Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений

В математике спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений — это часть спектральной теории, занимающаяся определением спектра и разложением собственных функций, связанных с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением . В своей диссертации Герман Вейль обобщил классическую теорию Штурма – Лиувилля на конечном замкнутом интервале второго порядка на дифференциальные операторы с особенностями на концах интервала, возможно, полубесконечными или бесконечными. В отличие от классического случая, спектр может состоять уже не только из счетного набора собственных значений, но может содержать и непрерывную часть. В этом случае разложение по собственным функциям включает интеграл по непрерывной части по спектральной мере , определяемой Титчмарша – Кодайры формулой . Теория была изложена в окончательной упрощенной форме для сингулярных дифференциальных уравнений четной степени Кодайрой и другими с использованием фон Неймана спектральной теоремы . Он имел важные приложения в квантовой механике , теории операторов. и гармонический анализ на полупростых группах Ли .

Введение

Спектральная теория для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на компактном интервале была разработана Жаком Шарлем Франсуа Штурмом и Жозефом Лиувиллем в девятнадцатом веке и теперь известна как теория Штурма – Лиувилля . Говоря современным языком, это применение спектральной теоремы для компактных операторов Дэвида Гильберта . В своей диссертации, опубликованной в 1910 году, Герман Вейль распространил эту теорию на обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с особенностями на концах отрезка, которым теперь разрешено быть бесконечными или полубесконечными. Одновременно он разработал спектральную теорию, адаптированную к этим специальным операторам, и ввел граничные условия в терминах своей знаменитой дихотомии между предельными точками и предельными кругами .

В 1920-х годах Джон фон Нейман установил общую спектральную теорему для неограниченных самосопряженных операторов , которую Кунихико Кодайра использовал для оптимизации метода Вейля. Кодайра также обобщил метод Вейля на сингулярные обыкновенные дифференциальные уравнения четного порядка и получил простую формулу для спектральной меры . Та же самая формула была независимо получена ЕС Титчмаршем в 1946 году (научное сообщение между Японией и Соединенным Королевством было прервано Второй мировой войной ). Титчмарш следовал методу немецкого математика Эмиля Хильба , который вывел разложения по собственным функциям, используя теорию комплексных функций вместо теории операторов . Другие методы, позволяющие избежать спектральной теоремы, были позже независимо разработаны Левитаном, Левинсоном и Йошидой, которые использовали тот факт, что резольвента сингулярного дифференциального оператора может быть аппроксимирована компактными резольвентами, соответствующими задачам Штурма – Лиувилля для собственных подинтервалов. Другой метод был найден Марк Григорьевич Крейн ; его использование функционалов направления было впоследствии обобщено Израилем Глазманом на произвольные обыкновенные дифференциальные уравнения четного порядка.

Вейль применил свою теорию к Карла Фридриха Гаусса , гипергеометрическому дифференциальному уравнению получив таким образом далеко идущее обобщение формулы преобразования Густава Фердинанда Мелера (1881) для дифференциального уравнения Лежандра , заново открытого русским физиком Владимиром Фоком в 1943 году и обычно называется преобразованием Мелера-Фока . Соответствующий обыкновенный дифференциальный оператор является радиальной частью оператора Лапласа в двумерном гиперболическом пространстве . В более общем смысле, теорема Планшереля для SL(2,R) Хариша Чандры и Гельфанда – Наймарка может быть выведена из теории Вейля для гипергеометрического уравнения, как и теория сферических функций для групп изометрий гиперболических пространств более высокой размерности. На более позднее развитие Харишем Чандрой теоремы Планшереля для общих вещественных полупростых групп Ли сильное влияние оказали методы, разработанные Вейлем для разложений по собственным функциям, связанным с сингулярными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Не менее важно, что теория заложила математические основы для анализа Уравнение Шрёдингера и матрица рассеяния в квантовой механике .

Решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Основная статья: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Приведение к стандартной форме

Пусть D будет дифференциальным оператором второго порядка на ( a , b ), заданным формулой

$$Df(x)=-p(x)f''(x)+r(x)f'(x)+q(x)f(x),$$

где p — строго положительная непрерывно дифференцируемая функция, а q и r — непрерывные вещественные функции.

Для x ₀ в ( a , b ) определите преобразование Лиувилля ψ формулой

$$\psi (x)=\int _{x_{0}}^{x}p(t)^{-1/2}\,dt$$

Если

$$U:L^{2}(a,b)\mapsto L^{2}(\psi (a),\psi (b))$$

– унитарный оператор, определяемый формулой

$$(Uf)(\psi (x))=f(x)\times \left(\psi '(x)\right)^{-1/2},\ \ \forall x\in (a,b)$$

затем

$$U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}g=g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}$$

и

$${\begin{aligned}U{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}U^{-1}g&=\left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)\times \left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)g\\[1ex]&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \psi }}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\cdot \psi '+{\frac {1}{2}}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\cdot {\frac {\psi ''}{\psi '}}\\[1ex]&=g''\psi '^{2}+2g'\psi ''+{\frac {1}{2}}g\cdot \left[{\frac {\psi '''}{\psi '}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\psi ''^{2}}{\psi '^{2}}}\right]\end{aligned}}$$

Следовательно,

$$UDU^{-1}g=-g''+Rg'+Qg,$$

где

$$R={\frac {p'+r}{p^{1/2}}}$$

и

$$Q=q-{\frac {rp'}{4p}}+{\frac {p''}{4}}-{\frac {5p'^{2}}{16p}}$$

Член в g' можно удалить, используя Эйлера интегрирующий коэффициент . Если S′ / S = − R /2 , то h = Sg удовлетворяет условию

$$(SUDU^{-1}S^{-1})h=-h''+Vh,$$

где потенциал V определяется выражением

$$V=Q+{\frac {S''}{S}}$$

Таким образом, дифференциальный оператор всегда можно привести к одному из видов

$$Df=-f''+qf.$$

существования

Ниже приводится версия классической теоремы существования Пикара для дифференциальных уравнений второго порядка со значениями в банаховом пространстве E .

Пусть α , β — произвольные элементы из E , A — ограниченный оператор в E и q — непрерывная функция на [ a , b ] .

Тогда для c = a или c = b дифференциальное уравнение

$$Df=Af$$

имеет единственное решение f в C ² ([ a , b ], E ), удовлетворяющие начальным условиям

$$f(c)=\beta \,,\;f'(c)=\alpha .$$

Фактически решение дифференциального уравнения с этими начальными условиями эквивалентно решениюинтегрального уравнения

$$f=h+Tf$$

где T - ограниченное линейное отображение на C ([ a , b ], E ) , определенное формулой

$$Tf(x)=\int _{c}^{x}K(x,y)f(y)\,dy,$$

где K — ядро ​​Вольтерра

$$K(x,t)=(x-t)(q(t)-A)$$

и

$$h(x)=\alpha (x-c)+\beta .$$

Поскольку ‖ Т ^к ‖ стремится к 0, это интегральное уравнение имеет единственное решение, определяемое рядом Неймана

$$f=(I-T)^{-1}h=h+Th+T^{2}h+T^{3}h+\cdots$$

Эту итерационную схему часто называют итерацией Пикара в честь французского математика Шарля Эмиля Пикара .

Фундаментальные

Если f дважды непрерывно дифференцируема (т.е. C ² ) на ( a , b ), удовлетворяющем Df = λf , то f называется функцией D собственной с собственным значением λ .

• В случае компактного интервала [ a , b ] и q, непрерывного на [ a , b ] , из теоремы существования следует, что для c = a или c = b и каждого комплексного числа λ существует уникальный C ² собственная функция f _λ на [ a , b ] с заданными f _λ ( c ) и f ′ _λ ( c ) . , для каждого в [ a , b ] f Более того λ ₍ x ) и f ′ λ ₍ x ) являются голоморфными функциями λ x .
• Для произвольного интервала ( a , b ) и q, непрерывного на ( a , b ) , из теоремы существования следует, что для c в ( a , b ) и каждого комплексного числа λ существует уникальный C ² собственная функция f _λ на ( a , b ) с заданными f _λ ( c ) и f ′ _λ ( c ) . , для каждого x в ( a , b ) того f _λ ( x ) и f ′ _λ ( x ) являются голоморфными функциями λ Более .

Формула Грина

Если f и g равны C ² функций на ( a , b ) , вронскиан W ( f , g ) определяется формулой

$$W(f,g)(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x).$$

Формула Грина , которая в этом одномерном случае представляет собой простое интегрирование по частям, утверждает, что для x , y в ( a , b )

$$\int _{x}^{y}(Df)g-f(Dg)\,dt=W(f,g)(y)-W(f,g)(x).$$

Когда q непрерывен и f , g являются C ² на компактном интервале [ a , b ] эта формула также верна для x = a или y = b .

Если f и g являются собственными функциями для одного и того же собственного значения, то

$${\frac {d}{dx}}W(f,g)=0,$$

так что W ( f , g ) не зависит от x .

теория Штурма

Основная статья: теория Штурма – Лиувилля

Пусть [ a , b ] — конечный замкнутый интервал, q — вещественная непрерывная функция на [ a , b ] , и пусть H ₀ — пространство C ² функции f на [ a , b ], удовлетворяющие граничным условиям Робина

$${\begin{cases}\cos \alpha \,f(a)-\sin \alpha \,f'(a)=0,\\[0.5ex]\cos \beta \,f(b)-\sin \beta \,f'(b)=0,\end{cases}}$$

с внутренним продуктом

$$(f,g)=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\,dx.$$

На практике обычно используется одно из двух стандартных граничных условий:

• Краевое условие Дирихле f ( c ) = 0
• Граничное условие Неймана f ′( c ) = 0

налагается в каждой конечной точке c = a , b .

Дифференциальный оператор D, заданный формулой

$$Df=-f''+qf$$

действует на H ₀ . Функция f в H ₀ называется собственной функцией ( D для указанного выше выбора граничных значений), если Df = λ f для некоторого комплексного числа λ , соответствующего собственного значения . По формуле Грина D формально самосопряжен на H ₀ , поскольку вронскиан W ( f , g ) обращается в нуль, если оба f , g удовлетворяют граничным условиям:

$$(Df,g)=(f,Dg),\quad {\text{ for }}f,g\in H_{0}.$$

Как следствие, точно так же, как и для самосопряженной матрицы конечных размерностей,

• собственные значения D вещественны;
• для собственные пространства различных собственных значений ортогональны .

Оказывается, собственные значения можно описать принципом -минимума максимума Рэлея – Ритца. (см. ниже). легко увидеть На самом деле априори , что собственные значения ограничены снизу, поскольку оператор D сам ограничен снизу на H ₀ :

$(Df,f)\geq M(f,f)$ для некоторой конечной (возможно, отрицательной) константы $M$.

Действительно, интегрируя по частям,

$$(Df,f)=\left[-f'{\overline {f}}\right]_{a}^{b}+\int |f'|^{2}+\int q|f|^{2}.$$

Для граничных условий Дирихле или Неймана первый член обращается в нуль и неравенство выполняется с M = inf q .

Для общих граничных условий Робина первый член можно оценить с помощью элементарной Питера-Пола версии неравенства Соболева :

«При ε > 0 существует константа R > 0 такая, что | f ( x ) | ² ≤ ε ( f ′, f ′) + R ( f , f ) для всех f в C ¹ [ а , б ] ».

Фактически, поскольку

$$|f(b)-f(x)|\leq (b-a)^{1/2}\cdot \|f'\|_{2},$$

только оценка f ( b ) необходима , и это следует путем замены f ( x ) в приведенном выше неравенстве на ( x − a ) ^н ·( б - а ) ^{− п} · f ( x ) для n достаточно большого .

Функция Грина (обычный случай)

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений существуют единственные фундаментальные собственные функции φ _λ ( x ) , χ _λ ( x ) такие, что

• D φ _λ знак равно λ φ _λ , φ _λ ( а ) знак равно грех α , φ _λ '( а ) знак равно потому что α
• D Икс _λ знак равно λ Икс _λ , Икс _λ ( б ) знак равно грех β , Икс _λ '( б ) знак равно потому что β

которые в каждой точке вместе со своими первыми производными голоморфно зависят от λ . Позволять

$$\omega (\lambda )=W(\phi _{\lambda },\chi _{\lambda }),$$

— целая голоморфная функция .

функция ω ( λ ) роль характеристического многочлена D. Эта играет Действительно, из единственности фундаментальных собственных функций следует, что ее нули являются в точности собственными значениями D и что каждое ненулевое собственное пространство одномерно. В частности, существует не более счетного числа собственных значений оператора D , а если их бесконечно много, они должны стремиться к бесконечности. Оказывается, нули ω ( λ ) также имеют кратность единицу (см. ниже).

Если λ не является собственным значением D в H ₀ , определите функцию Грина формулой

$$G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}\phi _{\lambda }(x)\chi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&{\text{ for }}x\geq y\\[1ex]\chi _{\lambda }(x)\phi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&{\text{ for }}y\geq x.\end{cases}}$$

Это ядро ​​определяет оператор в пространстве внутреннего продукта C [ a , b ] через

$$(G_{\lambda }f)(x)=\int _{a}^{b}G_{\lambda }(x,y)f(y)\,dy.$$

Поскольку G _λ ( x , y ) непрерывен на a , b ] × [ a , b ] , он определяет оператор Гильберта–Шмидта на пополнении H гильбертова пространства C H [ a , b ] = 1 _[ (или, что то же самое, плотное подпространство H ₀ ), принимающее значения в H ₁ . Этот оператор переводит H ₁ в H ₀ . Когда λ действительно, G _λ ( x , y ) = G _λ ( y , x ) также веществен, поэтому определяет самосопряженный оператор на H . Более того,

• грамм _λ ( D - λ ) знак равно я в ЧАС ₀
• G _λ переносит H ₁ в H ₀ , и ( D − λ ) G _λ знак равно I на H ₁ .

Таким образом, оператор G _λ можно отождествить с резольвентой ( D − λ ) ⁻¹ .

теорема

Теорема . Собственные значения оператора D вещественны кратности один и образуют возрастающую последовательность λ ₁ < λ ₂ < ⋯, стремящуюся к бесконечности.

Соответствующие нормированные собственные функции образуют ортонормированный базис H ₀ .

k -е собственное значение D задается принципом минимакса

$$\lambda _{k}=\max _{\dim G=k-1}\,\min _{f\perp G}{(Df,f) \over (f,f)}.$$

частности, если ≤ _q1 q2 , _В то

$$\lambda _{k}(D_{1})\leq \lambda _{k}(D_{2}).$$

Действительно, пусть T = G _λ для λ большого и отрицательного. Тогда T определяет компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H .По спектральной теореме для компактных самосопряженных операторов H имеет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов ψ _n оператора T, причем Tψ _n = µ _n ψ _n , где µ _n стремится к нулю. Диапазон T содержит H ₀ , поэтому он плотный. Следовательно, 0 не является собственным значением T . Из резольвентных свойств T следует, что ψ _n лежит в H ₀ и что

$$D\psi _{n}=\left(\lambda +{\frac {1}{\mu _{n}}}\right)\psi _{n}$$

Отсюда следует принцип минимакса, потому что если

$$\lambda (G)=\min _{f\perp G}{\frac {(Df,f)}{(f,f)}},$$

тогда λ ( G ) = λ _k для линейной оболочки первых k − 1 собственных функций. Для любого другого ( k − 1) -мерного подпространства G некоторый f в линейной оболочке первых k собственных векторов должен быть ортогональным G . Следовательно, λ ( G ) ≤ ( Df , f )/( f , f ) ≤ λ _k .

определитель

Для простоты предположим, что m ⩽ q ( x ) ⩽ M на [0, π ] с граничными условиями Дирихле. Принцип минимакса показывает, что

$$n^{2}+m\leq \lambda _{n}(D)\leq n^{2}+M.$$

Отсюда следует, что резольвента ( D − λ ) ⁻¹ является оператором ядерного класса , если λ не является собственным значением оператора D и, следовательно, определитель Фредгольма det I − µ ( D − λ ) ⁻¹ определяется.

Граничные условия Дирихле означают, что

$$\omega (\lambda )=\phi _{\lambda }(b).$$

Используя итерацию Пикара, Титчмарш показал, что φ _λ ( b ) и, следовательно, ω ( λ ) является целой функцией конечного порядка 1/2 :

$$\omega (\lambda )={\mathcal {O}}\left(e^{\sqrt {|\lambda |}}\right)$$

нуле µ ω λ ( µ ) , φ _b ( В ) = 0 . Более того,

$$\psi (x)=\partial _{\lambda }\varphi _{\lambda }(x)|_{\lambda =\mu }$$

удовлетворяет ( D - μ ) ψ знак равно φ _μ . Таким образом

$$\omega (\lambda )=(\lambda -\mu )\psi (b)+{\mathcal {O}}((\lambda -\mu )^{2})$$

Это подразумевает, что

µ — простой нуль ω ( λ ) .

В противном случае ψ ( b )=0 так что ψ должен был бы лежать в H0 _. , Но тогда

$$(\phi _{\mu },\phi _{\mu })=((D-\mu )\psi ,\phi _{\mu })=(\psi ,(D-\mu )\phi _{\mu })=0,$$

противоречие.

С другой стороны, распределение нулей всей функции ω(λ) уже известно из принципа минимакса.

По теореме факторизации Адамара следует, что

$$\omega (\lambda )=C\prod (1-\lambda /\lambda _{n}),$$

для некоторой ненулевой константы C .

Следовательно

$$\det(I-\mu (D-\lambda )^{-1})=\prod \left(1-{\mu \over \lambda _{n}-\lambda }\right)=\prod {1-(\lambda +\mu )/\lambda _{n} \over 1-\lambda /\lambda _{n}}={\omega (\lambda +\mu ) \over \omega (\lambda )}.$$

В частности, если 0 не является собственным значением D

$$\omega (\mu )=\omega (0)\cdot \det(I-\mu D^{-1}).$$

абстрактной

Функции

См. также: Ограниченная вариация , интегрирование Лебега – Стилтьеса и теорема о представлении Рисса.

Функция ρ ( x ) ограниченной вариации на отрезке [ a , b ] является комплексной функцией такой, что ее полная вариация V ( ρ ) , верхняя грань вариаций

$$\sum _{r=0}^{k-1}|\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r})|$$

по всем разрезам

$$a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{k}=b$$

конечно. Действительная и мнимая части ρ являются вещественными функциями ограниченной вариации. Если ρ действительнозначен и нормирован так, что ρ ( a ) = 0 , он имеет каноническое разложение как разность двух ограниченных неубывающих функций:

$$\rho (x)=\rho _{+}(x)-\rho _{-}(x),$$

где ρ ₊ ( x ) и ρ _– ( x ) являются общими положительными и отрицательными вариациями ρ на протяжении [ a , x ] .

Если f — непрерывная функция на [ a , b ], то ее интеграл Римана–Стилтьеса по ρ

$$\int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)$$

определяется как предел аппроксимирующих сумм

$$\sum _{r=0}^{k-1}f(x_{r})(\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r}))$$

как сетка рассечения, заданная sup | Икс _{р +1} - Икс _р | , стремится к нулю.

Этот интеграл удовлетворяет

$$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)\right|\leq V(\rho )\cdot \|f\|_{\infty }$$

и, таким образом, определяет ограниченный линейный функционал dρ на C [ a , b ] с нормой ‖ dρ ‖ = V ( ρ ) .

Каждый ограниченный линейный функционал µ на ​​C [ a , b ] имеет абсолютное значение |µ| определяется для неотрицательного f формулой

$$|\mu |(f)=\sup _{0\leq |g|\leq f}|\mu (g)|.$$

Форма | | | линейно продолжается до ограниченной линейной формы на C [ a , b ] с нормой ‖ µ ‖ и удовлетворяет характеризирующему неравенству

$$|\mu (f)|\leq |\mu |(|f|)$$

для f в C [ a , b ] . Если µ действителен , т. е. имеет действительное значение для вещественных функций, то

$$\mu =|\mu |-(|\mu |-\mu )\equiv \mu _{+}-\mu _{-}$$

дает каноническое разложение как разность положительных форм, т. е. форм, неотрицательных относительно неотрицательных функций.

Любая положительная форма µ однозначно продолжается на линейную оболочку неотрицательных ограниченных полунепрерывных снизу функций g по формуле

$$\mu (g)=\lim \mu (f_{n}),$$

где неотрицательные непрерывные функции fn _{точечно возрастают} до g .

Следовательно, то же самое относится и к произвольной ограниченной линейной форме µ , так что функция ρ ограниченной вариации может быть определена формулой

$$\rho (x)=\mu (\chi _{[a,x]}),$$

где χ _A обозначает характеристическую функцию подмножества A из [ a , b ] . Таким образом, µ = dρ и ‖ µ ‖ = ‖ dρ ‖ .При этом µ ₊ = dρ ₊ и µ _– = dρ _– .

Это соответствие между функциями ограниченной вариации и ограниченными линейными формами является частным случаем теоремы о представлении Рисса .

Носителем = µ в где dρ является дополнение всех точек x окрестности [ a , b ], ρ постоянно в некоторой x ; по определению это замкнутое подмножество A в [ a , b ] . Более того, µ ((1 − χ _A ) f ) = 0 , так что µ ( f ) = 0, если f обращается в нуль на A .

Спектральная мера

См. Также: Спектральная теорема и проекционная мера.

Пусть H — гильбертово пространство и $T$ самосопряженный ограниченный оператор на H с $0\leq T\leq I$, так что спектр $\sigma (T)$ из $T$ содержится в $[0,1]$. Если $p(t)$ является комплексным полиномом, то по теореме о спектральном отображении

$$\sigma (p(T))=p(\sigma (T))$$

и, следовательно,

$$\|p(T)\|\leq \|p\|_{\infty }$$

где $\|\cdot \|_{\infty }$ обозначает равномерную норму на C [0, 1] . По аппроксимационной теореме Вейерштрасса многочлены равномерно плотны в C [0,1] . Отсюда следует, что $f(T)$ можно определить $\forall f\in C[0,1]$, с

$$\sigma (f(T))=f(\sigma (T))$$

и

$$\|f(T)\|\leq \|f\|_{\infty }.$$

Если $0\leq g\leq 1$ — полунепрерывная снизу функция на [0, 1] , например характеристическая функция $\chi _{[0,\alpha ]}$ подинтервала [0, 1] , то $g$ представляет собой точечно возрастающий предел неотрицательных $f_{n}\in C[0,1]$.

Если $\xi$ является вектором из H , то векторы

$$\eta _{n}=f_{n}(T)\xi$$

образуют последовательность Коши в H , поскольку при $n\geq m$,

$$\|\eta _{n}-\eta _{m}\|^{2}\leq (\eta _{n},\xi )-(\eta _{m},\xi ),$$

и $(\eta _{n},\xi )=(f_{n}(T)\xi ,\xi )$ ограничено и возрастает, поэтому имеет предел.

Отсюда следует, что $g(T)$ может быть определен

$$g(T)\xi =\lim f_{n}(T)\xi .$$

Если $\xi$ и η — векторы из H , то

$$\mu _{\xi ,\eta }(f)=(f(T)\xi ,\eta )$$

определяет ограниченную линейную форму $\mu _{\xi ,\eta }$ на Х. ​По теореме о представлении Рисса

$$\mu _{\xi ,\eta }=d\rho _{\xi ,\eta }$$

для единственной нормализованной функции $\rho _{\xi ,\eta }$ ограниченной вариации на [0, 1] .

$d\rho _{\xi ,\eta }$ (или иногда немного неправильно $\rho _{\xi ,\eta }$ сама по себе) называется спектральной мерой , определяемой формулой $\xi$ и η .

Оператор $g(T)$ соответственно однозначно характеризуется уравнением

$$(g(T)\xi ,\eta )=\mu _{\xi ,\eta }(g)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).$$

Спектральная проекция $E(\lambda )$ определяется

$$E(\lambda )=\chi _{[0,\lambda ]}(T),$$

так что

$$\rho _{\xi ,\eta }(\lambda )=(E(\lambda )\xi ,\eta ).$$

Отсюда следует, что

$$g(T)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,dE(\lambda ),$$

что понимается в том смысле, что для любых векторов $\xi$ и $\eta$,

$$(g(T)\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d(E(\lambda )\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).$$

Для одного вектора $\xi ,\,\mu _{\xi }=\mu _{\xi ,\xi }$ является положительной формой на [0, 1] (другими словами, пропорциональный вероятностной мере на [0, 1] ) и $\rho _{\xi }=\rho _{\xi ,\xi }$ неотрицательна и не убывает. Поляризация показывает, что все формы $\mu _{\xi ,\eta }$ естественно может быть выражено через такие положительные формы, поскольку

$$\mu _{\xi ,\eta }={\frac {1}{4}}\left(\mu _{\xi +\eta }+i\mu _{\xi +i\eta }-\mu _{\xi -\eta }-i\mu _{\xi -i\eta }\right)$$

Если вектор $\xi$ такова, что линейная оболочка векторов $(T^{n}\xi )$ плотно в H , т.е. $\xi$ является циклическим вектором для $T$, то карта $U$ определяется

$$U(f)=f(T)\xi ,\,C[0,1]\rightarrow H$$

удовлетворяет

$$(Uf_{1},Uf_{2})=\int _{0}^{1}f_{1}(\lambda ){\overline {f_{2}(\lambda )}}\,d\rho _{\xi }(\lambda ).$$

Позволять $L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })$ обозначим пополнение гильбертова пространства $C[0,1]$ связанный с возможно вырожденным внутренним продуктом в правой части. Таким образом $U$ распространяется на преобразование унитарное $L_{2}([0,1],\rho _{\xi })$ на Х. ​ $UTU^{\ast }$ тогда это просто умножение на $\lambda$ на $L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })$; и вообще $Uf(T)U^{\ast }$ это умножение на $f(\lambda )$. В этом случае поддержка $d\rho _{\xi }$ это точно $\sigma (T)$, так что

самосопряженный оператор становится оператором умножения в пространстве функций его спектра со скалярным произведением, заданным спектральной мерой .

Вейля-Тичмарша

Разложение по собственным функциям, связанное с сингулярными дифференциальными операторами вида

$$Df=-(pf')'+qf$$

на открытом интервале ( a , b ) требует первоначального анализа поведения фундаментальных собственных функций вблизи конечных точек a и b, чтобы определить возможные граничные условия там . В отличие от обычного случая Штурма – Лиувилля, в некоторых обстоятельствах значения D спектральные могут иметь кратность будут наложены стандартные предположения 2. В описанном ниже развитии на p и q , которые гарантируют, что спектр D везде имеет кратность единицу и ограничен снизу. Сюда входят почти все важные приложения; модификации, необходимые для более общего случая, будут обсуждаться позже.

Выбрав граничные условия, как и в классической теории, резольвенту D , ( D + R ) ⁻¹ для большого и положительного R задается оператором T, соответствующим функции Грина, построенной из двух фундаментальных собственных функций. В классическом случае T был компактным самосопряженным оператором; в этом случае T просто самосопряженный ограниченный оператор с 0 ⩽ T ⩽ I. — Таким образом, абстрактная теория спектральной меры может быть применена к T, чтобы дать разложение по собственным функциям для D .

Центральную идею доказательства Вейля и Кодайры можно неформально объяснить следующим образом. Предположим, что спектр D лежит в [1, ∞) и что T = D ⁻¹ и пусть

$$E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)$$

— спектральная проекция D , соответствующая интервалу [1, λ ] . Для произвольной функции f определим

$$f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).$$

f ( x , λ ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ограниченной вариации ρ; или, что то же самое, как дифференцируемое отображение

$$x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)$$

в банахово пространство E ограниченных линейных функционалов dρ на C [ α , β ], если [ α , β ] — компактный подинтервал интервала [1, ∞) .

Фундаментальное наблюдение Вейля заключалось в том, что d _λ f удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, принимающему значения в E :

$$D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f.$$

После наложения начальных условий на первые две производные в фиксированной точке c это уравнение можно решить явно в терминах двух фундаментальных собственных функций и функционалов «начального значения».

$$(d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot ),\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot ).$$

Теперь эту точку зрения можно перевернуть с ног на голову: f ( c , λ ) и f _x ( c , λ ) можно записать как

$$f(c,\lambda )=(f,\xi _{1}(\lambda )),\quad f_{x}(c,\lambda )=(f,\xi _{2}(\lambda )),$$

где ξ ₁ ( λ ) и ξ ₂ ( λ ) заданы исключительно через фундаментальные собственные функции.Функции ограниченной вариации

$$\sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{i}(\lambda ),\xi _{j}(\lambda ))$$

определяют спектральную меру в спектре D и могут быть вычислены явно из поведения фундаментальных собственных функций (формула Титчмарша – Кодайры).

Предельная окружность и предельная точка для сингулярных уравнений

Пусть q ( x ) — непрерывная вещественная функция на (0, ∞) , и пусть D — дифференциальный оператор второго порядка

$$Df=-f''+qf$$

на (0, ∞) . Зафиксируем точку c в (0, ∞) и для комплексного λ положим $\varphi _{\lambda },\theta _{\lambda }$ — единственные фундаментальные собственные функции на D ( 0, ∞), удовлетворяющие

$$(D-\lambda )\varphi _{\lambda }=0,\quad (D-\lambda )\theta _{\lambda }=0$$

вместе с начальными условиями при c

$$\varphi _{\lambda }(c)=1,\,\varphi _{\lambda }'(c)=0,\,\theta _{\lambda }(c)=0,\,\theta _{\lambda }'(c)=1.$$

Тогда их вронскиан удовлетворяет

$$W(\varphi _{\lambda },\theta _{\lambda })=\varphi _{\lambda }\theta _{\lambda }'-\theta _{\lambda }\varphi _{\lambda }'\equiv 1,$$

поскольку он постоянен и равен 1 в точке c .

Пусть λ невещественно и 0 < x < ∞ . Если комплексное число $\mu$ таков, что $f=\varphi +\mu \theta$ удовлетворяет граничному условию $\cos \beta \,f(x)-\sin \beta \,f'(x)=0$ для некоторых $\beta$ (или, что то же самое, $f'(x)/f(x)$ веществен), то, используя интегрирование по частям, получим

$$\operatorname {Im} (\lambda )\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}=\operatorname {Im} (\mu ).$$

Следовательно, множество µ, удовлетворяющее этому уравнению, не пусто. Это множество представляет собой окружность в комплексной µ -плоскости. Точки µ внутри него характеризуются

$$\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}$$

если x > c и

$$\int _{x}^{c}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}$$

если х < с .

Пусть D _x — замкнутый круг, заключенный в круг. По определению эти закрытые диски являются вложенными и уменьшаются по мере того, как x приближается к 0 или ∞ . Таким образом, в пределе окружности стремятся либо к предельному кругу , либо к предельной точке на каждом конце. Если $\mu$ является предельной точкой или точкой на предельной окружности в точке 0 или ∞ , тогда $f=\varphi +\mu \theta$ интегрируемо с квадратом ( L ² ) вблизи 0 или ∞ , поскольку $\mu$ лежит в D _x для всех x > c (в случае ∞), и поэтому $\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{\operatorname {Im} (\mu ) \over \operatorname {Im} (\lambda )}$ ограничен и не зависит от x . В частности:

• всегда существуют ненулевые решения уравнения Df = λf , интегрируемые с квадратом вблизи 0 соответственно. ∞ ;
• в случае предельного круга все решения уравнения Df = λf интегрируемы с квадратом вблизи 0 соответственно. ∞ .

Радиус диска D _x можно рассчитать как

$$\left|{1 \over {2\operatorname {Im} (\lambda )\int _{c}^{x}|\theta |^{2}}}\right|$$

а это означает, что в случае предельной точки $\theta$ не может быть интегрируемо с квадратом вблизи 0 соотв. ∞ . Таким образом, мы имеем обратное ко второму утверждению выше:

• в случае предельной точки существует ровно одно ненулевое решение (с точностью до скалярных кратных) уравнения Df = λf, которое интегрируется с квадратом вблизи 0 соответственно. ∞ .

С другой стороны, если Dg = λ ′ g для другого значения λ ′ , то

$$h(x)=g(x)-(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy$$

удовлетворяет Dh = λh , так что

$$g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }+(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy.$$

Эту формулу также можно получить непосредственно путем вариации метода констант из ( D - λ ) g = ( λ ′ - λ ) g .Используя это для оценки g , следует, что

• поведение предельной точки/предельного круга в точке 0 или ∞ не зависит от выбора λ .

В более общем смысле, если Dg = ( λ – r ) g для некоторой функции r ( x ) , то

$$g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }-\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))r(y)g(y)\,dy.$$

Отсюда следует, что

• если r непрерывен в точке 0 , то D + r является предельной точкой или предельной окружностью в точке 0 точно тогда, когда D непрерывен,

так что в частности

• если q ( x ) − a / x ² непрерывна в точке 0 , то D является предельной точкой в ​​точке 0 тогда и только тогда, когда a ≥ 3 / 4 .

Сходным образом

• если r имеет конечный предел в ∞ , то D + r является предельной точкой или предельным кругом в ∞ точно тогда, когда D есть,

так что в частности

• если q имеет конечный предел в ∞ , то D является предельной точкой в ​​∞ .

В математической литературе можно найти гораздо более сложные критерии предельной точки или предельного круга.

Функция Грина (единственный случай)

Рассмотрим дифференциальный оператор

$$D_{0}f=-(p_{0}f')'+q_{0}f$$

на (0, ∞) с q ₀ положительным и непрерывным на (0, ∞) и p _0, непрерывно дифференцируемым в [0, ∞) , положительным в (0, ∞) и p ₀ (0) = 0 .

Более того, предположим, что после приведения к стандартному виду D ₀ становится эквивалентным оператором

$$Df=-f''+qf$$

на (0, ∞) , где q имеет конечный предел в ∞ . Таким образом

• D — предельная точка в точке ∞ .

В положении 0 D может быть либо предельной окружностью, либо предельной точкой. В любом случае существует собственная функция Φ ₀ с D Φ ₀ = 0 и Φ _0, интегрируемая с квадратом вблизи 0 . В случае предельного круга Φ ₀ определяет граничное условие в точке 0 :

$$W(f,\Phi _{0})(0)=0.$$

Для комплексного λ пусть Φ _λ и Χ _λ удовлетворяют

• ( D – λ )Φ _{λ знак} равно 0 , ( D – λ )X _{λ знак} равно 0
• Χ _λ, интегрируемый в квадрате вблизи бесконечности
• Φ _λ интегрируется с квадратом в точке 0, если 0 является предельной точкой
• Φ _λ удовлетворяет вышеуказанному граничному условию, если 0 — предельная окружность .

Позволять

$$\omega (\lambda )=W(\Phi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda }),$$

константа, которая обращается в нуль именно тогда, когда т _{пропорциональны} . е _{ФХ и ХХ} . Х является собственным значением D , для этих граничных условий.

С другой стороны, этого не может произойти, если Im λ ≠ 0 или если λ отрицательна.

Действительно, если D f = λf при q ₀ – λ ≥ δ > 0 , то по формуле Грина ( Df , f ) = ( f , Df ) , поскольку W ( f , f ^* ) постоянна. Значит, λ должно быть действительным. Если 0 f считать вещественным реализации D _x , то при 0 < в < y

$$[p_{0}ff']_{x}^{y}=\int _{x}^{y}(q_{0}-\lambda )|f|^{2}+p_{0}(f')^{2}.$$

Поскольку p ₀ (0) = 0 и f интегрируемо вблизи 0 , p ₀ f f ′ должно быть равно нулю в точке 0 . Полагая x = 0 , отсюда следует, что f ( y ) f ′( y ) > 0 , так что f ² возрастает, что противоречит квадратичной интегрируемости f вблизи ∞ .

положительную скалярную величину Таким образом, добавляя к q , можно предположить, что

$$\omega (\lambda )\neq 0~~{\text{ if }}\lambda \notin [1,\infty ).$$

Если ω ( λ ) ≠ 0 , функция Грина G _λ ( x , y ) в λ определяется формулой

$$G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}\Phi _{\lambda }(x)\mathrm {X} _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&(x\leq y),\\[1ex]\mathrm {X} _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )&(x\geq y).\end{cases}}$$

выбора ФХ _{не зависит от} и ХХ _и .

В примерах будет третья «плохая» собственная функция Ψ _λ, определенная и голоморфная для λ, не принадлежащая [1, ∞), такая, что Ψ _λ не удовлетворяет граничным условиям ни в 0 , ни в ∞ . Это означает, что для λ не из [1, ∞)

• W (Φ _λ ,Ψ _λ ) нигде не обращается в нуль;
• W (X _X , Ψ _X ) никуда не исчезает.

В этом случае Χ _λ пропорционально Φ _λ + m ( λ ) Ψ _λ , где

$$m(\lambda )=-W(\Phi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda })/W(\Psi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda }).$$

Пусть H ₁ — пространство суммируемых с квадратом непрерывных функций на (0, ∞) и пусть H ₀ —

• пространство С ² функции f на (0, ∞) компактного носителя , если D является предельной точкой в ​​точке 0
• пространство С ² функции f на (0, ∞) с W ( f , Φ ₀ ) = 0 в 0 и с f = 0 вблизи ∞, если D - предельная окружность в 0 .

Определим T = G ₀ по формуле

$$(Tf)(x)=\int _{0}^{\infty }G_{0}(x,y)f(y)\,dy.$$

Тогда TD = = I на H ₀ , DT : 0 I на H ₁ оператор D ограничен снизу H _и на

$$(Df,f)\geq (f,f).$$

Таким образом, — самосопряженный ограниченный оператор с 0 ⩽ T ⩽ I. T

Формально Т = D ⁻¹ . Соответствующие операторы G _λ, определенные для λ не в [1, ∞), формально можно отождествить с

$$(D-\lambda )^{-1}=T(I-\lambda T)^{-1}$$

и удовлетворяем G _λ ( D – λ ) знак равно I в H ₀ , ( D – λ ) G _λ знак равно I в H ₁ .

теорема и формула Титчмарша

Теорема. — Для каждого действительного числа λ пусть ρ ( λ ) определяется формулой Титчмарша–Кодайры :

$$\rho (\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\pi }}\int _{\delta }^{\lambda +\delta }\operatorname {Im} m(t+i\varepsilon )\,dt.$$

Тогда ρ ( λ ) — полунепрерывная снизу неубывающая функция от λ , и если

$$(Uf)(\lambda )=\int _{0}^{\infty }f(x)\Phi (x,\lambda )\,dx,$$

тогда U определяет унитарное преобразование L ² (0, ∞) на L ² ( [1,∞) , dρ ) такие, что UDU ⁻¹ соответствует умножению на λ .

Обратное преобразование U ⁻¹ дается

$$(U^{-1}g)(x)=\int _{1}^{\infty }g(\lambda )\Phi (x,\lambda )\,d\rho (\lambda ).$$

Спектр D равен носителю dρ .

Кодайра предоставил упрощенную версию оригинального доказательства Вейля. ( М. Х. Стоун ранее показывал как часть работы Вейля можно упростить с помощью спектральной теоремы фон Неймана.)

Фактически для T = D ⁻¹ при 0 ≤ ≤ I спектральная проекция E ( λ ) T T определяется формулой

$$E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)$$

Это также спектральная проекция D , соответствующая интервалу [1, λ ] .

Для f в H ₁ определим

$$f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).$$

f ( x , λ ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ρ ограниченной вариации; или, что то же самое, как дифференцируемое отображение

$$x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)$$

в банахово пространство E ограниченных линейных функционалов dρ на [ C [ α , β ]] для любого компактного подинтервала [ α , β ] из [1, ∞) .

Функционалы (или меры) d _λ f ( x ) удовлетворяют следующему E -значному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:

$$D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f,$$

с начальными условиями в точке c в (0, ∞)

$$(d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot )=\mu ^{(0)},\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot )=\mu ^{(1)}.$$

Если φ _λ и χ _λ — специальные собственные функции, адаптированные к c , то

$$d_{\lambda }f(x)=\varphi _{\lambda }(x)\mu ^{(0)}+\chi _{\lambda }(x)\mu ^{(1)}.$$

Более того,

$$\mu ^{(k)}=d_{\lambda }(f,\xi _{\lambda }^{(k)}),$$

где

$$\xi _{\lambda }^{(k)}=DE(\lambda )\eta ^{(k)},$$

с

$$\eta _{z}^{(0)}(y)=G_{z}(c,y),\,\,\,\,\eta _{z}^{(1)}(x)=\partial _{x}G_{z}(c,y),\,\,\,\,(z\notin [1,\infty )).$$

(Как следует из обозначений, ξ _λ ⁽⁰⁾ и ξ _λ ⁽¹⁾ не зависят от выбора z .)

Параметр

$$\sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{\lambda }^{(i)},\xi _{\lambda }^{(j)}),$$

отсюда следует, что

$$d_{\lambda }(E(\lambda )\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})=|\lambda -z|^{-2}\cdot d_{\lambda }\sigma _{ij}(\lambda ).$$

С другой стороны, существуют голоморфные функции a ( λ ) , b ( λ ) такие, что

• φ _λ + a ( λ ) χ _λ пропорциональна Φ _λ ?
• φ _λ + b ( λ ) χ _λ пропорционально χ _λ .

Поскольку W ( φ _λ , χ _λ ) = 1 , функция Грина задается формулой

$$G_{\lambda }(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {(\varphi _{\lambda }(x)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(y))}{b(\lambda )-a(\lambda )}}&(x\leq y),\\[1ex]{\dfrac {(\varphi _{\lambda }(x)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(y))}{b(\lambda )-a(\lambda )}}&(y\leq x).\end{cases}}$$

Прямой расчет показывает, что

$$(\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})=\operatorname {Im} M_{ij}(z)/\operatorname {Im} z,$$

где так называемая характеристическая матрица M _ij ( z ) определяется выражением

$$M_{00}(z)={\frac {a(z)b(z)}{a(z)-b(z)}},\,\,M_{01}(z)=M_{10}(z)={\frac {a(z)+b(z)}{2(a(z)-b(z))}},\,\,M_{11}(z)={\frac {1}{a(z)-b(z)}}.$$

Следовательно

$$\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {Im} z)\cdot |\lambda -z|^{-2}\,d\sigma _{ij}(\lambda )=\operatorname {Im} M_{ij}(z),$$

что сразу подразумевает

$$\sigma _{ij}(\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{\delta }^{\lambda +\delta }\operatorname {Im} M_{ij}(t+i\varepsilon )\,dt.$$

(Это частный случай «формулы обращения Стилтьеса» .)

Установка ψ _λ ⁽⁰⁾ = φ _λ и ψ _λ ⁽¹⁾ = χ _λ , отсюда следует, что

$$(E(\mu )f)(x)=\sum _{i.j}\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\psi _{\lambda }^{(i)}(x)\psi _{\lambda }^{(j)}(y)f(y)\,dy\,d\sigma _{ij}(\lambda )=\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\Phi _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)f(y)\,dy\,d\rho (\lambda ).$$

Это тождество эквивалентно спектральной теореме и формуле Титчмарша–Кодайры.

Приложение к гипергеометрическому уравнению

См. Также: уравнение Лежандра и гипергеометрическое уравнение.

Фока Преобразование Мелера – касается разложения по собственным функциям, связанного с дифференциальным оператором Лежандра D

$$Df=-((x^{2}-1)f')'=-(x^{2}-1)f''-2xf'$$

на (1, ∞) . Собственные функции — это функции Лежандра.

$$P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(\cosh r)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({\sin \theta +ie^{-r}\cos \theta \over \cos \theta -ie^{-r}\sin \theta }\right)^{{1 \over 2}+i{\sqrt {\lambda }}}\,d\theta$$

с собственным значением λ ≥ 0 . Два преобразования Мелера – Фока:

$$Uf(\lambda )=\int _{1}^{\infty }f(x)\,P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(x)\,dx$$

и

$$U^{-1}g(x)=\int _{0}^{\infty }g(\lambda )\,{1 \over 2}\tanh \pi {\sqrt {\lambda }}\,d\lambda .$$

(Часто это записывают через переменную τ = √ λ .)

Мелер и Фок изучали этот дифференциальный оператор, потому что он возник как радиальная компонента лапласиана в двумерном гиперболическом пространстве. В более общем смысле, рассмотрим группу G = SU(1,1), состоящую из комплексных матриц вида

$${\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}$$

с определителем | α | ² − | б | ² = 1 .

Приложение к атому водорода

Смотрите также: Атом водорода

и

Функция Вейля может быть определена в особой конечной точке, что приводит к возникновению сингулярной версии теории Вейля – Титчмарша – Кодайры. это относится, например, к случаю радиальных операторов Шрёдингера

$$Df=-f''+{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}f+V(x)f,\qquad x\in (0,\infty )$$

Всю теорию можно распространить и на случай, когда коэффициентам разрешено быть мерами.

Теория Гельфанда–Левитана

Смотрите также: Теория обратной задачи рассеяния.

Ссылки

Библиография

• Ахиезер, Наум Ильич ; Глазман, Израиль Маркович (1993), Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве , Дувр, ISBN  978-0-486-67748-4
• Беллман, Ричард (1969), Теория устойчивости дифференциальных уравнений , Дувр, ISBN  978-0-486-62210-1
• Беркилл, Дж. К. (1951), Интеграл Лебега , Кембриджские трактаты по математике и математической физике, том. 40, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-04382-3
• Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955), Теория обыкновенных дифференциальных уравнений , McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-011542-2
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989), Метод математической физики, Vol. Я , Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-50447-4
• Дьедонне, Жан (1969), Трактат об анализе, Vol. Я [Основы современного анализа] , Academic Press, ISBN  978-1-4067-2791-3
• Дьедонне, Жан (1988), Трактат об анализе, Vol. VIII , Академическое издательство, ISBN  978-0-12-215507-9
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1963), Линейные операторы, Часть II. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве , Wiley Interscience, ISBN  978-0-471-60847-9
• Фок В. А. (1943), "О представлении произвольной функции интегралом, включающим функции Лежандра с комплексным индексом", Ч. Р. акад. наук. УРСС , 39
• Хилле, Эйнар (1969), Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-53083-4
• Кодайра, Кунихико (1949), «Проблема собственных значений для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и теория S-матриц Гейзенберга», American Journal of Mathematics , 71 (4): 921–945, doi : 10.2307/2372377 , JSTOR   2372377
• Кодайра, Кунихико (1950), «Об обыкновенных дифференциальных уравнениях любого четного порядка и соответствующих разложениях по собственным функциям», American Journal of Mathematics , 72 (3): 502–544, doi : 10.2307/2372051 , JSTOR   2372051
• Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1975). Introductory Real Analysis . Dover. ISBN  978-0-486-61226-3 .
• Костенко, Алексей; Сахнович, Александр; Тешл, Джеральд (2012), «Теория Вейля – Титчмарша для операторов Шредингера с сильно сингулярными потенциалами», Int Math Res Notifications , 2012 , arXiv : 1007.0136 , doi : 10.1093/imrn/rnr065
• Лебедев Н.Н. (1972), Специальные функции и их приложения , Дувр, ISBN.  978-0-486-60624-8
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Ван Ностранд
• Мелер, Ф.Г. (1881), «О функциях, связанных со сферическими и цилиндрическими функциями, и их применении в теории распределения электричества» , Mathematical Annals , 18 (2): 161–194, doi : 10.1007/BF01445847 , S2CID   122590188
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики II, Анализ Фурье, самосопряженность , Academic Press, ISBN  978-0-12-585002-5
• Рисс, Фредерик; Секефальви-Надь, Бела (1990). Функциональный анализ . Дуврские публикации. ISBN  0-486-66289-6 .
• Стоун, Маршалл Харви (1932), Линейные преобразования в гильбертовом пространстве и их приложения к анализу , Публикации коллоквиума AMS, том. 16, ISBN  978-0-8218-1015-6
• Террас, Одри (1984), «Неевклидов гармонический анализ, центральная предельная теорема и длинные линии передачи со случайными неоднородностями», J. Multivariate Anal. , 15 (2), дои : 10.1016/0047-259X(84)90031-9
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Аспирантура AMS по математике. Том. 99. ИСБН  978-0-8218-4660-5 .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура AMS по математике. Том. 140. ИСБН  978-0-8218-8328-0 .
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1939), Теория функций , Oxford University Press
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1946), Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, Vol. I (1-е изд.), Oxford University Press
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1962), Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, Vol. Я (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN  978-0-608-08254-7
• Экхардт, Джонатан; Тешль, Джеральд (2013), «Операторы Штурма – Лиувилля с мерозначными коэффициентами», Journal d'Analyse Mathématique , 120 , arXiv : 1105.3755 , doi : 10.1007/s11854-013-0018-x
• Виленкин, Наум Яковлевич (1968). Специальные функции и теория представлений групп . Переводы математических монографий. Том. 22. Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-1572-4 .
• Вайдманн, Иоахим (1987). Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов . Конспект лекций по математике. Том. 1258. Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-17902-5 .
• Вейль, Герман (1910а), «Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с особенностями и связанных с ними развитиях произвольных функций» , Mathematical Annals , 68 (2): 220–269, doi : 10.1007/BF01474161 , S2CID   119727984
• Вейль, Герман (1910б), «Об обыкновенных дифференциальных уравнениях с сингулярными положениями и их собственных функциях», Nachr. Геттинген. Матем.-Физ. : 442-446
• Вейль, Герман (1935), «О проблеме интерполяции Пика-Неванлинны и ее бесконечно малом аналоге», Annals of Mathematics , 36 (1): 230–254, doi : 10.2307/1968677 , JSTOR   1968677