже упомянутого произведения Похгаммера описывается теоремой о пятиугольных числах следующим образом:
(
x
;
x
)
∞
=
1
+
∑
n
=
1
∞
[
−
x
Fn
(
2
n
−
1
)
−
x
Kr
(
2
n
−
1
)
+
x
Fn
(
2
n
)
+
x
Kr
(
2
n
)
]
{\displaystyle (x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}}
Следующие основные определения применимы к пятиугольным числам и номерам карточных домиков:
Fn
(
z
)
=
1
2
z
(
3
z
−
1
)
{\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}
Kr
(
z
)
=
1
2
z
(
3
z
+
1
)
{\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}
В качестве дальнейшего применения [17] получается формула третьей степени произведения Эйлера:
(
x
;
x
)
3
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
n
)
3
=
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
(
2
m
+
1
)
x
m
(
m
+
1
)
/
2
{\displaystyle (x;x)^{3}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}}
Строгая последовательность номеров разделов [ править ]
И строгая последовательность разделов
Q
(
n
)
{\displaystyle Q(n)}
указывает количество способов, которыми такое положительное целое число
n
{\displaystyle n}
можно разбить на положительные целые слагаемые так, чтобы каждое слагаемое появлялось не более одного раза. [18] и никакое значение слагаемого не встречается повторно. Точно такая же последовательность [19] также генерируется, если в раздел включены только нечетные слагаемые, но эти нечетные слагаемые могут встречаться более одного раза. Оба представления строгой последовательности номеров разделов сравниваются в следующей таблице:
Примеры значений Q(n) и связанных с ними числовых разделов
н
Q(n)
Числовые разделы без повторяющихся слагаемых
Числовые разделы только с нечетными сложениями
0
1
() пустой раздел/ пустая сумма
() пустой раздел/ пустая сумма
1
1
(1)
(1)
2
1
(2)
(1+1)
3
2
(1+2), (3)
(1+1+1), (3)
4
2
(1+3), (4)
(1+1+1+1), (1+3)
5
3
(2+3), (1+4), (5)
(1+1+1+1+1), (1+1+3), (5)
6
4
(1+2+3), (2+4), (1+5), (6)
(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+3), (3+3), (1+5)
7
5
(1+2+4), (3+4), (2+5), (1+6), (7)
(1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+3), (1+3+3), (1+1+5), (7)
8
6
(1+3+4), (1+2+5), (3+5), (2+6), (1+7), (8)
(1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+3), (1+1+3+3), (1+1+1+ 5), (3+5), (1+7)
Производящую функцию строгой числовой последовательности разделов можно представить с помощью произведения Поххаммера:
∑
k
=
0
∞
Q
(
k
)
x
k
=
1
(
x
;
x
2
)
∞
=
θ
3
(
x
)
1
/
6
θ
4
(
x
)
−
1
/
3
[
θ
3
(
x
)
4
−
θ
4
(
x
)
4
16
x
]
1
/
24
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}}
Последовательность номеров перераспределения [ править ]
Ряд Маклорена для обратной функции ϑ 01 имеет номера последовательности разбиения в качестве коэффициентов с положительным знаком: [20]
1
θ
4
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
1
+
x
n
1
−
x
n
=
∑
k
=
0
∞
P
¯
(
k
)
x
k
{\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}}
1
θ
4
(
x
)
=
1
+
2
x
+
4
x
2
+
8
x
3
+
14
x
4
+
24
x
5
+
40
x
6
+
64
x
7
+
100
x
8
+
154
x
9
+
232
x
10
+
…
{\displaystyle {\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots }
Если для данного числа
k
{\displaystyle k}
, все разделы настроены таким образом, что размер слагаемого никогда не увеличивается, и все те слагаемые, которые не имеют слагаемого того же размера слева от себя, могут быть отмечены для каждого раздела этого типа, тогда это будет результирующее число [21] отмеченных разделов в зависимости от
k
{\displaystyle k}
с помощью функции перераспределения
P
¯
(
k
)
{\displaystyle {\overline {P}}(k)}
.
Первый пример:
P
¯
(
4
)
=
14
{\displaystyle {\overline {P}}(4)=14}
Эти 14 возможностей разметки разделов существуют для суммы 4:
(4), ( 4 ), (3+1), ( 3 +1), (3+ 1 ), ( 3 + 1 ), (2+2), ( 2 +2), (2+1+1), ( 2 +1+1), (2+ 1 +1), ( 2 + 1 +1), (1+1+1+1), ( 1 +1+1+1)
Второй пример:
P
¯
(
5
)
=
24
{\displaystyle {\overline {P}}(5)=24}
Для суммы 5 существуют 24 возможности разметки разделов:
(5), ( 5 ), (4+1), ( 4 +1), (4+ 1 ), ( 4 + 1 ), (3+2), ( 3 +2), (3+ 2 ), ( 3 + 2 ), (3+1+1), ( 3 +1+1), (3+ 1 +1), ( 3 + 1 +1), (2+2+1), ( 2 +2+1), (2+2+ 1 ), ( 2 +2+ 1 ),
(2+1+1+1), ( 2 +1+1+1), (2+ 1 +1+1), ( 2 + 1 +1+1), (1+1+1+1+1), ( 1 +1+1+1+1)
Отношения последовательностей номеров разделов друг с другом [ править ]
В Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) последовательность обычных номеров разделов.
P
(
n
)
{\displaystyle P(n)}
находится под кодом A000041, последовательность строгих разделов следующая.
Q
(
n
)
{\displaystyle Q(n)}
под кодом А000009 и последовательность суперразделов
P
¯
(
n
)
{\displaystyle {\overline {P}}(n)}
под кодом А015128. Все родительские разделы из индекса
n
=
1
{\displaystyle n=1}
четные.
Последовательность суперразделов
P
¯
(
n
)
{\displaystyle {\overline {P}}(n)}
можно записать с помощью регулярной последовательности разбиения P [22] и строгая последовательность разбиений Q [23] можно сгенерировать следующим образом:
P
¯
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
P
(
n
−
k
)
Q
(
k
)
{\displaystyle {\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)}
В следующей таблице последовательностей чисел эту формулу следует использовать в качестве примера:
н
П (п)
Q(n)
P
¯
(
n
)
{\displaystyle {\overline {P}}(n)}
0
1
1
1 = 1*1
1
1
1
2 = 1 * 1 + 1 * 1
2
2
1
4 = 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1
3
3
2
8 = 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 2
4
5
2
14 = 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 2 + 1 * 2
5
7
3
24 = 7 * 1 + 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 2 + 1 * 2 + 1 * 3
также можно составить следующую комбинацию двух рядов сумм В связи с этим свойством с помощью функции ϑ 01 :
θ
4
(
x
)
=
[
∑
k
=
0
∞
P
(
k
)
x
k
]
−
1
[
∑
k
=
0
∞
Q
(
k
)
x
k
]
−
1
{\displaystyle \theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}}
Примечания [ править ]
^ См., например, https://dlmf.nist.gov/20.1 . Обратите внимание, что это, вообще говоря, не эквивалентно обычной интерпретации.
(
e
z
)
α
=
e
α
Log
e
z
{\displaystyle (e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}}
когда
z
{\displaystyle z}
находится за пределами полосы
−
π
<
Im
z
≤
π
{\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi }
. Здесь,
Log
{\displaystyle \operatorname {Log} }
обозначает главную ветвь комплексного логарифма .
^
θ
1
(
q
)
=
0
{\displaystyle \theta _{1}(q)=0}
для всех
q
∈
C
{\displaystyle q\in \mathbb {C} }
с
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
.
^ Тюрин, Андрей Н. (30 октября 2002 г.). «Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции». arXiv : math/0210466v1 .
^ Чанг, Дер-Чен (2011). Тепловые ядра для эллиптических и субэллиптических операторов . Биркхойзер. п. 7.
^ Тата-лекции по Тэте I. Современная классика Биркхойзера. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон. 2007. с. 4. дои : 10.1007/978-0-8176-4577-9 . ISBN 978-0-8176-4572-4 .
^ Йи, Джинхи (2004). «Тождества тэта-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения» . Журнал математического анализа и приложений . 292 (2): 381–400. дои : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
^ Берндт, Брюс С; Ребак, Орс (9 января 2022 г.). «Явные значения тета-функции Рамануджана φ(q)» . Журнал Харди-Рамануджана . 44 : 8923. arXiv : 2112.11882 . дои : 10.46298/hrj.2022.8923 . S2CID 245851672 .
^ Йи, Джинхи (15 апреля 2004 г.). «Тождества тэта-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения» . Журнал математического анализа и приложений . 292 (2): 381–400. дои : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
^ Андреас Дикманн: Таблица бесконечных произведений. Бесконечные суммы. Бесконечные серии, эллиптическая тета. Физический институт Боннского университета, по состоянию на 1 октября 2021 г.
^ Ландау (1899), цитата из Борвейна , стр. 94, упражнение 3.
^ «Теоретико-числовые, комбинаторные и целочисленные функции – документация mpmath 1.1.0» . Проверено 18 июля 2021 г.
^ Госпера Мезё, Иштван (2013), «Формулы дублирования, включающие тета-функции Якоби и q -тригонометрические функции », Proceedings of the American Mathematical Society , 141 (7): 2401–2410, doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576- 5
^ Мезё, Иштван (2012). « Формула q -Раабе и интеграл четвертой тэта-функции Якоби» . Журнал теории чисел . 133 (2): 692–704. дои : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 . hdl : 2437/166217 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптическая альфа-функция» . Математический мир .
^ «Интегрирование — Любопытные интегралы для тэта-функций Якоби $\int_0^1 \vartheta_n(0,q)dq$» . 13 августа 2022 г.
^ Охяма, Юске (1995). «Дифференциальные отношения тэта-функций» . Осакский математический журнал . 32 (2): 431–450. ISSN 0030-6126 .
^ Шимура, О модульных формах полуцелого веса.
^ «Эллиптический интеграл сингулярного значения» . msu.edu . Проверено 7 апреля 2023 г.
^ Тождества тета-функции Рамануджана с участием рядов Ламберта
^ «Код гольфа — Строгие разбиения положительного целого числа» . Проверено 9 марта 2022 г.
^ «А000009 - ОЭИС» . 09.03.2022.
^ Мальбург, Карл (2004). «Функция перераспределения по модулю малых степеней 2». Дискретная математика . 286 (3): 263–267. дои : 10.1016/j.disc.2004.03.014 .
^ Ким, Бёнчан (28 апреля 2009 г.). «Расширенная программа чтения Elsevier» . Дискретная математика . 309 (8): 2528–2532. дои : 10.1016/j.disc.2008.05.007 .
^ Эрик В. Вайсштейн (11 марта 2022 г.). «Функция разделения P» .
^ Эрик В. Вайсштейн (11 марта 2022 г.). «Функция разделения Q» .
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications . сек. 16.27 и далее. ISBN 978-0-486-61272-0 .
Ахиезер, Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций . AMS Переводы математических монографий. Том. 79. Провиденс, Род-Айленд: AMS . ISBN 978-0-8218-4532-5 .
Фаркас, Гершель М .; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности . Нью-Йорк: Springer-Verlag . гл. 6. ISBN 978-0-387-90465-8 . . (для лечения теты Римана)
Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс .
Мамфорд, Дэвид (1983). Тата-лекции по Тэте I. Бостон: Биркхаузер . ISBN 978-3-7643-3109-2 .
Пирпон, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной . Нью-Йорк: Dover Publications .
Раух, Гарри Э .; Фаркас, Гершель М. (1974). Тета-функции с приложениями к римановым поверхностям . Балтимор: Уильямс и Уилкинс . ISBN 978-0-683-07196-2 .
Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010), «Тета-функции» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . гл. 21. -функций Якоби (история θ )
Дальнейшее чтение [ править ]
Гарри Раух с Гершелем М. Фаркасом: Тета-функции с применением к римановым поверхностям, Уильямс и Уилкинс, Балтимор, Мэриленд, 1974, ISBN 0-683-07196-3 .
Чарльз Эрмит: О разрешении отчетов об уравнениях пятой степени, CR Acad. наук. Париж, № 11 марта 1858 г.
Внешние ссылки [ править ]
Эта статья включает в себя материал из интегральных представлений тета-функций Якоби на платформе PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .