Классическая группа

О книге Вейля см. «Классические группы» .

В математике классические группы определяются как специальные линейные группы над действительными числами. $\mathbb {R}$, комплексные числа $\mathbb {C}$ и кватернионы $\mathbb {H}$ вместе со специальным автоморфизмов группы симметричных или кососимметричных билинейных форм и эрмитовых или косоэрмитовых полуторалинейных форм, определенных на вещественных, комплексных и кватернионных конечномерных векторных пространствах. Из них комплексные классические группы Ли представляют собой четыре бесконечных семейства групп Ли , которые вместе с исключительными группами исчерпывают классификацию простых групп Ли . Компактные классические группы являются компактными вещественными формами комплексных классических групп. Конечными аналогами классических групп являются классические группы лиева типа . Термин «классическая группа» был придуман Германом Вейлем и стал названием его монографии 1939 года «Классические группы» .

Классические группы составляют самую глубокую и полезную часть предмета линейных групп Ли. Большинство типов классических групп находят применение в классической и современной физике. Вот несколько примеров. Группа вращения SO(3) является симметрией евклидова пространства и всех фундаментальных законов физики, группа Лоренца O(3,1) является группой симметрии пространства-времени специальной теории относительности . Специальная унитарная группа SU(3) является группой симметрии квантовой хромодинамики , а симплектическая группа Sp( m ) находит применение в гамильтоновой механике и квантовомеханических ее версиях.

Классические группы

Классические группы — это в точности общие линейные группы над $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$ и $\mathbb {H}$ вместе с группами автоморфизмов невырожденных форм, обсуждаемыми ниже. Эти группы обычно дополнительно ограничиваются подгруппами, элементы которых имеют определитель 1, так что их центры дискретны. Классические группы с условием определителя 1 перечислены в таблице ниже. В дальнейшем условие определителя 1 не используется последовательно в интересах большей общности.

Имя	Группа	Поле	Форма	Максимальный компактная подгруппа	Ложь алгебра	Корневая система
Специальный линейный	СЛ( п , $\mathbb {R}$)	$\mathbb {R}$	—	ТАК( п )
Комплекс специальный линейный	СЛ( п , $\mathbb {C}$)	$\mathbb {C}$	—	ЕГО ( н )	Сложный	А м , п = м + 1
Кватернионный специальный линейный	СЛ( п , $\mathbb {H}$) = Они есть ∗ ( 2н )	$\mathbb {H}$	—	Сп( п )
(Неопределенный) специальный ортогональный	ТАК( п , q )	$\mathbb {R}$	Симметричный	S(O( p ) × O( q ))
Комплексный специальный ортогональный	ТАК( п , $\mathbb {C}$)	$\mathbb {C}$	Симметричный	ТАК ( н )	Сложный	$\color {Blue}{\begin{cases}B_{m},&n=2m+1\\D_{m},&n=2m\end{cases}}$
симплектический	Сп( п , $\mathbb {R}$)	$\mathbb {R}$	Кососимметричный	У ( п )
Комплексная симплектика	Сп( п , $\mathbb {C}$)	$\mathbb {C}$	Кососимметричный	Сп ( п )	Сложный	С м , п = 2 м
(бессрочный) специальный унитарный	SU( п , q )	$\mathbb {C}$	эрмитовский	S(U( p ) × U( q ))
(Неопределенный) кватернионный унитарный	Сп( п , q )	$\mathbb {H}$	эрмитовский	Sp( p ) × Sp( q )
Кватернионный ортогональный	ТАК ∗ ( 2н )	$\mathbb {H}$	косо-эрмитовский	ТАК( 2n )

Комплексные классические группы — это SL( n , $\mathbb {C}$) , ТАК( п , $\mathbb {C}$) и Sp( n , $\mathbb {C}$) . Группа является комплексной в зависимости от того, комплексна ли ее алгебра Ли. Настоящие классические группы относятся ко всем классическим группам, поскольку любая алгебра Ли является реальной алгеброй. Компактные классические группы — это компактные вещественные формы комплексных классических групп. Это, в свою очередь, SU( n ) , SO( n ) и Sp( n ) . Одна из характеристик компактной вещественной формы дается в терминах алгебры Ли g . Если g = u + i u , комплексификация u , и если связная группа K, порожденная {exp( X ): X ∈ u }, компактна, то K является компактной вещественной формой.

Классические группы можно равномерно охарактеризовать по-другому, используя вещественные формы . Классические группы (здесь с условием определителя 1, но это не обязательно) следующие:

Комплексные линейные алгебраические группы SL( n , $\mathbb {C}$), ТАК( п , $\mathbb {C}$) и Sp( n , $\mathbb {C}$) вместе с их реальными формами .

Например, ТАК ^∗ (2 n ) является вещественной формой SO(2 n , $\mathbb {C}$) , SU( p , q ) является вещественной формой SL( n , $\mathbb {C}$) и SL( n , $\mathbb {H}$) является вещественной формой SL(2 n , $\mathbb {C}$) . Без условия определителя 1 замените в характеристике специальные линейные группы соответствующими общими линейными группами. Рассматриваемые алгебраические группы являются группами Ли, но для получения правильного понятия «реальной формы» необходим «алгебраический» квалификатор.

Билинейная и полуторалинейная формы

Основные статьи: Билинейная форма и Полуторалинейная форма.

Классические группы определяются в терминах форм, определенных на R ^н , С ^н и Х ^н , где R и C — поля действительных чисел и комплексных . Кватернионы ; H не образуют поля, поскольку умножение не коммутирует они образуют тело , или тело , или некоммутативное поле . Однако все еще возможно определить матричные кватернионные группы. По этой причине векторное пространство V разрешено определять над R , C , а также над H ниже. В случае H векторным пространством , V является правым что делает возможным представление действия группы как умножение матриц слева так же, как для R и C. ,

Форма φ : V × V → F в некотором конечномерном правом векторном пространстве над F = R , C или H является билинейной , если

$\varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.$ и если

$\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.$

Оно называется полуторалинейным, если

$\varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.$ и если

$\varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.$

Эти соглашения выбраны потому, что они работают во всех рассматриваемых случаях. Автоморфизм — это ф А отображение что множества линейных операторов на V такое,

$\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V.$ ( 1 )

Множество всех автоморфизмов φ образует группу, она называется группой автоморфизмов φ и обозначается Aut( φ ) . Это приводит к предварительному определению классической группы:

которая сохраняет билинейную или полуторалинейную форму в конечномерных векторных пространствах над R , C или H. Классическая группа — это группа ,

Это определение имеет некоторую избыточность. В случае F = R билинейный эквивалентен полуторалинейному. В случае F = H ненулевых билинейных форм не существует.

Симметричная, кососимметричная, эрмитова

Форма симметрична , если

$\varphi (x,y)=\varphi (y,x).$

Оно кососимметрично, если

$\varphi (x,y)=-\varphi (y,x).$

Оно эрмитово, если

$\varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}$

Наконец, оно косоэрмитово, если

$\varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.$

Билинейная форма φ представляет собой единственную сумму симметричной и кососимметричной форм. Преобразование, сохраняющее φ, сохраняет обе части по отдельности. Таким образом, группы, сохраняющие симметричные и кососимметричные формы, можно изучать отдельно. То же самое относится, mutatis mutandis, к эрмитовым и косоэрмитовым формам. По этой причине для целей классификации рассматривают только чисто симметричные, кососимметричные, эрмитовы или косоэрмитовы формы. Нормальные формы форм соответствуют конкретному подходящему выбору оснований. Это базы, дающие в координатах следующие нормальные формы:

${\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}$

J , косоэрмитовой форме является третьим базисным элементом в базисе ( 1 , i , j в k ) для H . Доказательство существования этих базисов и закона инерции Сильвестра , независимости количества знаков плюс и минус p и q в симметричной и эрмитовой формах, а также наличия или отсутствия полей в каждом выражении, можно найти у Россманна (2002) или Гудмана и Уоллаха (2009) . Пара ( p , q ) , а иногда и p − q , называется сигнатурой формы.

Объяснение появления полей R , C , H не существует нетривиальных билинейных форм : Над H . В симметричном билинейном случае только формы над R. сигнатуру имеют Другими словами, сложную билинейную форму с «сигнатурой» ( p , q ) можно путем смены базиса привести к форме, где все знаки равны « + » в приведенном выше выражении, тогда как в реальном случае это невозможно. , в котором p − q не зависит от базиса, если его представить в этой форме. Однако эрмитовы формы имеют независимую от базиса подпись как в комплексном, так и в кватернионном случае. (Реальный случай сводится к симметричному случаю.) Косоэрмитова форма в комплексном векторном пространстве становится эрмитовой путем умножения на i , поэтому в этом случае только H. интересен

Группы автоморфизмов

Герман Вейль , автор «Классических групп» . Вейль внес существенный вклад в теорию представлений классических групп.

В первом разделе представлены общие рамки. В других разделах исчерпываются качественно различные случаи, возникающие как группы автоморфизмов билинейных и полуторалинейных форм в конечномерных векторных пространствах над R , C и H .

Aut( φ ) – группа автоморфизмов

Предположим, что — невырожденная форма в конечномерном векторном пространстве V над R , C или H. φ Группа автоморфизмов определяется на основании условия ( 1 ) как

$\mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.$

Каждый A ∈ Mn _V ( ) A сопряженный имеет ^ж относительно φ, определенного формулой

$\varphi (Ax,y)=\varphi (x,A^{\varphi }y),\qquad x,y\in V.$ ( 2 )

Используя это определение в условии ( 1 ), видно, что группа автоморфизмов задается формулой

$\operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):A^{\varphi }A=1\}.$ ( 3 )

Зафиксируйте основу для V . В соответствии с этим основанием положим

$\varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}$

где ξ _i , η _j — компоненты x , y . Это подходит для билинейных форм. Полуторные формы имеют схожие выражения и позже рассматриваются отдельно. В матричной записи находится

$\varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y$

и

$A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi$ ( 4 )

из ( 2 ) где Φ – матрица ( φ _ij ) . Условие невырожденности означает именно то, что Φ обратима, поэтому сопряженное всегда существует. Aut( φ ), выраженный таким образом, становится

$\operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.$

Алгебру Ли aut ( φ ) групп автоморфизмов можно выписать сразу. Абстрактно, X ∈ aut ( φ ) тогда и только тогда, когда

$(e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1$

для всех t , что соответствует условию ( 3 ) при экспоненциальном отображении алгебр Ли, так что

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},$

или в основе

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{\mathrm {T} }\Phi =-X\right\}$ ( 5 )

как видно из разложения экспоненциального отображения в степенной ряд и линейности задействованных операций. Обратно, предположим, что X ∈ aut ( φ ) . Тогда, используя приведенный выше результат, φ ( Xx , y ) = φ( x , X ^ж y ) знак равно -φ( Икс , Xy ) . Таким образом, алгебру Ли можно охарактеризовать безотносительно к базису или сопряженному элементу как

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.$

Нормальная форма для φ будет указана для каждой классической группы ниже. Из этой нормальной формы матрицу Φ можно прочитать напрямую. Следовательно, выражения для сопряженной и алгебры Ли можно получить с помощью формул ( 4 ) и ( 5 ). Ниже это продемонстрировано в большинстве нетривиальных случаев.

Билинейный случай

Когда форма симметрична, Aut( φ ) называется O( φ ) . Если он кососимметричен, то Aut( φ ) называется Sp( φ ) . Это касается реальных и сложных случаев. Кватернионный случай пуст, поскольку в кватернионных векторных пространствах не существует ненулевых билинейных форм.

Реальный случай

Реальный случай распадается на два случая: симметричную и антисимметричную формы, которые следует рассматривать отдельно.

O( p , q ) и O( n ) – ортогональные группы

Основные статьи: Ортогональная группа и Неопределенная ортогональная группа.

Если φ симметричен и векторное пространство вещественно, базис можно выбрать так, чтобы

$\varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.$

Количество знаков плюс и минус не зависит от конкретного базиса. В случае V = R ^н пишут O( φ ) = O( p , q ), где p — количество знаков плюс, а q — количество знаков минус, p + q = n . Если q = 0, используется обозначение O( n ) . Матрица Φ в этом случае

$\Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}$

после переупорядочения базы при необходимости. Тогда сопряженная операция ( 4 ) принимает вид

$A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),$

что сводится к обычному транспонированию, когда p или q равно 0. Алгебра Ли находится с использованием уравнения ( 5 ) и подходящего анзаца (для случая Sp( m , R ) это подробно описано ниже),

${\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},$

а группа согласно ( 3 ) имеет вид

$\mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.$

Группы O( p , q ) и O( q , p ) изоморфны через отображение

$\mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].$

Например, алгебру Ли группы Лоренца можно записать как

${\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.$

Естественно, можно переставить так, чтобы q -блок был левым верхним (или любым другим блоком). Здесь «временная составляющая» оказывается четвертой координатой в физической интерпретации, а не первой, как это может быть более распространено.

Sp( m , R) – настоящая симплектическая группа

Основная статья: Симплектическая группа

Если φ кососимметричен и векторное пространство вещественно, существует базис, дающий

$\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},$

где п = 2 м . Для Aut( φ ) пишут Sp( φ ) = Sp( V ). В случае V = R ^н = Р ^22м пишут Sp( m , R ) или Sp(2 m , R ) . Из нормальной формы считывают

$\Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.$

Сделав подход

$V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),$

где X , Y , Z , W — m -мерные матрицы и учитывая ( 5 ),

$\left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)$

находится алгебра Ли Sp( m , R ) ,

${\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},$

и группа задается

$\mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.$

Сложный случай

Как и в реальном случае, есть два случая: симметричный и антисимметричный, каждый из которых дает семейство классических групп.

O( n , C) – комплексная ортогональная группа

Основная статья: Комплексная ортогональная группа

Если случай φ симметричен и векторное пространство комплексное, базис

$\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}$

можно использовать только знаки плюс. Группа автоморфизмов в случае V = C ^н называется O(n, C ) . Алгебра Ли — это просто частный случай алгебры Ли для o ( p , q ) ,

${\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},$

и группа задается

$\mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.$

С точки зрения классификации простых алгебр Ли , so ( n ) делятся на два класса: с n нечетным с корневой системой B _n и n с четным с корневой системой D _n .

Sp( m , C) – комплексная симплектическая группа

Основная статья: Симплектическая группа

Для φ кососимметричного и комплекса векторного пространства используется одна и та же формула:

$\varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},$

применяется так же, как и в реальном случае. Для Aut( φ ) пишут Sp( φ ) = Sp( V ) . В случае $V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}$ пишут Sp( m , $\mathbb {C}$) или Sp(2 м , $\mathbb {C}$) . Алгебра Ли параллельна алгебре sp ( m , $\mathbb {R}$) ,

${\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},$

и группа задается

$\mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.$

Полуторалинейный случай

В полуторалинейном случае к форме применяется несколько иной подход с точки зрения базиса:

$\varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.$

Другие выражения, которые изменяются:

$\varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,$

$\operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},$

${\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\Phi ^{-1}X^{*}\Phi =-X\}.$ ( 6 )

Реальный случай, конечно, не дает ничего нового. Комплексный и кватернионный случай будут рассмотрены ниже.

Сложный случай

С качественной точки зрения рассмотрение косоэрмитовых форм (с точностью до изоморфизма) не дает новых групп; умножение на i превращает косоэрмитовую форму в эрмитовую, и наоборот. Таким образом, необходимо рассматривать только эрмитовский случай.

U( p , q ) и U( n ) – унитарные группы

Основная статья: Унитарная группа

Невырожденная эрмитова форма имеет нормальную форму

$\varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.$

Как и в билинейном случае, сигнатура ( p , q ) не зависит от базиса. Группа автоморфизмов обозначается U( V ) или, в случае V = C ^н , U( п , q ) . Если q = 0, используется обозначение U( n ) . В этом случае Φ принимает вид

$\Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},$

а алгебра Ли имеет вид

${\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.$

Группу дает

$\mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.$

где g — общая комплексная матрица размера nxn и $g^{*}$ определяется как сопряженное транспонирование g, то, что физики называют $g^{\dagger }$.

Для сравнения: унитарная матрица U(n) определяется как

$\mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.$

Мы отмечаем, что $\mathrm {U} (n)$ то же самое, что $\mathrm {U} (n,0)$

Кватернионный случай

Пространство Н ^н рассматривается как правое векторное пространство над H . Таким образом, A ( vh ) = ( Av ) h для кватерниона h , вектор-столбца кватерниона v и матрицы кватернионов A . Если Ч ^н было левым векторным пространством над H умножение матриц справа на , то для сохранения линейности потребовалось бы векторы-строки. Это не соответствует обычной линейной операции группы в векторном пространстве, когда задан базис, который представляет собой умножение матриц слева на вектор-столбцы. Таким образом, V отныне является правым векторным пространством над H . Несмотря на это, необходимо соблюдать осторожность из-за некоммутативной природы H . Детали (в основном очевидные) опускаются, поскольку будут использоваться сложные представления.

При работе с кватернионными группами кватернионы удобно представлять с помощью комплексных матриц размера 2×2 :

$q=a\mathrm {1} +b\mathrm {i} +c\mathrm {j} +d\mathrm {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=Q,\quad q\in \mathbb {H} ,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} .$ ( 7 )

При таком представлении кватернионное умножение становится матричным умножением, а кватернионное сопряжение становится эрмитовым сопряженным. Более того, если кватернион в соответствии с комплексной кодировкой q = x + j y задан как вектор-столбец ( x , y ) ^Т , то умножение слева на матричное представление кватерниона создает новый вектор-столбец, представляющий правильный кватернион. Это представление немного отличается от более распространенного представления, найденного в статье о кватернионах . Более распространенное соглашение заставляет умножать справа матрицу-строку для достижения того же самого.

Кстати, из приведенного выше представления становится ясно, что группа единичных кватернионов ( α α + β β = 1 = det Q ) изоморфна SU(2) .

Кватернионные n × n -матрицы, очевидно, могут быть представлены 2 n × 2 n блочными матрицами комплексных чисел. Если кто-то согласен представить кватернионный n × 1 вектор-столбец вектор-столбцом 2 n × 1 с комплексными числами в соответствии с приведенной выше кодировкой, при этом верхние n чисел представляют собой α _i , а нижние n — i β _, то кватернионный вектор-столбец n × n -матрица становится комплексной 2 n × 2 n -матрицей точно такого же вида, как указано выше, но теперь с α и β n × n -матрицами. Более формально

$\left(Q\right)_{n\times n}=\left(X\right)_{n\times n}+\mathrm {j} \left(Y\right)_{n\times n}\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\bar {Y}}\\Y&{\bar {X}}\end{matrix}}\right)_{2n\times 2n}.$ ( 8 )

Матрица T ∈ GL(2 n , C ) имеет вид, показанный в ( 8 ), тогда и только тогда, когда J _n T = TJ _n . Благодаря этим отождествлениям,

$\mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.$

Пространство M _n ( H ) ⊂ M _{2 n} ( C ) является вещественной алгеброй, но не является комплексным подпространством M _{2 n} ( C ) . Умножение (слева) на i в M _n ( H ) с использованием поэлементного кватернионного умножения, а затем отображение на изображение в M _{2 n} ( C ) дает другой результат, чем поэлементное умножение на i непосредственно в M _{2 n} ( С ) . Правила кватернионного умножения дают i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (− i Y ) , где новые X и Y находятся внутри круглых скобок.

Действие кватернионных матриц на кватернионные векторы теперь представляется комплексными величинами, но в остальном оно такое же, как и для «обычных» матриц и векторов. Таким образом, кватернионные группы вложены в M _{2 n} ( C ) , где n — размерность кватернионных матриц.

Определитель кватернионной матрицы определяется в этом представлении как обычный комплексный определитель ее представительной матрицы. Некоммутативная природа кватернионного умножения в кватернионном представлении матриц была бы неоднозначной. Способ M _n ( H ) вложения в M _{2 n} ( C ) не является единственным, но все такие вложения связаны через g ↦ AgA ⁻¹ , g ∈ GL(2 n , C ) для A ∈ O(2 n , C ) , оставляя определитель неизменным. Имя SL( n , H ) в этом сложном виде — SU. ^∗ ( 2н ) .

В отличие от случая C , как эрмитовский, так и косоэрмитовый случай привносят что-то новое при рассмотрении H , поэтому эти случаи рассматриваются отдельно.

GL( n ,H) и SL( n ,H)

Согласно указанной выше идентификации,

$\mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).$

Его алгебра Ли gl ( n , H ) представляет собой набор всех матриц в образе отображения M _n ( H ) ↔ M _{2 n} ( C ) выше,

${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).$

Кватернионная специальная линейная группа имеет вид

$\mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),$

где определитель берется от матриц из C ^22н . Альтернативно это можно определить как ядро ​​определителя Дьедонне. $\mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}$. Алгебра Ли – это

${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).$

Sp( p , q ) – кватернионная унитарная группа

Как и выше, в сложном случае нормальная форма имеет вид

$\varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}$

и количество знаков плюс не зависит от базиса. Когда V = H ^н в этой форме Sp( φ ) = Sp( p , q ) . Причиной обозначений является то, что группу можно представить, используя приведенное выше предписание, как подгруппу Sp( n , C ), сохраняющую комплексно-эрмитовую форму сигнатуры (2 p , 2 q ). Если p или q = 0, группа обозначается U( n , H ) . Иногда ее называют гиперунитарной группой .

В кватернионной записи

$\Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}$

это означает, что кватернионные матрицы вида

${\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\mathcal {X}}_{p\times p}&{\mathcal {Z}}_{p\times q}\\{\mathcal {Z}}^{*}&{\mathcal {Y}}_{q\times q}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {X}}^{*}=-{\mathcal {X}},\quad {\mathcal {Y}}^{*}=-{\mathcal {Y}}$ ( 9 )

удовлетворит

$\Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},$

см. раздел о u ( p , q ) . При работе с умножением кватернионных матриц необходимо соблюдать осторожность, но здесь только I и - I участвуют , и они коммутируют с каждой матрицей кватернионов. Теперь примените рецепт ( 8 ) к каждому блоку,

${\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},$

и соотношения ( 9 ) будут выполняться, если

$X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.$

Алгебра Ли становится

${\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.$

Группу дает

$\mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.$

Возвращаясь к нормальной форме φ ( w , z ) для Sp( p , q ) , сделайте замены w → u + jv и z → x + jy с u, v, x, y ∈ C ^н . Затем

$\varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)$

рассматривается как H -значная форма на C ^22н . Таким образом, элементы Sp( p , q ) , рассматриваемые как линейные преобразования C ^22н , сохраняют как эрмитову форму сигнатуры (2 p , 2 q ) , так и невырожденную кососимметричную форму. Обе формы принимают чисто комплексные значения и благодаря префактору j второй формы сохраняются отдельно. Это означает, что

$\mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)$

и это объясняет как название группы, так и обозначения.

ТО ^∗ (2 n ) = O( n , H)- кватернионная ортогональная группа

Нормальная форма косоэрмитовой формы имеет вид

$\varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},$

где j — третий базисный кватернион в упорядоченном списке ( 1 , i , j , k ) . В этом случае Aut( φ ) = O ^∗ (2 n ) может быть реализовано с использованием комплексного матричного кодирования, описанного выше, как подгруппа O(2 n , C ) , которая сохраняет невырожденную комплексную косоэрмитовую форму сигнатуры ( n , n ) . Из нормальной формы видно, что в кватернионной записи

$\Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}$

а из ( 6 ) следует, что

$-\Phi V^{*}\Phi =-V\Leftrightarrow V^{*}=\mathrm {j} _{n}V\mathrm {j} _{n}.$ ( 9 )

для V ∈ о (2 п ) . Теперь поставь

$V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)$

по рецепту ( 8 ). То же самое предписание дает для Φ ,

$\Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.$

Теперь последнее условие в ( 9 ) в комплексной записи имеет вид

$\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.$

Алгебра Ли становится

${\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},$

и группа задается

$\mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.$

Группа СО ^∗ (2 n ) можно охарактеризовать как

$\mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},$

где отображение θ : GL(2 n , C ) → GL(2 n , C ) определяется формулой g ↦ - J _{2 n} gJ _{2 n} .

Также форму, определяющую группу, можно рассматривать как H -значную форму на C ^22н . Сделайте замены x → w ₁ + iw ₂ и y → z ₁ + iz ₂ в выражении формы. Затем

$\varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).$

Форма φ ₁ является эрмитовой (в то время как первая форма в левой части является косоэрмитовой) сигнатуры ( n , n ) . Подпись становится очевидной благодаря изменению базиса с ( e , f ) на (( e + i f )/ √ 2 , ( e − i f )/ √ 2 ), где e , f - первые и последние n базисных векторов. соответственно. Вторая форма, φ2 _, является симметричной положительно определенной. Таким образом, благодаря фактору j , O ^∗ (2 n ) сохраняет оба по отдельности, и можно заключить, что

$\mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),$

и поясняется обозначение «О».

полями

Классические группы, более широко рассматриваемые в алгебре, представляют собой особенно интересные матричные группы . Когда поле   F коэффициентов группы матриц представляет собой либо действительное число, либо комплексное число, эти группы являются просто классическими группами Ли. Если основное поле является конечным полем , то классические группы являются группами лиева типа . Эти группы играют важную роль в классификации конечных простых групп . Также можно рассматривать классические группы над ассоциативной алгеброй   с единицей R над F ; где R = H (алгебра над действительными числами) представляет собой важный случай. Для общности в статье будут упоминаться группы над R , где R основным полем F. может быть самим

Учитывая их абстрактную теорию групп, многие линейные группы имеют « специальную » подгруппу, обычно состоящую из элементов определителя 1 над основным полем, и большинству из них присущи « проективные » факторы, которые являются факторами по центру группы. . Для ортогональных групп в характеристике 2 «S» имеет другой смысл.

Слово « general » перед именем группы обычно означает, что группе разрешено умножать некоторую форму на константу, а не оставлять ее фиксированной. Индекс n обычно указывает на размерность модуля , на котором действует группа; это векторное пространство если R = F. , Предостережение: это обозначение несколько противоречит n диаграмм Дынкина, который является рангом.

Общие и специальные линейные группы

Общая линейная группа GL _n ( R ) — это группа всех R -линейных автоморфизмов R ^н . Существует подгруппа: специальная линейная группа SL _n ( R ) и их факторы: проективная общая линейная группа PGL _n ( R ) = GL _n ( R )/Z(GL _n ( R )) и проективная специальная линейная группа . PSL _n ( R ) = SL _n ( R )/Z (SL _n ( R )). Проективная специальная линейная группа PSL _n ( F ) над полем F проста при n ≥ 2, за исключением двух случаев, когда n = 2 и поле имеет порядок 2 или 3.

Унитарные группы

Унитарная группа Un _{полуторалинейную} ( R ) — это группа, сохраняющая форму на модуле. Существует подгруппа, специальная унитарная группа SU _n ( R ) и их факторы — проективная унитарная группа PU _n ( R ) = Un ₍ R ) /Z(U _n ( R )) и проективная специальная унитарная группа PSU _n ( р ) = СУ _п ( р )/Z (СУ _п ( р ))

Симплектические группы

Симплектическая группа Sp _{2 n} ( R ) сохраняет кососимметрическую форму на модуле. Она имеет фактор — проективную симплектическую группу PSp _{2 n} ( R ). Общая симплектическая группа GSp _{2 n} ( R ) состоит из автоморфизмов модуля, умножающего кососимметрическую форму на некоторый обратимый скаляр. Проективная симплектическая группа PSp _{2 n} ( F _q ) над конечным полем проста при n ≥ 1, за исключением случаев PSp ₂ над полями из двух и трех элементов.

Ортогональные группы

Ортогональная группа O _n ( R ) сохраняет невырожденную квадратичную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная ортогональная группа SO _n ( R ) и факторы, проективная ортогональная группа PO _n ( R ) и проективная специальная ортогональная группа PSO _n ( R ). В характеристике 2 определитель всегда равен 1, поэтому специальную ортогональную группу часто определяют как подгруппу элементов инварианта Диксона 1.

Существует безымянная группа, часто обозначаемая Ω _n ( R ), состоящая из элементов ортогональной группы элементов спинорной нормы 1 с соответствующими подгруппами и факторгруппами SΩ _n ( R ), PΩ _n ( R ), PSΩ _n ( R ). (Для положительно определенных квадратичных форм над вещественными числами группа Ω оказывается такой же, как ортогональная группа, но в общем случае она меньше.) Существует также двойное покрытие Ω _n ( R ), называемое группой выводов Pin _n ( R ), и у него есть подгруппа, называемая спиновой группой Spin _n ( R ). Общая ортогональная группа GO _n ( R ) состоит из автоморфизмов модуля, умножающего квадратичную форму на некоторый обратимый скаляр.

Условные обозначения

Дополнительная информация: Группа типов Ли § Проблемы с обозначениями.

группами

Контрастом классических групп Ли являются исключительные группы Ли G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ , которые имеют общие абстрактные свойства, но не знакомы. Они были открыты только около 1890 года в классификации простых алгебр Ли над комплексными числами Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .

Ссылки

• Э. Артин (1957) Геометрическая алгебра , главы III, IV и V из Интернет-архива.
• Дьедонне, Жан (1955), La géométrie des groupes classiques , результаты математики и ее пограничные области (NF), выпуск 5, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-05391-2 , МР   0072144
• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (2009), Симметрия, представления и инварианты , Тексты для аспирантов по математике, том. 255, Шпрингер-Верлаг , ISBN  978-0-387-79851-6
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN  0-8176-4259-5 .
• В.Л. Попов (2001) [1994], «Классическая группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• Вейль, Герман (1939), Классические группы. Их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-05756-9 , МР   0000255