Пространство Шварца

О пространстве Шварца полупростой группы Ли см. Пространство Шварца Хариш-Чандры . О пространстве Шварца локально компактной абелевой группы см. функцию Шварца–Брюа .

В математике Шварца пространство ${\mathcal {S}}$ — это функциональное пространство всех функций, которых производные быстро убывают. Это пространство обладает тем важным свойством, что преобразование Фурье является автоморфизмом на этом пространстве. Это свойство позволяет с помощью двойственности определить преобразование Фурье для элементов в дуальном пространстве. ${\mathcal {S}}^{*}$ из ${\mathcal {S}}$, то есть для умеренных распределений . Функцию в пространстве Шварца иногда называют функцией Шварца .

Двумерная функция Гаусса является примером быстро убывающей функции.

Пространство Шварца названо в честь французского математика Лорана Шварца .

Определение

Позволять $\mathbb {N}$ — набор неотрицательных целых чисел , и для любого $n\in \mathbb {N}$, позволять $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$ быть n -кратным декартовым произведением .

Пространство Шварца или пространство быстро убывающих функций на $\mathbb {R} ^{n}$ это функциональное пространство

$$S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},$$

где $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$ — функциональное пространство гладких функций из $\mathbb {R} ^{n}$ в $\mathbb {C}$, и

$$\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.$$

Здесь, $\sup$ обозначает супремум , и мы использовали многоиндексное обозначение , т.е. ${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$ и $D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}$.

Чтобы выразить это определение на обычном языке, можно рассматривать быстро убывающую функцию как, по существу, функцию f ( x ), такую, что f ( x ) , f   ′( x ) , f   »( x ) , ... все существуют повсюду на R и стремятся к нулю при x → ±∞ быстрее, чем любая обратная степень x . В частности, S ( R ^н , C ) — подпространство функционального пространства C ^∞ ( Р ^н , C ) гладких функций из R ^н в С. ​

Примеры функций в пространстве Шварца

• Если ${\boldsymbol {\alpha }}$ — мультииндекс, а — положительное действительное число , тогда

  ${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).$

• Любая гладкая функция f с компактным носителем находится в S ( R ^н ). Это ясно, поскольку любая производная от и поддерживается f непрерывна на носителе f , поэтому ( ${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f$ имеет максимум в R ^н по теореме об экстремальных значениях .
• Поскольку пространство Шварца является векторным пространством, любой многочлен $\phi ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }})$ можно умножить на коэффициент $e^{-ax^{2}}$ для $a>0$ реальная константа, дающая элемент пространства Шварца. В частности, существует вложение многочленов в пространство Шварца.

Свойства

Аналитические свойства

• Из правила Лейбница следует, что 𝒮( R ^н ) также замкнуто относительно поточечного умножения :

  Если f , g ∈ 𝒮( R ^н ) то произведение fg ∈ 𝒮( R ^н ) .

В частности, отсюда следует, что 𝒮( R ^н ) является R -алгеброй. В более общем смысле, если f ∈ 𝒮( R ) и H — ограниченная гладкая функция с ограниченными производными всех порядков, то fH ∈ 𝒮( R ) .

• Преобразование Фурье — это линейный изоморфизм F:𝒮( R ^н ) → 𝒮( Р ^н ) .
• Если f ∈ 𝒮( R ) , то f непрерывен равномерно на R .
• 𝒮( Р ^н ) — отмеченная локально выпуклая Фреше ТВС Шварца над комплексными числами .
• Оба 𝒮( R ^н ) и его сильное двойственное пространство также:

1. полные хаусдорфовы локально выпуклые пространства,
2. ядерные просторы Монтеля ,

Известно, что в дуальном пространстве к любому пространству Монтеля последовательность сходится в сильной дуальной топологии когда она сходится в слабой топологии тогда и только тогда ,

1. Ультраборнологические пространства ,
2. рефлексивные бочкообразные пространства Макки .

пространств Шварца с другими топологическими

• Если 1 ⩽ p ⩽ ∞ , то 𝒮( R ^н ) ⊂ L ^п ( Р ^н ) .
• Если 1 ⩽ p < ∞ , то 𝒮( R ^н ) плотно ​ в L ^п ( Р ^н ) .
• Пространство всех функций рельефа , C ^∞
  _в ( Р ^н ) , входит в 𝒮( R ^н ) .

См. также

• Функция удара
• Функция Шварца – Брюа
• Ядерный космос

Ссылки

Источники

• Хёрмандер, Л. (1990). Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I (Теория распределения и анализ Фурье) (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-52343-Х .
• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Функциональный анализ I (Переработанное и дополненное изд.). Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN  0-12-585050-6 .
• Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2003). Анализ Фурье: Введение (Принстонские лекции по анализу I) . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-11384-Х .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Эта статья включает в себя материал из Space о быстро убывающих функциях на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .