Е 6 (математика)

В математике . E6 _{алгебраических} — это название некоторых тесно связанных групп Ли , линейных групп или их алгебр Ли ${\mathfrak {e}}_{6}$, все из которых имеют размерность 78; то же обозначение E ₆ используется для соответствующей корневой решетки , имеющей ранг 6. Обозначение E ₆ происходит из классификации Картана–Киллинга комплексных простых алгебр Ли (см. Эли Картана § Work ). на четыре бесконечные серии, обозначенные An _Bn , _Cn , _Dn , _и пять случаев обозначенных _E6 , E7 _и , E8 _, , F4 _, исключительных G2 _{Это классифицирует алгебры Ли} . алгебра E6 _{Таким образом ,} является одним из пяти исключительных случаев.

Фундаментальная группа комплексной формы, компактной вещественной формы или любой алгебраической версии E6 _это циклическая группа Z /3 Z , а ее внешняя группа автоморфизмов — циклическая группа Z /2 Z. — Его фундаментальное представление 27-мерное (комплексное), а основу составляют 27 линий на кубической поверхности . Двойственное представление , которое неэквивалентно, также 27-мерно.

В физике элементарных частиц E6 _. играет роль в некоторых теориях Великого объединения

Реальные и сложные формы

Существует единственная комплексная алгебра Ли типа E ₆ , соответствующая комплексной группе комплексной размерности 78. Комплексную присоединенную группу Ли E ₆ комплексной размерности 78 можно рассматривать как простую вещественную группу Ли вещественной размерности 156. Это имеет фундаментальное значение. группа Z /3 Z , имеет максимальную компактную подгруппу, компактную форму (см. ниже) группы E ₆ , и имеет нециклическую группу внешних автоморфизмов порядка 4, порожденную комплексным сопряжением и внешним автоморфизмом, который уже существует как комплексный автоморфизм.

Помимо комплексной группы Ли типа E6 _, существует пять вещественных форм алгебры Ли и, соответственно, пять вещественных форм группы с тривиальным центром (все из которых имеют алгебраическое двойное накрытие, а три из них имеют дополнительные не -алгебраические накрытия, придающие дальнейшие вещественные формы), все вещественной размерности 78, а именно:

• Компактная форма (которая обычно подразумевается, если не указана другая информация), имеющая фундаментальную группу / 3 Z и внешнюю группу автоморфизмов Z /2 Z. Z
• Расщепляемая форма EI (или E ₆₍₆₎ ), имеющая максимальную компактную подгруппу Sp(4)/(±1), фундаментальную группу порядка 2 и внешнюю группу автоморфизмов порядка 2.
• Квазирасщепляемая форма EII (или E ₆₍₂₎ ), имеющая максимальную компактную подгруппу SU(2) × SU(6)/(центр), циклическую фундаментальную группу порядка 6 и внешнюю группу автоморфизмов порядка 2.
• EIII (или E6 _(-14) ), который имеет максимальную компактную подгруппу SO(2) × Spin(10)/(центр), фундаментальную группу Z и тривиальную внешнюю группу автоморфизмов.
• EIV (или E6 _(-26) ), которая имеет максимальную компактную подгруппу F4 _, тривиальную фундаментальную циклическую группу и внешнюю группу автоморфизмов порядка 2.

Форма EIV E ₆ представляет собой группу коллинеаций (преобразований, сохраняющих линию) октонионной проективной плоскости OP. ² . Это также группа сохраняющих детерминант линейных преобразований исключительной йордановой алгебры . Исключительная йордановая алгебра 27-мерна, что объясняет, почему компактная вещественная форма E6 _имеет 27-мерное комплексное представление. Компактная вещественная форма E6 _{представляет} собой группу изометрий 32-мерного риманова многообразия, известного как «биоктонионная проективная плоскость»; подобные конструкции для E7 _и E8 _{известны} как проективные плоскости Розенфельда и являются частью магического квадрата Фрейденталя .

E ₆ группа

С помощью базиса Шевалле для алгебры Ли можно определить Е6 _как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемое расщепление (иногда также известное как как «раскрученная») присоединенная форма E ₆ . Над алгебраически замкнутым полем это и его тройное накрытие являются единственными формами; однако над другими полями часто существует множество других форм или «поворотов» E6 _, которые классифицируются в общей структуре когомологий Галуа (над совершенным полем k ) множеством H ¹ ( k , Aut(E ₆ )), который, поскольку диаграмма Дынкина E ₆ (см. ниже ) имеет группу автоморфизмов Z /2 Z , отображается в H ¹ ( k , Z /2 Z ) = Hom (Gal( k ), Z /2 Z ) с ядром H ¹ ( к , Е _6,ад ).

В поле действительных чисел вещественная составляющая идентичности этих алгебраически скрученных форм E ₆ совпадает с тремя упомянутыми выше вещественными группами Ли , но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все присоединенные формы E ₆ имеют фундаментальную группу Z. /3 Z в смысле алгебраической геометрии с действием Галуа как на третьих корнях из единицы; это означает, что они допускают ровно одно тройное накрытие (которое может быть тривиальным на вещественных точках); поэтому дальнейшие некомпактные вещественные формы группы Ли группы Ли E6 _не являются алгебраическими и не допускают точных конечномерных представлений. Компактная вещественная форма E6 _, а также некомпактные формы EI=E6 ₍₆₎ и EIV=E6 _(-26) называются внутренними или типа ¹ E ₆ означает, что их класс лежит в H ¹ ( k , E _6,ad ) или что комплексное сопряжение индуцирует тривиальный автоморфизм на диаграмме Дынкина, тогда как две другие вещественные формы называются внешними или типа ² Е6 _.

Над конечными полями из теоремы Ланга–Стейнберга следует, что H ¹ ( k , E ₆ ) = 0, что означает, что E ₆ имеет ровно одну скрученную форму, известную как ² E6 _. : см ниже .

алгебры

Подобно тому, как алгебраическая группа G ₂ является группой автоморфизмов октонионов , а алгебраическая группа F ₄ является группой автоморфизмов алгебры Альберта , исключительной йордановой алгебры , алгебраическая группа E ₆ является группой линейных автоморфизмов алгебры Альберта. сохраняющие определенную кубическую форму, называемую «определителем».

Алгебра

Диаграмма Дынкина

Диаграмма Дынкина для E ₆ имеет вид , который также можно нарисовать как .

Корни E ₆

72 вершины многогранника 1 ₂₂ представляют собой корневые векторы E ₆ , как показано в этой проекции на плоскость Кокстера . Оранжевые вершины в этой проекции удваиваются.
Диаграмма Кокстера – Дынкина :

Хотя они охватывают шестимерное пространство, гораздо симметричнее рассматривать их как векторы в шестимерном подпространстве девятимерного пространства. Тогда можно взять корни, чтобы быть

(1,−1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,1,0;0,0,0;0,0,0),

(−1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,−1;0,0,0;0,0,0),

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0), (0,−1,1;0,0,0;0,0,0),

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,1,0;0,0,0),

(0,0,0;−1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,−1;0,0,0),

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0), (0,0,0;0,−1,1;0,0,0),

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,1,0),

(0,0,0;0,0,0;−1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,−1),

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1), (0,0,0;0,0,0;0,−1,1),

плюс все 27 комбинаций $(\mathbf {3} ;\mathbf {3} ;\mathbf {3} )$ где $\mathbf {3}$ является одним из $\left({\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {1}{3}}\right),\ \left(-{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),$плюс все 27 комбинаций $({\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }};{\bar {\mathbf {3} }})$ где ${\bar {\mathbf {3} }}$ является одним из $\left(-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right),\ \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}}\right).$

Простые корни

Один из возможных вариантов выбора простых корней E ₆ :

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)

$\left({\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}};-{\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)$

График E ₆ как подгруппы E _8, спроецированный на плоскость Кокстера.

Диаграмма Хассе E ₆ корневого частичного набора с метками ребер, обозначающими добавленное простое положение корня

Е ₆ корней Е ₈

E ₆ является подмножеством E ₈ , где согласованный набор из трех координат равен (например, первая или последняя). Это облегчает четкое определение E ₇ и E ₆ как:

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z + 1 / 2 ) ⁷ : Сай я _​ ² + 1 _​ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z + 1 / 2 ) ⁶ : Сай я _​ ² + 2 а ₁ ² знак равно 2, Σ α _я + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

Следующие 72 _{корня E6} получаются таким образом из расщепленных вещественных четных _E8 корней . Обратите внимание, что последние три размера совпадают с требуемыми:

Альтернативное описание

Альтернативное (6-мерное) описание корневой системы, которое полезно при рассмотрении E6 _× (3) как подгруппы E8 _SU , выглядит следующим образом:

Все $4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ перестановки

$(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0)$ сохранение нуля в последней записи,

и все следующие корни с нечетным количеством знаков плюс

$\left(\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {1 \over 2},\pm {{\sqrt {3}} \over 2}\right).$

Таким образом, 78 образующих состоят из следующих подалгебр:

45-мерная подалгебра SO (10), включая приведенную выше. $4\times {\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ генераторы плюс пять генераторов Картана, соответствующие первым пяти записям.

Две 16-мерные подалгебры, преобразующиеся как Вейля спинор $\operatorname {spin} (10)$ и его комплексно-сопряженный. Они имеют ненулевую последнюю запись.

1, который является их генератором киральности, и шестым генератором Картана .

Один из простых корней для E ₆ задается строками следующей матрицы, пронумерованными в порядке :

$\left[{\begin{smallmatrix}1&-1&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\0&0&0&1&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$

Группа Вейля

Группа Вейля E ₆ имеет порядок 51840: это группа автоморфизмов единственной простой группы порядка 25920 (которую можно описать как любую из: PSU ₄ (2), PSΩ ₆ ⁻ (2), PSp ₄ (3) или PS ₅ (3)).

Матрица Картана

$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]$

и

Вложения максимальных подгрупп E ₆ до размерности 78 с соответствующей матрицей проекции.

Алгебра Ли E6 _имеет подалгебру F4 _, которая является фиксированной подалгеброй внешнего автоморфизма, и подалгебру SU(3)×SU(3)×SU(3). Другими максимальными подалгебрами, которые имеют важное значение в физике (см. ниже) и которые можно прочитать по диаграмме Дынкина, являются алгебры SO(10) × U(1) и SU(6) × SU(2).

Помимо 78-мерного присоединенного представления, существуют два двойственных 27-мерных «векторных» представления .

Все характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характеров Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121737 в OEIS ):

1 , 27 (дважды), 78 , 351 (четыре раза), 650 , 1728 (дважды), 2430 , 2925 , 3003 (дважды) , 5824 (дважды) , 7371 (дважды), 7722 (дважды), 17550 (дважды) , 19305 (четыре раза), 34398 (дважды), 34749 , 43758 , 46332 (дважды), 51975 (дважды), 54054 (дважды), 61425 (дважды), 70070 , 78975 (дважды) , 85293 , 100386 (дважды). лед), 105600 , 112320 (дважды), 146432 (дважды) , 252252 (дважды) , 314496 (дважды), 359424 (четыре раза), 371800 (дважды) , 386100 (дважды), 393822 (дважды), 412776 (дважды), 442442 ( дважды) ...

Подчеркнутые члены в приведенной выше последовательности — это размерности тех неприводимых представлений, которыми обладает присоединенная форма E ₆ (т. е. те, чьи веса принадлежат корневой решетке E ₆ ), тогда как полная последовательность дает размерности неприводимых представлений E 6 . односвязная форма E ₆ .

Симметрия диаграммы Дынкина пространства E6 _{объясняет} , почему многие измерения встречаются дважды, причем соответствующие представления связаны нетривиальным внешним автоморфизмом; однако иногда существует даже больше представлений, чем это, например, четыре измерения 351, два из которых являются фундаментальными, а два — нет.

Фундаментальные представления имеют размерности 27, 351, 2925, 351, 27 и 78 (что соответствует шести узлам на диаграмме Дынкина в порядке, выбранном для матрицы Картана выше, т. е. сначала узлы считываются в цепочке из пяти узлов, при этом последний узел соединен со средним).

вложения максимальных подгрупп группы E6 _до Справа показаны размерности 78.

Многогранник E6

Многогранник E6 _{представляет} собой выпуклую оболочку корней многогранника _E6 . Следовательно, он существует в шести измерениях; его группа симметрии содержит группу Кокстера для E ₆ в качестве подгруппы индекса 2.

Группы Шевалле и Штейнберга типа E ₆ и ² E₆

Основная статья: ² E_Е6

Группы типа Е6 _{над произвольными полями (} в частности, конечными полями) были введены Диксоном ( 1901 , 1908 ).

Точки над конечным полем с q элементами (расщепимой) алгебраической группы Е6 ₍ см. выше ), будь то присоединенной (бесцентровой) или односвязной формы (ее алгебраическое универсальное накрытие), дают конечную группу Шевалле . Это тесно связано с группой, записанной E ₆ ( q ), однако в этом обозначении есть двусмысленность, которая может означать несколько вещей:

• конечная группа, состоящая из точек над F _q односвязной формы E ₆ (для ясности ее можно записать E _6,sc ( q ) или реже ${\tilde {E}}_{6}(q)$ известна как «универсальная» группа Шевалле типа E6 _над Fq ) _и ,
• (редко) конечная группа, состоящая из точек над F _q присоединенной формы к E ₆ (для наглядности ее можно записать E _6,ad ( q ), и известна как «присоединенная» группа Шевалле типа E ₆ над F _q ), или
• конечная группа, которая является образом естественного отображения первой во вторую: это то, что будет обозначаться E6 ₍ q ) в дальнейшем, как это чаще всего встречается в текстах, посвященных конечным группам.

С точки зрения конечной группы, отношения между этими тремя группами, которые совершенно аналогичны отношениям между SL( n,q ), PGL( n,q ) и PSL( n,q ), можно резюмировать следующим образом: E ₆ ( q ) является простым для любого q , E _6,sc ( q ) — его накрытие Шура , а E _6,ad ( q ) лежит в его группе автоморфизмов; более того, когда q −1 не делится на 3, все три совпадают, а в противном случае (когда q конгруэнтно 1 по модулю 3) множитель Шура E ₆ ( q ) равен 3, а E ₆ ( q ) имеет индекс 3 в E _6,ad ( q ), что объясняет, почему E _6,sc ( q ) и E _6,ad ( q ) часто записываются как 3 · E ₆ ( q ) и E ₆ ( q ) · 3. ) реже _{С точки зрения алгебраической группы, E 6} ( q относится к конечной простой группе, поскольку последняя не является естественным образом множеством точек алгебраической группы над F _q в отличие от E _6,sc ( q ) и E _6,ad ( q ).

Помимо этой «расщепленной» (или «раскрученной») формы E6 _, существует еще одна форма E6 _над конечным полем Fq _как , известная ² E ₆ , который получается подкручиванием нетривиальным автоморфизмом диаграммы Дынкина E ₆ . Конкретно, ² E ₆ ( q ), известную как группа Стейнберга, можно рассматривать как подгруппу E ₆ ( q ² ) фиксируется композицией нетривиального автоморфизма диаграммы и нетривиального полевого автоморфизма F _{q ²} . Скручивание не меняет того факта, что алгебраическая фундаментальная группа ² E _6,ad есть Z /3 Z , но он меняет те q, для которых покрытие ² E _6, объявление ² E _6,sc нетривиален на F _q -точках. Именно так: ² E _6,sc ( q ) является покрытием ² E ₆ ( q ) и ² E _6,ad ( q ) лежит в своей группе автоморфизмов; когда q +1 не делится на 3, все три совпадают, а в противном случае (когда q конгруэнтно 2 по модулю 3) степень ² E _6,sc ( q ) над ² E ₆ ( q ) равно 3 и ² E ₆ ( q ) имеет индекс 3 в ² E _6,ad ( q ), что объясняет, почему ² E _6,sc ( q ) и ² E _6,ad ( q ) часто записывают как 3· ² Е ₆ ( q ) и ² Е ₆ ( q ) · 3.

В отношении групп следует затронуть два вопроса об обозначениях. ² Е ₆ ( q ). Во-первых, это иногда пишут ² Е ₆ ( q ² ), обозначение, которое имеет то преимущество, что его легче переносить в группы Сузуки и Ри, но имеет недостаток, заключающийся в отклонении от обозначения для F _q -точек алгебраической группы. Другое дело, что тогда как ² E _6,sc ( q ) и ² E _6,ad ( q ) — F _q -точки алгебраической группы, рассматриваемая группа также зависит от q (например, точки над F _{q ²} той же группы являются раскрученные E _6,sc ( q ² ) и E _6,ad ( q ² )).

Группы E ₆ ( q ) и ² E ₆ ( q ) просты для любого q , и составляют два бесконечных семейства в классификации конечных простых групп . Их порядок задается следующей формулой (последовательность A008872 в OEIS ):

$|E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q-1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}-1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}-1)(q^{2}-1)$

$|{}^{2}\!E_{6}(q)|={\frac {1}{\mathrm {gcd} (3,q+1)}}q^{36}(q^{12}-1)(q^{9}+1)(q^{8}-1)(q^{6}-1)(q^{5}+1)(q^{2}-1)$

(последовательность A008916 в OEIS ). Порядок E _6,sc ( q ) или E _6,ad ( q ) (оба равны) можно получить, удалив разделительный коэффициент gcd(3, q −1) из первой формулы (последовательность A008871 в OEIS ) , и порядок ² E _6,sc ( q ) или ² E _6,ad ( q делителя gcd(3, q ) (оба равны) можно получить, удалив из второго +1) (последовательность A008915 в OEIS ).

Множитель Шура E ₆ ( q ) всегда равен НОД(3, q −1) (т. е. E _6,sc ( q ) является его накрытием Шура). Множитель Шура ² E ₆ ( q ) есть НОД(3, q +1) (т.е. ² E _6,sc ( q ) — его накрытие Шура) вне исключительного случая q =2, когда оно равно 2 ² ·3 (т.е. есть еще 2 ² -откидная обложка). Внешняя группа автоморфизмов E ₆ ( q ) является произведением диагональной группы автоморфизмов Z /gcd(3, q −1) Z (заданной действием E _6,ad ( q )), группы Z /2 Z автоморфизмов диаграмм и группу автоморфизмов полей (т. е. циклических порядка f, если q = p ^ж где p — простое число). Группа внешних автоморфизмов ² E ₆ ( q ) является произведением группы диагональных автоморфизмов Z /gcd(3, q +1) Z (задаваемой действием ² E _6,ad ( q )) и группу полевых автоморфизмов (т. е. циклических порядка f, если q = p ^ж где p — простое число).

в

Схема слабого изоспина , W более слабого изоспина W ′ , сильного g 3 и g 8 и барионного минус лептона B , зарядов для частиц в SO(10) Теории Великого Объединения , повернута, чтобы показать вложение в E ₆ .

N = 8 Супергравитация в пяти измерениях, которая представляет собой размерность уменьшенную 11- мерной супергравитации, допускает бозонную глобальную симметрию E ₆ и Sp(8) бозонную локальную симметрию . Фермионы находятся в представлениях Sp(8) , калибровочные поля — в представлении E6 _{синглетами} , а скаляры — в представлении обоих (Гравитоны являются относительно обоих). Физические состояния находятся в представлениях смежного класса E ₆ /Sp(8) .

В великого объединения теориях E ₆ появляется как возможная калибровочная группа, которая после своего разрушения дает начало SU(3) × SU(2) × U(1) калибровочной группе стандартной модели . Один из способов добиться этого — перейти к SO(10) × U(1) . Сопряженное представление 78 разбивается, как объяснялось выше, на присоединенное 45 , спинор 16 и 16 , а также синглет подалгебры SO(10) . С учетом заряда U(1) имеем

$78\rightarrow 45_{0}\oplus 16_{-3}\oplus {\overline {16}}_{3}+1_{0}.$

Где нижний индекс обозначает заряд U(1) .

Аналогично, фундаментальное представление 27 и его сопряженное 27 разбиваются на скаляр 1 , вектор 10 и спинор 16 или 16 :

$27\rightarrow 1_{4}\oplus 10_{-2}\oplus 16_{1},$

${\bar {27}}\rightarrow 1_{-4}\oplus 10_{2}\oplus {\overline {16}}_{-1}.$

Таким образом, можно получить элементарные фермионы Стандартной модели и бозон Хиггса.

См. также

• В (алгебра Ли)
• Классификация ADE
• Магический квадрат Фрейденталя

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , ISBN  978-0-226-00526-3 , МР   1428422 .
• Баэз, Джон (2002). «Октонионы, Раздел 4.4: Е ₆ » . Бык. амер. Математика. Соц . 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . дои : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . ISSN   0273-0979 . S2CID   586512 . Интернет-версия HTML по адресу [1] .
• Креммер, Э.; Дж. Шерк; Дж. Х. Шварц (1979). «Спонтанно нарушенная супергравитация N = 8». Физ. Летт. Б. ​ 84 (1): 83–86. Бибкод : 1979PhLB...84...83C . дои : 10.1016/0370-2693(79)90654-3 . Отсканированная онлайн-версия по адресу [2] .
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 33 : 145–173, переиздано в томе V. из его собрания сочинений
• Диксон, Леонард Юджин (1908), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности (вторая статья)» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 39 : 205–209, ISBN  9780828403061 , переиздано в VI томе собрания его сочинений.
• Ичиро, Ёкота (2009). «Исключительные группы Ли». arXiv : 0902.0431 [ math.DG ].