Тета-представление

В математике тэта -представление является частным представлением группы Гейзенберга в квантовой механике . Свое название она получила из-за того, что тэта-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Представление было популяризировано Дэвидом Мамфордом .

Строительство

Тета-представление - это представление непрерывной группы Гейзенберга. $H_{3}(\mathbb {R} )$над полем действительных чисел. В этом представлении элементы группы действуют в определенном гильбертовом пространстве . Приведенная ниже конструкция сначала начинается с определения операторов , соответствующих генераторам группы Гейзенберга. Далее определяется гильбертово пространство, на котором эти действия действуют, с последующей демонстрацией изоморфизма обычным представлениям.

Генераторы групп

Пусть f ( z ) — голоморфная функция , пусть a и b — действительные числа , и пусть $\tau$— произвольное фиксированное комплексное число в верхней полуплоскости ; то есть так, чтобы мнимая часть $\tau$является положительным. Определим операторы S _a и T _b так, чтобы они действовали на голоморфные функции как

$(S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp(a\partial _{z})f(z)$

и

$(T_{b}f)(z)=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+b\tau )=\exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz+b\tau \partial _{z})f(z).$

Видно, что каждый оператор генерирует однопараметрическую подгруппу:

$S_{a_{1}}\left(S_{a_{2}}f\right)=\left(S_{a_{1}}\circ S_{a_{2}}\right)f=S_{a_{1}+a_{2}}f$

и

$T_{b_{1}}\left(T_{b_{2}}f\right)=\left(T_{b_{1}}\circ T_{b_{2}}\right)f=T_{b_{1}+b_{2}}f.$

Однако S и T не коммутируют:

$S_{a}\circ T_{b}=\exp(2\pi iab)T_{b}\circ S_{a}.$

Таким образом, мы видим, что S и T вместе с унитарной фазой образуют нильпотентную группу Ли , (непрерывную вещественную) группу Гейзенберга , параметризуемую как $H=U(1)\times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ где U (1) — унитарная группа .

Общий групповой элемент $U_{\tau }(\lambda ,a,b)\in H$ затем действует на голоморфную функцию f ( z ) как

$U_{\tau }(\lambda ,a,b)f(z)=\lambda (S_{a}\circ T_{b}f)(z)=\lambda \exp(i\pi b^{2}\tau +2\pi ibz)f(z+a+b\tau )$

где $\lambda \in U(1).$ $U(1)=Z(H)$ является центром H ​ , коммутанта $[H,H]$. Параметр $\tau$ на $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ служит лишь напоминанием о том, что каждое другое значение $\tau$ порождает иное представление о действиях группы.

Гильбертово пространство

Действие групповых элементов $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$унитарна и неприводима в некотором гильбертовом пространстве функций. Для фиксированного значения τ определим норму целых функций комплексной плоскости как

$\Vert f\Vert _{\tau }^{2}=\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy.$

Здесь, $\Im \tau$ это мнимая часть $\tau$ а областью интегрирования является вся комплексная плоскость.

Мамфорд устанавливает норму как $\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-2\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ dx\ dy$, но таким образом $T_{b}$ не является унитарным.

Позволять ${\mathcal {H}}_{\tau }$— множество целых функций f с конечной нормой. Нижний индекс $\tau$ используется только для обозначения того, что пространство зависит от выбора параметра $\tau$. Этот ${\mathcal {H}}_{\tau }$образует гильбертово пространство . Действие $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ данное выше унитарно на ${\mathcal {H}}_{\tau }$, то есть, $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$сохраняет норму в этом пространстве. Наконец, действие $U_{\tau }(\lambda ,a,b)$ на ${\mathcal {H}}_{\tau }$ является нередуцируемым .

Эта норма тесно связана с той, которая используется для определения пространства Сигала – Баргмана. .

Изоморфизм

Приведенное выше тэта-представление группы Гейзенберга изоморфно каноническому вейлевскому представлению группы Гейзенберга. В частности, это означает, что ${\mathcal {H}}_{\tau }$ и $L^{2}(\mathbb {R} )$изоморфны ​ как H -модули . Позволять

$M(a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}$

обозначают общий групповой элемент $H_{3}(\mathbb {R} ).$ В каноническом представлении Вейля для каждого действительного числа h существует представление $\rho _{h}$ действующий на $L^{2}(\mathbb {R} )$ как

$\rho _{h}(M(a,b,c))\psi (x)=\exp(ibx+ihc)\psi (x+ha)$

для $x\in \mathbb {R}$ и $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} ).$

Здесь h — постоянная Планка . Каждое такое представление унитарно неэквивалентно . Соответствующее тэта-представление:

$M(a,0,0)\to S_{ah}$

$M(0,b,0)\to T_{b/2\pi }$

$M(0,0,c)\to e^{ihc}$

Дискретная подгруппа

Определить подгруппу $\Gamma _{\tau }\subset H_{\tau }$ как

$\Gamma _{\tau }=\{U_{\tau }(1,a,b)\in H_{\tau }:a,b\in \mathbb {Z} \}.$

определяется Тета-функция Якоби как

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz).$

Это целая функция от z инвариантная , относительно $\Gamma _{\tau }.$ Это следует из свойств тэта-функции:

$\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )$

и

$\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)\vartheta (z;\tau )$

когда a и b — целые числа. Можно показать, что тэта Якоби является единственной такой функцией.

См. также

• Пространство Сигала – Баргмана
• Харди космос

Ссылки

• Дэвид Мамфорд, Tata Lectures on Theta I (1983), Биркхойзер, Бостон ISBN   3-7643-3109-7