Мультипликативная группа

В математике и теории групп термин мультипликативная группа относится к одному из следующих понятий:

• группа ​ при умножении обратимых поля , элементов кольцо или другая структура, для которой одна из ее операций называется умножением. В случае поля F группа имеет вид ( F ∖ {0}, •) , где 0 относится к нулевому элементу F , а бинарная операция поля • является умножением ,
• алгебраический тор GL(1). .

Примеры

• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n — это группа при умножении обратимых элементов $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$. Когда n не является простым, существуют элементы, отличные от нуля, которые не являются обратимыми.
• Мультипликативная группа положительных действительных чисел $\mathbb {R} ^{+}$является абелевой группой, которой равен 1 единичный элемент . Логарифм является групповым изоморфизмом этой группы аддитивной группе действительных чисел, $\mathbb {R}$.
• Мультипликативная группа поля $F$ представляет собой набор всех ненулевых элементов: $F^{\times }=F-\{0\}$, при операции умножения. Если $F$ конечно , порядка q (например, q = p — простое число, а $F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$), то мультипликативная группа циклическая: $F^{\times }\cong C_{q-1}$.

Групповая схема корней единства

Групповая схема корней n -й степени из единицы является по определению ядром n -степенного отображения на мультипликативной группе GL(1), рассматриваемой как групповая схема . То есть для любого целого числа n > 1 мы можем рассмотреть морфизм мультипликативной группы, который принимает n -ные степени, и взять подходящее расслоенное произведение схем с морфизмом e , который служит тождеством.

Полученная групповая схема записывается µ _n (или $\mu \!\!\mu _{n}$). Это приводит к сокращенной схеме полем K когда тогда и только тогда, K характеристика не , когда мы рассматриваем ее над делит n . Это делает его источником некоторых ключевых примеров нередуцированных схем (схем с нильпотентными элементами в пучках структур ); например, µ _p над конечным полем с p элементами для любого простого числа p .

Это явление нелегко выразить на классическом языке алгебраической геометрии. Например, оно оказывается важным при выражении теории двойственности абелевых многообразий в характеристике р (теория Пьера Картье ). Когомологии Галуа этой групповой схемы — способ выражения теории Куммера .

См. также

• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
• Группа присадок

Ссылки

• Михил Хазевинкель , Надежда Губарени, Надежда Михайловна Губарени, Владимир Владимирович Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Том 1. 2004. Спрингер, 2004. ISBN   1-4020-2690-0