СЛ ₂ ( р )

В математике специальная линейная группа SL(2, R) или SL ₂ (R) — это группа размера 2 × 2 вещественных матриц с определителем один:

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ and }}ad-bc=1\right\}.

Это связная некомпактная простая вещественная группа Ли размерности 3, имеющая приложения в геометрии , топологии , теории представлений и физике .

SL(2, R ) действует на комплексную верхнюю полуплоскость дробно -линейными преобразованиями . Действие группы факторизуется через фактор PSL(2, R) 2 × 2 ( проективная специальная линейная группа над R ). Более конкретно,

PSL(2, R ) = SL(2, R ) / {± I },

где I 2 × 2 обозначает единичную матрицу . Он содержит модульную группу PSL(2, Z ).

Также тесно связана 2-кратная накрывающая группа Mp(2, R ), метаплектическая группа (думая о SL(2, R ) как о симплектической группе ).

Другая родственная группа — SL. ^±(2, R ) – группа вещественных матриц размера 2 × 2 с определителем ±1; Однако это чаще используется в контексте модульной группы .

Описания

(2, R ) — группа всех линейных преобразований R SL ² которые сохраняют ориентированную область . Она изоморфна симплектической группе Sp(2, R ) и специальной унитарной группе SU(1, 1) . Он также изоморфен группе кокватернионов единичной длины . Группа СЛ ^±(2, R ) сохраняет неориентированную область: она может изменить ориентацию.

Фактор PSL(2, R ) имеет несколько интересных описаний, вплоть до изоморфизма группы Ли:

Это группа ориентацию сохраняющих проективных преобразований вещественной проективной прямой R ∪ {∞}.
Это группа конформных автоморфизмов единичного круга .
Это группа ориентацию сохраняющих изометрий гиперболической плоскости .
Это ограниченная группа Лоренца трехмерного пространства Минковского . Эквивалентно, он изоморфен неопределенной ортогональной группе SO ⁺(1,2). Отсюда следует, что SL(2, R ) изоморфна спиновой группе Spin(2,1) ⁺.

Элементы модулярной группы PSL(2, Z ) имеют дополнительные интерпретации, как и элементы группы SL(2, Z ) (как линейные преобразования тора), и эти интерпретации также можно рассматривать в свете общей теории СЛ(2, Р ).

Гомографии

Элементы PSL(2, R ) являются гомографиями на вещественной проективной прямой R ∪ {∞} :

[x,1]\mapsto [x,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+b,\ cx+d]\ =\,\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},\ 1\right].

Эти проективные преобразования образуют подгруппу PSL(2, C ), которая действует на сфере Римана Мёбиуса преобразованиями .

Когда действительная линия считается границей гиперболической плоскости , PSL(2, R ) выражает гиперболические движения .

Преобразования Мёбиуса

Элементы PSL(2, R ) действуют на комплексной плоскости преобразованиями Мёбиуса:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;{\mbox{ (where }}a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{)}}.

Это именно набор преобразований Мёбиуса, сохраняющих верхнюю полуплоскость . Отсюда следует, что PSL(2, R ) — группа конформных автоморфизмов верхней полуплоскости. По теореме Римана об отображении он также изоморфен группе конформных автоморфизмов единичного круга.

Эти преобразования Мёбиуса действуют как изометрии модели верхней полуплоскости гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями модели диска Пуанкаре .

Приведенную выше формулу можно также использовать для определения преобразований Мёбиуса двойственных и двойных (так называемых разделенных комплексов) чисел . Соответствующие геометрии находятся в нетривиальных соотношениях ^[1] к геометрии Лобачевского .

Присоединенное представление

Группа SL(2, R ) действует на своей алгебре Ли sl(2, R ) путем сопряжения (помните, что элементы алгебры Ли также являются матрицами размера 2 × 2), давая точное трехмерное линейное представление PSL(2, R ) ). Альтернативно это можно описать как действие PSL(2, R ) на пространство квадратичных форм на R ². В результате получается следующее представление:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{bmatrix}}.

Форма Киллинга на sl(2, R ) имеет сигнатуру (2,1) и индуцирует изоморфизм между PSL(2, R ) и группой Лоренца SO. ⁺(2,1). Это действие PSL(2, R ) на пространстве Минковского ограничивается изометрическим действием PSL(2, R ) на гиперболоидной модели гиперболической плоскости.

Классификация элементов

Собственные значения элемента A ∈ SL(2, R ) удовлетворяют характеристическому многочлену

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

и поэтому

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.

Это приводит к следующей классификации элементов с соответствующим действием на евклидовой плоскости:

Если $|\mathrm {tr} (A)|<2$ , то A называется эллиптическим и сопряжено вращению .
Если $|\mathrm {tr} (A)|=2$ , то A называется параболическим и является сдвиговым отображением .
Если $|\mathrm {tr} (A)|>2$ , то A называется гиперболическим и является отображением сжатия .

Названия соответствуют классификации конических сечений по эксцентриситету : если определить эксцентриситет как половину абсолютной величины следа (ε = ⁠ 1 / 2 ⁠ |tr|; деление на 2 корректирует эффект размерности, тогда как абсолютное значение соответствует игнорированию общего коэффициента ±1, например, при работе в PSL(2, R )), тогда это дает: $\epsilon <1$ , эллиптический; $\epsilon =1$ , параболический; $\epsilon >1$ , гиперболический.

Единичный элемент 1 и отрицательный единичный элемент -1 (в PSL(2, R ) они одинаковы) имеют след ±2 и, следовательно, согласно этой классификации являются параболическими элементами, хотя их часто рассматривают отдельно.

Та же классификация используется для SL(2, C ) и PSL(2, C ) ( преобразования Мёбиуса ) и PSL(2, R ) (действительные преобразования Мёбиуса), с добавлением «локсодромных» преобразований, соответствующих комплексным следам; аналогичные классификации используются и в других местах.

Подгруппа, содержащая эллиптические (соответственно параболические, гиперболические) элементы плюс единицу и отрицательную единицу, называется эллиптической подгруппой (соответственно параболическая подгруппа , гиперболическая подгруппа ).

Трихотомия SL(2, R ) на эллиптические, параболические и гиперболические элементы представляет собой классификацию на подмножества, а не на подгруппы: эти множества не замкнуты при умножении (произведение двух параболических элементов не обязательно должно быть параболическим и т. д.). Однако каждый элемент сопряжен с членом одной из трех стандартных однопараметрических подгрупп (возможно, раз ±1), как подробно описано ниже.

Топологически, поскольку трассировка является непрерывным отображением, эллиптические элементы (исключая ±1) образуют открытое множество , как и гиперболические элементы (исключая ±1). Напротив, параболические элементы вместе с ±1 образуют замкнутое множество , которое не является открытым.

Эллиптические элементы

Собственные значения эллиптического элемента являются комплексными и являются сопряженными значениями на единичной окружности . Такой элемент сопряжен с вращением евклидовой плоскости - их можно интерпретировать как вращения в возможно неортогональном базисе - а соответствующий элемент PSL(2, R ) действует как (сопряженный) вращение гиперболической плоскости. и пространства Минковского .

Эллиптические элементы модулярной группы должны иметь собственные значения {ω, ω ⁻¹}, где ω — примитивный корень 3-й, 4-й или 6-й степени из единицы . Это все элементы модулярной группы конечного порядка , и они действуют на торе как периодические диффеоморфизмы.

Элементы трассы 0 можно назвать «круговыми элементами» (по аналогии с эксцентриситетом), но это делается редко; они соответствуют элементам с собственными значениями ± i , сопряжены с вращением на 90 ° и квадратичны с - I : они являются нетождественными инволюциями в PSL(2).

Эллиптические элементы сопряжены в подгруппу вращений евклидовой плоскости — специальную ортогональную группу SO(2); угол поворота равен arccos половины трассы, причем знак поворота определяется ориентацией. (Вращение и обратное ему сопряжены в GL(2), но не в SL(2).)

Параболические элементы

Параболический элемент имеет только одно собственное значение: 1 или -1. Такой элемент действует как сдвиговое отображение на евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2, R ) действует как предельное вращение гиперболической плоскости и как нулевое вращение пространства Минковского .

Параболические элементы модульной группы действуют как скручивания Дена тора.

Параболические элементы сопряжены в двухкомпонентную группу стандартных сдвигов × ± I : $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}$ . Фактически все они сопряжены (в SL(2)) одной из четырёх матриц $\left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)$ , $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ (в GL(2) или SL ^±(2) знак ± можно опустить, но в SL(2) нельзя).

Гиперболические элементы

Собственные значения гиперболического элемента действительны и обратны. Такой элемент действует как отображение сжатия евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2, R ) действует как сдвиг гиперболической плоскости и как усиление Лоренца в пространстве Минковского .

Гиперболические элементы модулярной группы действуют как диффеоморфизмы Аносова тора.

Гиперболические элементы сопряжены в двухкомпонентную группу стандартных сжатий × ± I : $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}$ ; гиперболический угол гиперболического поворота задается дугой половины следа, но знак может быть положительным или отрицательным: в отличие от эллиптического случая сжатие и обратное ему сопряжены в SL₂ (поворотом по осям; для стандартных осей — поворот на 90°).

Классы сопряженности

По жордановой нормальной форме матрицы классифицируются с точностью до сопряженности (в GL( n , C )) по собственным значениям и нильпотентности (конкретно, нильпотентность означает, что 1 встречаются в жордановых блоках). Таким образом, элементы SL(2) классифицируются с точностью до сопряженности в GL(2) (или даже SL ^±(2)) по следу (поскольку определитель фиксирован, а след и определитель определяют собственные значения), за исключением случаев, когда собственные значения равны, поэтому ±I и параболические элементы трассы +2 и трассы -2 не сопряжены (первые не имеют недиагональные записи в жордановой форме, в то время как последние так и делают).

Вплоть до сопряжения в SL(2) (вместо GL(2)) существует дополнительная база данных, соответствующая ориентации: вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки (эллиптическое) не являются сопряженными, а также не являются положительным и отрицательным сдвигом, как подробно описано выше. ; таким образом, для абсолютного значения следа менее 2 для каждого следа существует два класса сопряжения (вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки), для абсолютного значения следа, равного 2, для каждого следа существует три класса сопряжения (положительный сдвиг, тождество, отрицательный сдвиг). ), а при абсолютном значении следа больше 2 существует один класс сопряженности для данного следа.

Разложение Ивасавы или KAN

Разложение Ивасавы группы метод построения группы как произведения трех подгрупп Ли K , A , N. — это Для ${\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )$ эти три подгруппы

\mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),

\mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},

\mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.

Эти три элемента являются генераторами эллиптического, гиперболического и параболического подмножеств соответственно.

Топология и универсальное покрытие

Как топологическое пространство PSL(2, R ) можно описать как единичное касательное расслоение гиперболической плоскости. Это расслоение окружностей и имеет естественную контактную структуру, индуцированную симплектической структурой на гиперболической плоскости. SL(2, R ) является двукратным накрытием PSL(2, R ), и его можно рассматривать как расслоение спиноров на гиперболической плоскости.

Фундаментальной группой SL(2, R ) является бесконечная группа Z. циклическая Универсальная накрывающая группа , обозначаемая ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ , является примером конечномерной группы Ли, которая не является матричной группой . То есть, ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ не допускает точного конечномерного представления .

Будучи топологическим пространством, ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ представляет собой линейное расслоение над гиперболической плоскостью. Будучи наполненным левоинвариантной метрикой , 3-многообразие ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ становится одной из восьми геометрий Терстона . Например, ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ — универсальное накрытие единичного касательного расслоения к любой гиперболической поверхности . Любое многообразие, созданное по образцу ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ориентируемо и представляет собой расслоение окружностей над некоторым двумерным гиперболическим орбифолдом ( расслоением Зейферта ).

Группа кос B3 _. является универсальным центральным модулярной группы расширением

При этом накрытии прообразом модулярной группы PSL(2, Z ) является группа кос с тремя образующими B ₃ , которая является универсальным центральным расширением модулярной группы. Это решетки внутри соответствующих алгебраических групп, что алгебраически соответствует универсальной накрывающей группе в топологии.

Двойную накрывающую группу можно идентифицировать как Mp(2, R ), метаплектическую группу , рассматривая SL(2, R ) как симплектическую группу Sp(2, R ).

Вышеупомянутые группы вместе образуют последовательность:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

Однако существуют другие накрывающие группы PSL(2, R ), соответствующие всем n , например n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2, R )), которые образуют решетку накрывающих групп по делимости; они покрывают SL(2, R ) тогда и только тогда, когда n четно.

Алгебраическая структура

Центром R SL(2, ) является двухэлементная группа {±1}, а фактор PSL(2, R ) прост .

Дискретные подгруппы PSL(2, R ) называются фуксовыми группами . Это гиперболический аналог евклидовых групп обоев и групп Фриза . Наиболее известной из них является модулярная группа PSL(2, Z ), которая действует на мозаике гиперболической плоскости идеальными треугольниками.

Группа окружностей SO(2) — максимальная компактная подгруппа группы SL(2, R ), а окружность SO(2)/{±1} — максимальная компактная подгруппа группы PSL(2, R ).

Мультипликатор Шура дискретной группы PSL(2, R ) намного больше, чем Z , а универсальное центральное расширение намного больше, чем универсальная накрывающая группа. Однако эти большие центральные расширения не учитывают топологию и являются несколько патологическими.

Теория представлений

SL(2, R ) — действительная, некомпактная простая группа Ли и является расщепленной вещественной формой комплексной группы Ли SL(2, C ). Алгебра Ли SL(2, R ), обозначаемая sl(2, R ), является алгеброй всех вещественных бесследовых матриц размера 2 × 2. Это алгебра Бьянки типа VIII.

Конечномерная теория представлений SL(2, R ) эквивалентна теории представлений SU(2) , которая является компактной вещественной формой SL(2, C ). В частности, SL(2, R ) не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Это свойство каждой связной простой некомпактной группы Ли. Схема доказательства см. в разделе «Неунитарность представлений» .

Бесконечномерная теория представлений SL(2, R ) весьма интересна. В группе имеется несколько семейств унитарных представлений, детально разработанных Гельфандом и Наймарком (1946), В. Баргманном (1947) и Хариш-Чандрой (1952).

См. также

Ссылки

^ Кисиль, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптические, параболические и гиперболические действия SL(2,R) . Лондон: Издательство Имперского колледжа. п. xiv+192. дои : 10.1142/p835 . ISBN 978-1-84816-858-9 . МР 2977041 .

Баргманн, Валентин (1947). «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца». Анналы математики . 48 (3): 568–640. дои : 10.2307/1969129 . JSTOR 1969129 . МР 0021942 .
Гельфанд Израиль Моисеевич; Ноймарк, Марк Аронович (1946). «Унитарные представления группы Лоренца». акад. наук. СССР. Дж. Физ . 10 : 93–94. МР 0017282 .
Хариш-Чандра (1952). «Формула Планшереля для вещественной унимодулярной группы 2 × 2» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 38 (4): 337–342. Бибкод : 1952PNAS...38..337H . дои : 10.1073/pnas.38.4.337 . МР 0047055 . ПМК 1063558 . ПМИД 16589101 .
Ланг, Серж (1985). $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$ . Тексты для аспирантов по математике. Том. 105. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . ISBN 0-387-96198-4 . МР 0803508 .
Терстон, Уильям (1997). Сильвио Леви (ред.). Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Принстонская математическая серия. Том. 35. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08304-5 . МР 1435975 .

[raw-1] Кисиль, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптические, параболические и гиперболические действия SL(2,R) . Лондон: Издательство Имперского колледжа. п. xiv+192. дои : 10.1142/p835 . ISBN 978-1-84816-858-9 . МР 2977041 .

[1]