Представления классических групп Ли

В математике конечномерные представления комплексных классических групп Ли $GL(n,\mathbb {C} )$, $SL(n,\mathbb {C} )$, $O(n,\mathbb {C} )$, $SO(n,\mathbb {C} )$, $Sp(2n,\mathbb {C} )$,может быть построена с использованием общей теории представлений полупростых алгебр Ли . Группы $SL(n,\mathbb {C} )$, $SO(n,\mathbb {C} )$, $Sp(2n,\mathbb {C} )$ действительно являются простыми группами Ли , и их конечномерные представления совпадают с таковыми их максимальных компактных подгрупп соответственно $SU(n)$, $SO(n)$, $Sp(n)$. В классификации простых алгебр Ли соответствующими алгебрами являются

${\begin{aligned}SL(n,\mathbb {C} )&\to A_{n-1}\\SO(n_{\text{odd}},\mathbb {C} )&\to B_{\frac {n-1}{2}}\\SO(n_{\text{even}},\mathbb {C} )&\to D_{\frac {n}{2}}\\Sp(2n,\mathbb {C} )&\to C_{n}\end{aligned}}$

Однако, поскольку комплексные классические группы Ли являются линейными группами , их представления являются тензорными представлениями . Каждое неприводимое представление помечается диаграммой Юнга , которая кодирует его структуру и свойства.

Общая линейная группа , специальная линейная группа и унитарная группа.

Конструкция Вейля тензорных представлений

Позволять $V=\mathbb {C} ^{n}$ быть определяющим представлением полной линейной группы $GL(n,\mathbb {C} )$. Тензорные представления — это подпредставления $V^{\otimes k}$ (иногда их называют полиномиальными представлениями). Неприводимые подпредставления $V^{\otimes k}$ это изображения $V$ по функторам Шура $\mathbb {S} ^{\lambda }$ связанный с целочисленными разделами $\lambda$ из $k$ в самое большее $n$ целые числа, т.е. диаграммы Юнга размера $\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=k$ с $\lambda _{n+1}=0$. (Если $\lambda _{n+1}>0$ затем $\mathbb {S} ^{\lambda }(V)=0$.) Функторы Шура определяются с помощью симметризаторов Юнга симметрической группы $S_{k}$, который естественным образом действует на $V^{\otimes k}$. Мы пишем $V_{\lambda }=\mathbb {S} ^{\lambda }(V)$.

Размерности этих неприводимых представлений равны

$\dim V_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}=\prod _{(i,j)\in \lambda }{\frac {n-i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}$

где $h_{\lambda }(i,j)$ длина крючка ячейки $(i,j)$ на диаграмме Юнга $\lambda$.

• Первая формула размерности представляет собой частный случай формулы, задающей характеры представлений в терминах полиномов Шура : $\chi _{\lambda }(g)=s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})$ где $x_{1},\dots ,x_{n}$ являются собственными значениями $g\in GL(n,\mathbb {C} )$.
• Вторую формулу измерения иногда называют формулой содержания крючка Стэнли .

Примеры тензорных представлений:

Тензорное представление $GL(n,\mathbb {C} )$	Измерение	Диаграмма Янга
Тривиальное представление	$1$	$()$
Детерминантное представление	$1$	$(1^{n})$
Определение представления $V$	$n$	$(1)$
Симметричное представление ${\text{Sym}}^{k}V$	${\binom {n+k-1}{k}}$	$(k)$
Антисимметричное представление $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n}{k}}$	$(1^{k})$

Общие неприводимые представления

Не все неприводимые представления $GL(n,\mathbb {C} )$ являются тензорными представлениями. В общем случае неприводимые представления $GL(n,\mathbb {C} )$ являются смешанными тензорными представлениями, т.е. подпредставлениями $V^{\otimes r}\otimes (V^{*})^{\otimes s}$, где $V^{*}$ является двойственным представлением $V$ (их иногда называют рациональными представлениями). В конечном итоге множество неприводимых представлений $GL(n,\mathbb {C} )$ помечена невозрастающей последовательностью $n$ целые числа $\lambda _{1}\geq \dots \geq \lambda _{n}$.Если $\lambda _{k}\geq 0,\lambda _{k+1}\leq 0$, мы можем ассоциироваться с $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ пара молодых картин $([\lambda _{1}\dots \lambda _{k}],[-\lambda _{n},\dots ,-\lambda _{k+1}])$. Это показывает, что неприводимые представления $GL(n,\mathbb {C} )$ могут быть помечены парами таблиц Янга. Обозначим $V_{\lambda \mu }=V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ неприводимое представление $GL(n,\mathbb {C} )$ соответствующий паре $(\lambda ,\mu )$ или, что эквивалентно последовательности $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$. С этими обозначениями

• $V_{\lambda }=V_{\lambda ()},V=V_{(1)()}$

• $(V_{\lambda \mu })^{*}=V_{\mu \lambda }$

• Для $k\in \mathbb {Z}$, обозначая $D_{k}$ одномерное представление, в котором $GL(n,\mathbb {C} )$ действует путем $(\det )^{k}$, $V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}=V_{\lambda _{1}+k,\dots ,\lambda _{n}+k}\otimes D_{-k}$. Если $k$ достаточно велик, чтобы $\lambda _{n}+k\geq 0$, это дает явное описание $V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ в терминах функтора Шура.

• Размерность $V_{\lambda \mu }$ где $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}),\mu =(\mu _{1},\dots ,\mu _{s})$ является

$\dim(V_{\lambda \mu })=d_{\lambda }d_{\mu }\prod _{i=1}^{r}{\frac {(1-i-s+n)_{\lambda _{i}}}{(1-i+r)_{\lambda _{i}}}}\prod _{j=1}^{s}{\frac {(1-j-r+n)_{\mu _{i}}}{(1-j+s)_{\mu _{i}}}}\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {n+1+\lambda _{i}+\mu _{j}-i-j}{n+1-i-j}}$ где $d_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq r}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}$. Видеть для интерпретации как произведение n-зависимых факторов, разделенное на произведения длин крючков.

Случай специальной линейной группы

Два представления $V_{\lambda },V_{\lambda '}$ из $GL(n,\mathbb {C} )$ эквивалентны как представления специальной линейной группы $SL(n,\mathbb {C} )$ тогда и только тогда, когда существует $k\in \mathbb {Z}$ такой, что $\forall i,\ \lambda _{i}-\lambda '_{i}=k$. Например, детерминантное представление $V_{(1^{n})}$ тривиально в $SL(n,\mathbb {C} )$, т.е. это эквивалентно $V_{()}$. В частности, неприводимые представления $SL(n,\mathbb {C} )$ могут быть проиндексированы таблицами Юнга, и все они являются тензорными представлениями (не смешанными).

Случай унитарной группы

Унитарная группа — это максимальная компактная подгруппа $GL(n,\mathbb {C} )$. Комплексификация его алгебры Ли ${\mathfrak {u}}(n)=\{a\in {\mathcal {M}}(n,\mathbb {C} ),a^{\dagger }+a=0\}$ это алгебра ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$. С точки зрения теории Ли, $U(n)$ является компактной вещественной формой $GL(n,\mathbb {C} )$, что означает, что комплексные линейные, непрерывные неприводимые представления последних находятся во взаимно однозначном соответствии с комплексными линейными, алгебраическими неприводимыми представлениями первых посредством включения $U(n)\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )$.

Тензорные продукты

Тензорные произведения конечномерных представлений $GL(n,\mathbb {C} )$ задаются следующей формулой:

$V_{\lambda _{1}\mu _{1}}\otimes V_{\lambda _{2}\mu _{2}}=\bigoplus _{\nu ,\rho }V_{\nu \rho }^{\oplus \Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }},$

где $\Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }=0$ пока не $|\nu |\leq |\lambda _{1}|+|\lambda _{2}|$ и $|\rho |\leq |\mu _{1}|+|\mu _{2}|$. Вызов $l(\lambda )$ количество строк в таблице, если $l(\lambda _{1})+l(\lambda _{2})+l(\mu _{1})+l(\mu _{2})\leq n$, затем

$\Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }=\sum _{\alpha ,\beta ,\eta ,\theta }\left(\sum _{\kappa }c_{\kappa ,\alpha }^{\lambda _{1}}c_{\kappa ,\beta }^{\mu _{2}}\right)\left(\sum _{\gamma }c_{\gamma ,\eta }^{\lambda _{2}}c_{\gamma ,\theta }^{\mu _{1}}\right)c_{\alpha ,\theta }^{\nu }c_{\beta ,\eta }^{\rho },$

где натуральные числа $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ являются Коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона .

Ниже приведены несколько примеров таких тензорных произведений:

$R_{1}$	$R_{2}$	Тензорное произведение $R_{1}\otimes R_{2}$
$V_{\lambda ()}$	$V_{\mu ()}$	$\sum _{\nu }c_{\lambda \mu }^{\nu }V_{\nu ()}$
$V_{\lambda ()}$	$V_{()\mu }$	$\sum _{\kappa ,\nu ,\rho }c_{\kappa \nu }^{\lambda }c_{\kappa \rho }^{\mu }V_{\nu \rho }$
$V_{()(1)}$	$V_{(1)()}$	$V_{(1)(1)}+V_{()()}$
$V_{()(1)}$	$V_{(k)()}$	$V_{(k)(1)}+V_{(k-1)()}$
$V_{(1)()}$	$V_{(k)()}$	$V_{(k+1)()}+V_{(k,1)()}$
$V_{(1)(1)}$	$V_{(1)(1)}$	$V_{(2)(2)}+V_{(2)(11)}+V_{(11)(2)}+V_{(11)(11)}+2V_{(1)(1)}+V_{()()}$

Ортогональная группа и специальная ортогональная группа

В дополнение к описанным здесь представлениям группы Ли ортогональная группа $O(n,\mathbb {C} )$ и специальная ортогональная группа $SO(n,\mathbb {C} )$ имеют спиновые представления , которые являются проективными представлениями этих групп, т. е. представлениями их универсальных накрывающих групп .

Строительство представительств

С $O(n,\mathbb {C} )$ является подгруппой $GL(n,\mathbb {C} )$, любое неприводимое представление $GL(n,\mathbb {C} )$ также является представлением $O(n,\mathbb {C} )$, которое, однако, не может быть неприводимым. Чтобы получить тензорное представление $O(n,\mathbb {C} )$ чтобы быть неприводимыми, тензоры должны быть бесследовыми.

Неприводимые представления $O(n,\mathbb {C} )$ параметризуются подмножеством диаграмм Юнга, связанных с неприводимыми представлениями $GL(n,\mathbb {C} )$: диаграммы, у которых сумма длин первых двух столбцов не превышает $n$. Неприводимое представление $U_{\lambda }$ соответствующая такой диаграмме, является подпредставлением соответствующего $GL(n,\mathbb {C} )$ представительство $V_{\lambda }$. Например, в случае симметричных тензоров

$V_{(k)}=U_{(k)}\oplus V_{(k-2)}$

Случай специальной ортогональной группы

Антисимметричный тензор $U_{(1^{n})}$ представляет собой одномерное представление $O(n,\mathbb {C} )$, что тривиально для $SO(n,\mathbb {C} )$. Затем $U_{(1^{n})}\otimes U_{\lambda }=U_{\lambda '}$ где $\lambda '$ получается из $\lambda$ действуя на длину первого столбца как ${\tilde {\lambda }}_{1}\to n-{\tilde {\lambda }}_{1}$.

• Для $n$ странно, неприводимые представления $SO(n,\mathbb {C} )$ параметризуются диаграммами Юнга с ${\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n-1}{2}}$ ряды.
• Для $n$ даже, $U_{\lambda }$ по-прежнему неприводима как $SO(n,\mathbb {C} )$ представление, если ${\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n}{2}}-1$, но сводится к сумме двух неэквивалентных $SO(n,\mathbb {C} )$ представления, если ${\tilde {\lambda }}_{1}={\frac {n}{2}}$.

Например, неприводимые представления $O(3,\mathbb {C} )$ соответствуют диаграммам Юнга типов $(k\geq 0),(k\geq 1,1),(1,1,1)$. Неприводимые представления $SO(3,\mathbb {C} )$ соответствуют $(k\geq 0)$, и $\dim U_{(k)}=2k+1$. С другой стороны, размерности спиновых представлений $SO(3,\mathbb {C} )$ являются четными целыми числами.

Размеры

Размерности неприводимых представлений $SO(n,\mathbb {C} )$ задаются по формуле, которая зависит от четности $n$:

$(n{\text{ even}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}$

$(n{\text{ odd}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\prod _{1\leq i\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}$

Существует также выражение в виде факторизованного полинома в $n$:

$\dim U_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\geq j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i<j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j-2}{h_{\lambda }(i,j)}}$

где $\lambda _{i},{\tilde {\lambda }}_{i},h_{\lambda }(i,j)$ соответственно длины строк, длины столбцов и длины крюков . В частности, антисимметричные представления имеют те же размерности, что и их $GL(n,\mathbb {C} )$ коллеги, $\dim U_{(1^{k})}=\dim V_{(1^{k})}$, но симметричные представления этого не делают,

$\dim U_{(k)}=\dim V_{(k)}-\dim V_{(k-2)}={\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-3}{k}}$

Тензорные продукты

В стабильном диапазоне $|\mu |+|\nu |\leq \left[{\frac {n}{2}}\right]$, кратности тензорного произведения, которые появляются при разложении тензорного произведения $U_{\lambda }\otimes U_{\mu }=\oplus _{\nu }N_{\lambda ,\mu ,\nu }U_{\nu }$ являются числами Ньюэлла-Литтлвуда , которые не зависят от $n$. За пределами стабильного диапазона кратности тензорного произведения становятся $n$-зависимые модификации чисел Ньюэлла-Литтлвуда. Например, для $n\geq 12$, у нас есть

${\begin{aligned}{}[1]\otimes [1]&=[2]+[11]+[]\\{}[1]\otimes [2]&=[21]+[3]+[1]\\{}[1]\otimes [11]&=[111]+[21]+[1]\\{}[1]\otimes [21]&=[31]+[22]+[211]+[2]+[11]\\{}[1]\otimes [3]&=[4]+[31]+[2]\\{}[2]\otimes [2]&=[4]+[31]+[22]+[2]+[11]+[]\\{}[2]\otimes [11]&=[31]+[211]+[2]+[11]\\{}[11]\otimes [11]&=[1111]+[211]+[22]+[2]+[11]+[]\\{}[21]\otimes [3]&=[321]+[411]+[42]+[51]+[211]+[22]+2[31]+[4]+[11]+[2]\end{aligned}}$

Правила ветвления из общей линейной группы

Поскольку ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы, представления $GL(n)$ можно разложить на представления $O(n)$. Разложение тензорного представления дается через коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона. $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ по правилу ограничения Литтлвуда

$V_{\nu }^{GL(n)}=\sum _{\lambda ,\mu }c_{\lambda ,2\mu }^{\nu }U_{\lambda }^{O(n)}$

где $2\mu$ является разбиением на четные целые числа. Правило действует в стабильном диапазоне $2|\nu |,{\tilde {\lambda }}_{1}+{\tilde {\lambda }}_{2}\leq n$. Обобщение на смешанные тензорные представления:

$V_{\lambda \mu }^{GL(n)}=\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }c_{\alpha ,2\gamma }^{\lambda }c_{\beta ,2\delta }^{\mu }c_{\alpha ,\beta }^{\nu }U_{\nu }^{O(n)}$

Аналогичные правила ветвления можно написать и для симплектической группы.

Симплектическая группа

Представительства

Конечномерные неприводимые представления симплектической группы $Sp(2n,\mathbb {C} )$ параметризуются диаграммами Юнга с не более чем $n$ ряды. Размерность соответствующего представления равна

$\dim W_{\lambda }=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}+n-i+1}{n-i+1}}\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+2n-i-j+2}{2n-i-j+2}}$

Существует также выражение в виде факторизованного полинома в $n$:

$\dim W_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i>j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j+2}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\leq j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}$

Тензорные продукты

Как и в случае с ортогональной группой, кратности тензорных произведений задаются числами Ньюэлла-Литтлвуда в стабильном диапазоне и их модификациями за пределами стабильного диапазона.

Внешние ссылки

• Онлайн-сервис Lie , онлайн-интерфейс к программному обеспечению Lie .