Тета-представление

В математике тэта -представление является частным представлением группы Гейзенберга в квантовой механике . Свое название она получила из-за того, что тэта-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Представление было популяризировано Дэвидом Мамфордом .

Строительство [ править ]

Тета-представление - это представление непрерывной группы Гейзенберга. $H_{3}(\mathbb {R} )$ над полем действительных чисел. В этом представлении элементы группы действуют в определенном гильбертовом пространстве . Приведенная ниже конструкция сначала начинается с определения операторов , соответствующих генераторам группы Гейзенберга. Далее определяется гильбертово пространство, на котором эти действия действуют, с последующей демонстрацией изоморфизма обычным представлениям.

Генераторы групп [ править ]

Пусть f ( z ) — голоморфная функция , пусть a и b — действительные числа , и пусть $\tau$ — произвольное фиксированное комплексное число в верхней полуплоскости ; то есть так, чтобы мнимая часть $\tau$ является положительным. Определим операторы S _a и T _b так, чтобы они действовали на голоморфные функции как

(S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp(a\partial _{z})f(z)

и

(T_{b}f)(z)=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+b\tau )=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz+b\tau \partial _{z})f(z).

Видно, что каждый оператор генерирует однопараметрическую подгруппу:

S_{a_{1}}\left(S_{a_{2}}f\right)=\left(S_{a_{1}}\circ S_{a_{2}}\right)f=S_{a_{1}+a_{2}}f

и

T_{b_{1}}\left(T_{b_{2}}f\right)=\left(T_{b_{1}}\circ T_{b_{2}}\right)f=T_{b_{1}+b_{2}}f.

Однако S и T не коммутируют:

S_{a}\circ T_{b}=\exp(2\pi iab)T_{b}\circ S_{a}.

Таким образом, мы видим, что S и T вместе с унитарной фазой образуют нильпотентную группу Ли , (непрерывную вещественную) группу Гейзенберга , параметризуемую как $H=U(1)\times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ где U (1) — унитарная группа .

Общий элемент группы $U_{\tau }(\lambda ,a,b)\in H$ затем действует на голоморфную функцию f ( z ) как

U_{\tau }(\lambda ,a,b)f(z)=\lambda (S_{a}\circ T_{b}f)(z)=\lambda \exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+a+b\tau )

где $\lambda \in U(1).$ $U(1)=Z(H)$ является центром H , коммутанта $[H,H]$ . Параметр $\tau$ на $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ служит лишь напоминанием о том, что каждое другое значение $\tau$ порождает иное представление о действиях группы.

Гильбертово пространство [ править ]

Действие групповых элементов $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ унитарна и неприводима в некотором гильбертовом пространстве функций. Для фиксированного значения τ определим норму целых функций комплексной плоскости как

\Vert f\Vert _{\tau }^{2}=\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy.

Здесь, $\Im \tau$ это мнимая часть $\tau$ а областью интегрирования является вся комплексная плоскость.

Мамфорд устанавливает норму как $\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-2\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy$ , но таким образом $T_{b}$ не является унитарным.

Позволять ${\mathcal {H}}_{\tau }$ — множество целых функций f с конечной нормой. Нижний индекс $\tau$ используется только для обозначения того, что пространство зависит от выбора параметра $\tau$ . Этот ${\mathcal {H}}_{\tau }$ образует гильбертово пространство . Действие $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ данное выше унитарно на ${\mathcal {H}}_{\tau }$ , то есть, $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ сохраняет норму в этом пространстве. Наконец, действие $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ на ${\mathcal {H}}_{\tau }$ является нередуцируемым .

Эта норма тесно связана с той, которая используется для определения пространства Сигала – Баргмана. ^{[ нужна ссылка ]}.

Изоморфизм [ править ]

Вышеупомянутое тэта-представление группы Гейзенберга изоморфно каноническому вейлевскому представлению группы Гейзенберга. В частности, это означает, что ${\mathcal {H}}_{\tau }$ и $L^{2}(\mathbb {R} )$ изоморфны как H -модули . Позволять

M(a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}

обозначают общий групповой элемент $H_{3}(\mathbb {R} ).$ В каноническом представлении Вейля для каждого действительного числа h существует представление $\rho _{h}$ действуя на $L^{2}(\mathbb {R} )$ как