Харди космос

«Класс Харди» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о военных кораблях, см. Эсминец класса Харди .

В комплексном анализе ( пространства Харди или классы Харди ) H ^п — некоторые пространства голоморфных функций на единичном круге или верхней полуплоскости . Их представил Фридьес Рисс ( Riesz 1923 ), который назвал их в честь Г.Х. Харди из-за статьи ( Hardy 1915 ). В реальном анализе пространства Харди — это определенные пространства распределений на вещественной прямой, которые являются (в смысле распределений) граничными значениями голоморфных функций комплексных пространств Харди и связаны с L ^п пространства функционального анализа . При 1 ⩽ p < ∞ эти вещественные пространства Харди H ^п являются подмножествами L определенными ^п , а при p < 1 L ^п пространства обладают некоторыми нежелательными свойствами, а пространства Харди ведут себя гораздо лучше.

Существуют также многомерные обобщения, состоящие из некоторых голоморфных функций на трубчатых областях в комплексном случае или определенных пространств распределений на R. ^н в реальном случае.

Пространства Харди имеют ряд приложений в самом математическом анализе , а также в теории управления (например, H ^∞ методы ) и в теории рассеяния .

Hardy-пространства для единичного диска

Для пространств голоморфных функций на открытом единичном круге Харди пространство H ² состоит из функций f которых , среднеквадратическое значение на окружности радиуса r остается ограниченным при r → 1 снизу.

В более общем смысле пространство Харди H ^п при 0 < p < ∞ — класс голоморфных функций f на открытом единичном круге, удовлетворяющих условиям

$\sup _{0\leqslant r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .$

Это класс Н ^п является векторным пространством. Число в левой части приведенного выше неравенства представляет собой p -норму пространства Харди для f , обозначаемую через $\|f\|_{H^{p}}.$ Это норма, когда p ≥ 1, но не когда 0 < p < 1.

Пространство Н ^∞ определяется как векторное пространство ограниченных голоморфных функций на круге с нормой

$\|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|.$

При 0 < p ≤ q ≤ ∞ класс H ^д является подмножеством ​ H ^п , и Ч ^п -норма возрастает с ростом p (следствием неравенства Гёльдера является то, что L ^п -норма возрастает для вероятностных мер , т.е. мер с полной массой 1).

Пространства Харди на единичном круге

Пространства Харди, определенные в предыдущем разделе, также можно рассматривать как некоторые замкнутые векторные подпространства комплекса L ^п пространства на единичном круге. Эту связь обеспечивает следующая теорема ( Кацнельсон, 1976 , теорема 3.8): При f ∈ H ^п , при p ≥ 1, радиальный предел

${\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)$

существует почти для любого θ. Функция ${\tilde {f}}$ принадлежит к Л ^п пространство для единичного круга, и у одного это есть

$\|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.$

Обозначая единичную окружность через T и H ^п ( T ) векторное подпространство L ^п ( T ) состоящий из всех предельных функций ${\tilde {f}}$, когда f изменяется в H ^п , тогда это имеет место для p ≥ 1 ( Кацнельсон 1976 )

$g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ for all }}n<0,$

где ĝ ( n ) — коэффициенты Фурье функции g , интегрируемой на единичной окружности,

$\forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .$

Пространство Н ^п ( T ) — замкнутое подпространство в L ^п ( Т ). Поскольку Л ^п ( T ) является банаховым пространством (при 1 ≤ p ≤ ∞), как и H ^п ( Т ).

Вышеописанное можно изменить. Дана функция ${\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbf {T} )$, при p ≥ 1, можно восстановить ( гармоническую ) функцию f на единичном круге с помощью ядра Пуассона P _r :

$f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1,$

и f принадлежит H ^п именно когда ${\tilde {f}}$ находится в H ^п ( Т ). Если предположить, что ${\tilde {f}}$ находится в H ^п ( T ), т. е . что ${\tilde {f}}$ имеет коэффициенты Фурье ( a _n ) _{n ∈ Z} с n _n = 0 для каждого < 0, то элемент f пространства Харди H ^п связано с ${\tilde {f}}$ — голоморфная функция

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.$

В приложениях функции с исчезающими отрицательными коэффициентами Фурье обычно интерпретируются как причинные решения. Таким образом, пространство H ² видно, что он естественным образом сидит внутри L ² пространство и представлено бесконечными последовательностями , индексированными N ; тогда как L ² состоит из бибесконечных последовательностей, индексированных Z .

на круге

При 1 ⩽ p < ∞ вещественные пространства Харди H ^п обсуждается ниже в этой статье легко описать в данном контексте. Действительная функция f на единичной окружности принадлежит вещественному пространству Харди H ^п ( T ), если это действительная часть функции из H ^п ( T ), а комплексная функция f принадлежит вещественному пространству Харди тогда и только тогда, когда Re( f ) и Im( f ) принадлежат этому пространству (см. раздел о вещественных пространствах Харди ниже). Таким образом, при 1 ≤ p < ∞ действительное пространство Харди содержит пространство Харди, но оно намного больше, поскольку между действительной и мнимой частью функции не устанавливается никакой связи.

При 0 < p < 1 такие инструменты, как коэффициенты Фурье, интеграл Пуассона, сопряженная функция, перестают действовать. Например, рассмотрим функцию

$F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1.$

Тогда F находится в H ^п для каждого 0 < p < 1 и радиальный предел

$f(e^{i\theta }):=\lim _{r\to 1}F(re^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}}).$

существует для п.в. θ и находится в H ^п ( T ), но Re( f ) уже невозможно ) почти всюду равно 0, поэтому восстановить F из Re( f . Как следствие этого примера, видно, что при 0 < p < 1 невозможно охарактеризовать реальную величину . ^п ( T ) (определено ниже) простым способом, указанным выше, но должен использовать фактическое определение с использованием максимальных функций, которое приведено где-то ниже.

Для той же функции F пусть f _r (e ^iθ ) = F ( ре ^iθ ). Предел при r Re( f _r ) → 1 в смысле распределений на окружности является ненулевым кратным распределению Дирака при z = 1. Распределение Дирака в точке единичного круга принадлежит вещественному - Ч ^п ( T ) для каждого p < 1 (см. ниже).

Факторизация на внутренние и внешние функции (Берлинг)

При 0 < p ≤ ∞ каждая ненулевая функция f из H ^п можно записать как произведение f = Gh , где G — внешняя функция , а h — внутренняя функция , как определено ниже ( Рудин 1987 , Thm 17.17). Эта « факторизация Берлинга » позволяет полностью охарактеризовать пространство Харди пространствами внутренних и внешних функций.

Говорят, что G ( z ) является внешней (внешней) функцией , если она принимает вид

$G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right)$

для некоторого комплексного числа c с | с | = 1, и некоторая положительная измеримая функция $\varphi$ на единичной окружности такой, что $\log(\varphi )$интегрируемо на окружности. В частности, когда $\varphi$ интегрируема на окружности, G принадлежит H ¹ потому что вышеизложенное принимает форму ядра Пуассона ( Рудин 1987 , Thm 17.16). Это означает, что

$\lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)$

почти для каждого θ.

Говорят, что h — внутренняя (внутренняя) функция тогда и только тогда, когда | ч | ≤ 1 на единичном круге и предел

$\lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })$

существует почти для всех θ и его модуль равен 1 п.в. В частности, h находится в H ^∞ . Внутреннюю функцию можно дополнительно преобразовать в форму, включающую произведение Бляшке .

Функция f , разложенная как f = Gh , находится в H ^п тогда и только тогда, когда φ принадлежит L ^п ( T ), где φ — положительная функция в представлении внешней G. функции

Пусть G — внешняя функция, представленная, как указано выше, из функции φ на окружности. Замена φ на φ ^а , α > 0, получается семейство ( G _α ) внешних функций со свойствами:

г ₁ знак равно г , г _α+β знак равно г _α   г _β и | Г _а | = | г | ^а почти везде по кругу.

Отсюда следует, что всякий раз, когда 0 < p , q , r < ∞ и 1/ r = 1/ p + 1/ q , каждая функция f из H ^р может быть выражено как произведение функции из H ^п и функция из H ^д . Например: каждая функция из H ¹ является произведением двух функций из H ² ; каждая функция из H ^п , p < 1, можно выразить как произведение нескольких функций из некоторого H ^д , q > 1.

действительных переменных на

Методы действительных переменных, в основном связанные с изучением реальных пространств Харди, определенных на R. ^н (см. ниже), также используются в более простой схеме круга. Обычной практикой является учет сложных функций (или распределений) в этих «реальных» пространствах. Следующее определение не делает различия между реальным и сложным случаем.

Обозначим через P _r ядро ​​Пуассона на единичной окружности T . Для распределения f на единичной окружности положим

$(Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|,$

где звездочка указывает на свертку между распределением f и функцией e ^iθ → P _r (θ) на окружности. А именно, ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) является результатом действия f на C ^∞ -функция, определенная на единичной окружности формулой

$e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi ).$

При 0 < p < ∞ вещественное пространство Харди H ^п ( T ) состоит из распределений f таких, что M f находится в L ^п ( Т ).

Функция F , определенная на единичном круге как F ( re ^iθ ) знак равно ( ж * п _р )(е ^iθ ) является гармоническим, а M f — радиальная максимальная функция F . Когда M f принадлежит L ^п ( T ) и p ≥ 1, распределение f " является " функцией из L ^п ( T ), а именно граничное значение F . При p ≥ 1 вещественное пространство Харди H ^п ( T ) является подмножеством L ^п ( Т ).

Сопряженная функция

Каждому действительному тригонометрическому многочлену u на единичном круге сопоставляется действительный сопряженный многочлен v такой, что u + i v продолжается до голоморфной функции в единичном круге:

$u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).$

Это отображение u → v продолжается до ограниченного линейного оператора H на L ^п ( T ), когда 1 < p < ∞ (с точностью до скалярного кратного это преобразование Гильберта на единичной окружности), а H также отображает L ¹ ( T ) до слабого L ¹ ( Т ) . Когда 1 ≤ p < ∞, следующие условия эквивалентны для вещественнозначной интегрируемой функции f на единичной окружности:

• функция f — это действительная часть некоторой функции g ∈ H ^п ( Т )
• функция f и ее сопряженная H(f) принадлежат L ^п ( Т )
• радиальная максимальная функция M f принадлежит L ^п ( Т ).

Когда 1 < p < ∞, H(f) принадлежит L ^п ( T ) когда f ∈ L ^п ( T ), следовательно, вещественное пространство Харди H ^п ( T ) совпадает с L ^п ( Т ) в этом случае. При p = 1 реальное пространство Харди H ¹ ( T ) — собственное подпространство в L ¹ ( Т ).

Случай p = ∞ был исключен из определения вещественных пространств Харди, поскольку максимальная функция f L M ^∞ функция всегда ограничена, и поскольку нежелательно, чтобы реальная H ^∞ быть равным L ^∞ . Однако два следующих свойства эквивалентны для вещественнозначной функции f

• функция f является вещественной частью некоторой функции g ∈ H ^∞ ( Т )
• функция f и ее сопряженная H(f) принадлежат L ^∞ ( Т ).

Реальные пространства Харди для 0 < p <1

Когда 0 < p < 1, функция F из H ^п не может быть восстановлена ​​по действительной части ее граничной предельной функции на окружности из-за отсутствия выпуклости L ^п в этом случае. Выпуклость терпит неудачу, но остается своего рода « комплексная выпуклость », а именно тот факт, что z → | г | ^д субгармонична для любого q > 0. Как следствие, если

$F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1$

находится в H ^п , можно показать, что c _n = O( n ^{1/ п –1} ). Отсюда следует, что ряд Фурье

$\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }$

сходится в смысле распределений к распределению f на единичной окружности, а F ( re ^iθ ) =( ж ∗ п _р )(θ). Функция F ∈ H ^п может быть восстановлено по реальному распределению Re( f ) на окружности, поскольку коэффициенты Тейлора c _n функции F можно вычислить из коэффициентов Фурье функции Re( f ).

Распределения на окружности достаточно общие для работы с пространствами Харди, когда p < 1. Распределения, которые не являются функциями, действительно встречаются, как это видно на примере функций F ( z ) = (1 − z ). ^{− Н} (при | z | < 1), принадлежащие H ^п когда 0 < N   p < 1 (и N целое число ≥ 1).

Вещественное распределение на окружности принадлежит реальному H ^п ( T ) тогда и только тогда, когда оно является граничным значением вещественной части некоторого F ∈ H ^п . Распределение Дирака δ _x в любой точке x единичного круга принадлежит вещественному H. ^п ( T ) для каждого p < 1; производные δ′ _x принадлежат, когда p < 1/2, вторые производные δ′′ _x , когда p < 1/3, и так далее.

верхней

Можно определить пространства Харди в других областях, кроме диска, и во многих приложениях используются пространства Харди на комплексной полуплоскости (обычно правой полуплоскости или верхней полуплоскости).

Пространство Харди H ^п ( H ) в верхней полуплоскости H определяется как пространство голоморфных функций f на H с ограниченной нормой, норма задается формулой

$\|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.$

Соответствующий H ^∞ ( H ) определяется как функция ограниченной нормы с нормой, заданной выражением

$\|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.$

Хотя единичный круг D и верхняя полуплоскость H могут быть отображены друг в друга с помощью преобразований Мёбиуса , они не являются взаимозаменяемыми. как области для пространств Харди. Этому различию способствует тот факт, что единичная окружность имеет конечную (одномерную) меру Лебега , а действительная линия - нет. Однако для Х ² , справедлива следующая теорема: если m : D → H обозначает преобразование Мёбиуса

$m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.$

Тогда линейный оператор M : H ² ( ЧАС ) → ЧАС ² ( D ) определяется формулой

$(Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).$

является изометрическим изоморфизмом гильбертовых пространств.

Вещественные пространства Харди для R ^н

При анализе вещественного векторного пространства R ^н , пространство Харди H ^п (при 0 < p ≤ ∞) состоит из умеренных распределений f таких, что для некоторой функции Шварца Φ с ∫Φ = 1 максимальная функция

$(M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|$

находится в Л ^п ( Р ^н ), где ∗ — свертка и Φ _t ( x ) = t ^{− п} Φ( Икс / т ) . Н ​ ^п - квазинорма || ж || _Hp распределения f H ​ ^п определяется как L ^п норма M _Φ f (это зависит от выбора Φ, но другой выбор функций Шварца Φ дает эквивалентные нормы). Н ​ ^п -квазинорма является нормой при p ≥ 1, но не при p < 1.

Если 1 < p < ∞, пространство Харди H ^п — то же векторное пространство, что и L ^п , с эквивалентной нормой. Когда p = 1, пространство Харди H ¹ является собственным подпространством в L ¹ . Можно найти последовательности в H ¹ ограниченные в L ¹ но неограничен в H ¹ , например, в строке

$f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.$

Л ​ ¹ и Х ¹ нормы не эквивалентны на H ¹ и Х ¹ не замкнут в L ¹ . Двойник H ¹ — пространство BMO функций ограниченного среднего колебания . Пространство BMO содержит неограниченные функции (еще раз доказывая, что H ¹ не замкнут в L ¹ ).

Если p < 1, то пространство Харди H ^п имеет элементы, не являющиеся функциями, и его двойственным является однородное липшицево пространство порядка n (1/ p − 1). Когда p < 1, H ^п -квазинорма не является нормой, так как не является субаддитивной. p - я степень || ж || _л.с. ^п субаддитивен при p < 1 и, таким образом, определяет метрику в пространстве Харди H ^п , что определяет топологию и делает H ^п в полное метрическое пространство.

Атомный разложение

Когда 0 < p ≤ 1, ограниченная измеримая функция f с компактным носителем находится в пространстве Харди H ^п тогда и только тогда, когда все его моменты

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x,$

порядок которых i ₁ + ... + i _n не превосходит n (1/ p − 1), равны нулю. Например, интеграл от f должен обращаться в нуль, чтобы f ∈ H ^п , 0 < p ≤ 1, и пока p > n /( n +1) этого тоже достаточно.

Если, кроме того, f имеет носитель в некотором шаре B и ограничена | Б | ^{−1/ п} тогда f называется H ^п -атом (здесь | B | обозначает евклидов объем B в R ^н ). Н ​ ^п -квазинорма произвольного H ^п -атом ограничен константой, зависящей только от p и функции Шварца Φ.

Когда 0 < p ≤ 1, любой элемент f из H ^п имеет атомное разложение как сходящаяся бесконечная комбинация H ^п -атомы,

$f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty$

где aj _— это H ^п -атомы и являются _cj скалярами.

На прямой, например, разность распределений Дирака f = δ ₁ −δ ₀ можно представить как ряд функций Хаара , сходящийся в H ^п -квазинорма при 1/2 < p < 1 (на окружности соответствующее представление справедливо при 0 < p < 1, но на прямой функции Хаара не принадлежат H ^п когда p поскольку их максимальная функция эквивалентна на бесконечности x   ≤ 1/2 , ⁻² для некоторого a ≠ 0).

Мартингейл Х ^п

Пусть ( M _n ) _{n ≥0} — мартингал в некотором вероятностном пространстве (Ω, Σ, P ) относительно возрастающей последовательности σ-полей (Σ _n ) _{n ≥0} . Предположим для простоты, что Σ равно σ-полю, порожденному последовательностью (Σ _n ) _{n ≥0} . Максимальная функция мартингала определяется выражением

$M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.$

Пусть 1 ⩽ p < ∞. Мартингал ( M _n ) _{n ≥0} принадлежит мартингалу - H ^п когда M* ∈ L ^п .

Если M* ∈ L ^п , мартингал ( M _n ) _{n ≥0} ограничен в L ^п ; следовательно, он почти наверняка сходится к некоторой функции f по теореме о мартингальной сходимости . Более того, M _n сходится к f в L ^п -норма по теореме о доминируемой сходимости ; следовательно, M _n можно выразить как условное ожидание f на Σ _n . Таким образом, можно идентифицировать мартингал- H ^п с подпространством L ^п (Ω, Σ, P ), состоящее из тех f таких, что мартингал

$M_{n}=\operatorname {E} {\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}$

принадлежит мартингалу- H ^п .

Из максимального неравенства Дуба следует, что мартингал- H ^п совпадает с L ^п (Ω, Σ, P ), когда 1 < p < ∞. Интересное пространство — мартингейл- H ¹ , двойником которого является мартингал-BMO ( Garsia 1973 ).

Неравенства Беркхолдера–Ганди (когда p > 1) и неравенство Бёрджесса-Дэвиса (когда p = 1) связывают L ^п -нормы максимальной функции к норме квадрата функции мартингала

$S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$

Мартингейл- H ^п можно определить, сказав, что S ( f ) ∈ L ^п ( Garsia 1973 ).

Также можно рассмотреть мартингалы с непрерывным параметром времени. Прямая связь с классической теорией получается через комплексное броуновское движение ( B _t ) в комплексной плоскости, начиная с точки z = 0 в момент времени t = 0. Пусть τ обозначает время попадания в единичную окружность. Для каждой голоморфной функции F в единичном круге

$M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })$

это мартингал, принадлежащий мартингалу- H ^п тогда и только тогда, когда F ∈ H ^п ( Буркхолдер, Ганди и Сильверстайн, 1971 ).

Пример: диадический мартингал- H ¹

В этом примере Ω = [0, 1] и Σ _n — конечное поле, порожденное двоичным разбиением [0, 1] на 2 ^н интервалы длины 2 ^{− п} , для каждого n ≥ 0. Если функция f на [0, 1] представлена ​​ее разложением по системе Хаара ( h _k )

$f=\sum c_{k}h_{k},$

тогда мартингал- H ¹ норма f может быть определена с помощью L ¹ норма квадратичной функции

$\int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x.$

Это пространство, иногда обозначаемое H ¹ (δ), изоморфна классической вещественной H ¹ пространство на круге ( Мюллер 2005 ). Система Хаара является безусловным основанием для H ¹ (г).

Ссылки

• Беркхолдер, Дональд Л.; Ганди, Ричард Ф.; Сильверстайн, Мартин Л. (1971), "Максимальная функциональная характеристика класса H ^п ", Transactions of the American Mathematical Society , 157 : 137–153, doi : 10.2307/1995838 , JSTOR   1995838 , MR   0274767 , S2CID   53996980 .
• Чима, Джозеф А.; Росс, Уильям Т. (2000), Сдвиг назад в пространстве Харди , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2083-4
• Колвелл, Питер (1985), Произведения Бляшке — ограниченные аналитические функции , Анн-Арбор: Издательство Мичиганского университета , ISBN  978-0-472-10065-1
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^п -Пространства , Академическая пресса
• Фефферман, Чарльз ; Штейн, Элиас М. (1972), « H ^п пространства нескольких переменных», Acta Mathematica , 129 (3–4): 137–193, doi : 10.1007/BF02392215 , MR   0447953 .
• Фолланд, Великобритания (2001) [1994], «Пространства Харди» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Гарсиа, Адриано М. (1973), Неравенства Мартингала: заметки семинара о недавнем прогрессе , Серия конспектов лекций по математике, WA Benjamin MR 0448538
• Харди, Г.Х. (1915), «О среднем значении модуля аналитической функции» , Proceedings of the London Mathematical Society , 14 : 269–277, doi : 10.1112/plms/s2_14.1.269 , JFM   45.1331.03
• Хоффман, Кеннет (1988), Банаховы пространства аналитических функций , Dover Publications , ISBN  978-0-486-65785-1
• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Dover Publications , ISBN  978-0-486-63331-2
• Кузис, П. (1998), Введение в H _p пространства (второе изд.), Cambridge University Press
• Машреги, Дж. (2009), Теоремы о представлении в пространствах Харди , Cambridge University Press, ISBN  9780521517683
• Мюллер, Пол FX (2005), Изоморфизмы между H ¹ пространства , Институт математики Польской академии наук. Математические монографии (новая серия), Базель: Биркхойзер , ISBN  978-3-7643-2431-5 , МР   2157745
• Рисс, Ф. (1923), «О граничных значениях аналитической функции», Mathematical Journal , 18 : 87–95, doi : 10.1007/BF01192397 , S2CID   121306447
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-100276-9
• Шведенко, С.В. (2001) [1994], «Классы Харди» , Энциклопедия Математики , EMS Press