Симплектическая группа

В математике название симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным наборам математических групп , обозначаемых $Sp(2 n, F)$ и $Sp(n)$ для положительного целого числа n и поля F (обычно C или R ). Последняя называется компактной симплектической группой и обозначается также $\mathrm {USp} (n)$ . Многие авторы предпочитают несколько иные обозначения, обычно отличающиеся в $2$ раза . Используемые здесь обозначения соответствуют размеру наиболее распространенных матриц , представляющих группы. В Картана классификации Простых алгебр Ли алгебра Ли комплексной группы $Sp(2n, C) обозначается$ Cn $, а$ Sp $(n)$ — компактная вещественная форма Sp $(2n, C)$ . Обратите внимание: когда мы говорим о ( компактной ) симплектической группе, подразумевается, что мы говорим о совокупности (компактных) симплектических групп, индексированных по их размерности $n$ .

Название « симплектическая группа» было придумано Германом Вейлем в качестве замены предыдущих сбивающих с толку названий ( линия ) комплексная группа и абелева линейная группа и является греческим аналогом слова «комплекс».

Метаплектическая группа является двойным накрытием симплектической группы над R ; оно имеет аналоги над другими локальными полями , конечными полями и кольцами аделей .

$Sp(2 n, F)$

Симплектическая группа — классическая группа, определяемая как совокупность линейных преобразований векторного $2 n$ -мерного пространства над полем $F$ , сохраняющих невырожденную кососимметрическую билинейную форму . Такое векторное пространство называется симплектическим векторным пространством , а симплектическая группа абстрактного симплектического векторного пространства $V$ обозначается $Sp(V)$ . После установления базиса для $V$ симплектическая группа становится группой $размером 2 n \times 2 n$ симплектических матриц с элементами в $F$ в результате операции умножения матриц . Эта группа обозначается либо $Sp(2 n, F)$ или $Sp(n, F)$ . Если билинейная форма представлена неособой кососимметричной матрицей Ω, то

\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},

где М ^Т это транспонирование М. Часто Ω определяется как

\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},

где I _n — единичная матрица. В этом случае $Sp(2 n, F)$ можно выразить как блочные матрицы $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ , где $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$ , удовлетворяющий трем уравнениям:

{\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}

Поскольку все симплектические матрицы имеют определитель $1$ , симплектическая группа является подгруппой специальной линейной группы $SL(2 n, F)$ . Когда $n = 1$ , условие симплектики на матрице выполняется тогда и только тогда, когда определитель равен единице, так что $Sp(2, F) = SL(2, F)$ . Для $n > 1$ существуют дополнительные условия, т.е. $Sp(2 n, F)$ является тогда собственной подгруппой $SL(2 n, F)$ .

Обычно поле $F$ представляет собой поле действительных чисел $R$ или чисел $C.$ комплексных В этих случаях $Sp(2 n, F)$ является вещественной или комплексной группой Ли вещественной или комплексной размерности $n (2 n + 1)$ соответственно. Эти группы связны , но некомпактны .

Центр 2 Sp $(2 n, F)$ матриц $I состоит из n$ и $- I 2 n$ до тех пор, пока характеристика поля не равна $2$ . ^[1] Поскольку центр $Sp(2 n, F)$ дискретен, а его фактор по модулю центра является простой группой , $Sp(2 n, F)$ считается простой группой Ли .

Действительный ранг соответствующей алгебры Ли и, следовательно, группы Ли $Sp(2 n, F)$ равен $n$ .

Алгеброй Ли Sp $(2 n, F)$ является множество

{\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},

оснащен коммутатором в качестве кронштейна Ли. ^[2] Для стандартной кососимметричной билинейной формы $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ , эта алгебра Ли представляет собой множество всех блочных матриц $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ при соблюдении условий

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

$Sp(2 n, C)$

Симплектическая группа над полем комплексных чисел — это некомпактная односвязная простая группа Ли .

$Sp(2 n, R)$

$Sp(n, C)$ — комплексификация вещественной группы $Sp(2 n, R)$ . $Sp(2 n, R)$ — вещественная некомпактная связная группа Ли простая . ^[3] Он имеет фундаментальную группу , изоморфную группе целых чисел сложенных . Как действительная форма простой группы Ли, ее алгебра Ли является расщепимой алгеброй Ли .

Некоторые дополнительные свойства $Sp(2 n, R)$ :

Экспоненциальное отображение алгебры Ли $sp (2n, R) в$ группу $Sp(2n, R)$ не является сюръективным . Однако любой элемент группы можно представить как произведение двух экспонент. ^[4] Другими словами,

\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.

Для всех $S$ в $Sp(2 n, R)$ :

S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.

Матрица

D

положительно определена и диагональна . Множество таких

Z

образует некомпактную подгруппу в

Sp(2 n, R),

тогда как

U(n)

образует компактную подгруппу. Это разложение известно как разложение «Эйлера» или «Блоха – Мессии». ^[5] Дополнительные свойства симплектической матрицы можно найти на этой странице Википедии.

Как группа Ли , $Sp(2 n, R)$ имеет структуру многообразия. Многообразие для n $Sp(2n, R) диффеоморфно$ декартову ( произведению унитарной группы U $)) с$ векторным пространством размерности $n (n +1$ . ^[6]

Бесконечно-малые генераторы

Членами симплектической алгебры Ли $sp (2n, F) являются$ гамильтоновы матрицы .

Это матрицы, $Q$ такой, что

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

где $B$ и $C$ — симметричные матрицы . См. классической группы вывод .

Пример симплектических матриц

Для $Sp(2, R)$ группы $матриц 2 \times 2$ с определителем $1$ три симплектические $(0, 1)$ -матрицы: ^[7]

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Сп(2n, R)

Оказывается, $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ может иметь достаточно явное описание с использованием генераторов. Если мы позволим $\operatorname {Sym} (n)$ обозначим симметричный $n\times n$ матрицы, тогда $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ генерируется $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$ где

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

являются подгруппами $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ ^[8]^{стр. 173}^[9]^{стр. 2}.

Связь с симплектической геометрией

Симплектическая геометрия — это изучение симплектических многообразий . Касательное пространство в любой точке симплектического многообразия является симплектическим векторным пространством . ^[10] Как отмечалось ранее, преобразования симплектического векторного пространства, сохраняющие структуру, образуют группу , и эта группа равна $Sp(2 n, F)$ , в зависимости от размерности пространства и поля , в котором она определена.

Симплектическое векторное пространство само по себе является симплектическим многообразием. Таким образом, преобразование под действием симплектической группы в некотором смысле является линеаризованной версией симплектоморфизма , который представляет собой более общее преобразование, сохраняющее структуру на симплектическом многообразии.

$Сп(п)$

Компактная симплектическая группа ^[11] $Sp(n)$ является пересечением $Sp(2 n, C)$ с $2n\times 2n$ унитарная группа:

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

Иногда его записывают как $USp(2 n)$ . Альтернативно, $Sp(n)$ можно описать как подгруппу $GL(n, H)$ (обратимых кватернионных матриц), которая сохраняет стандартную эрмитову форму на $H н$ :

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

То есть $Sp(n)$ — это просто кватернионная унитарная группа U $(n, H)$ . ^[12] Действительно, ее иногда называют гиперунитарной группой . Также Sp(1) — это группа кватернионов нормы $1$ , эквивалентная $SU(2)$ и топологически $3$ -сфера $S. 3$ .

Заметим, что $Sp(n)$ является не симплектической группой в смысле предыдущего раздела — она не сохраняет невырожденную кососимметрическую $H$ -билинейную форму на $H н$ : нет такой формы, кроме нулевой формы. Скорее, он изоморфен подгруппе $Sp(2 n, C)$ и поэтому сохраняет комплексную симплектическую форму в векторном пространстве удвоенной размерности. Как объясняется ниже, алгебра Ли $Sp(n)$ является компактной вещественной формой комплексной симплектической алгебры Ли $sp (2n, C)$ .

$Sp(n)$ — вещественная группа Ли с (вещественной) размерностью $n (2 n + 1)$ . Он компактен и просто подключается . ^[13]

Алгебра Ли $Sp(n)$ задается кватернионными косоэрмитовыми матрицами, набором $n -n кватернионных матриц ,$ которые удовлетворяют

A+A^{\dagger }=0

где $А †$ является сопряженным транспонированием A $.$ (здесь используется кватернионное сопряжение) Скобка Ли задается коммутатором.

Важные подгруппы

Некоторые основные подгруппы:

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)

И наоборот, она сама является подгруппой некоторых других групп:

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

Существуют также изоморфизмы алгебр Ли $sp (2) = so (5)$ и $sp (1) = so (3) = su (2)$ .

Отношения между симплектическими группами

Каждая сложная полупростая алгебра Ли имеет расщепленную действительную форму и компактную действительную форму ; первое называется комплексификацией двух последних.

Алгебра Ли $Sp(2n, C)$ полупроста ) обозначается $sp (2n, C и$ . Его расщепленная вещественная форма — $sp (2n, R),$ а компактная вещественная форма — $sp (n)$ . Они соответствуют группам Ли $Sp(2 n, R)$ и $Sp(n)$ соответственно.

Алгебры $sp (p, n - p)$ , которые являются алгебрами Ли $Sp(p, n - p)$ , являются неопределенной сигнатурой, эквивалентной компактной форме.

Физическое значение

Классическая механика

Некомпактная симплектическая группа $Sp(2 n, R)$ возникает в классической физике как симметрии канонических координат, сохраняющие скобку Пуассона.

Рассмотрим систему из $n$ частиц, эволюционирующую по уравнениям Гамильтона , положение которой в фазовом пространстве в данный момент времени обозначается вектором канонических координат ,

\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.

Элементы группы $Sp(2 n, R)$ являются в определенном смысле каноническими преобразованиями на этом векторе, т. е. сохраняют форму уравнений Гамильтона . ^[14]^[15] Если

\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }

— новые канонические координаты, то с точкой, обозначающей производную по времени,

{\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},

где

M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )

для всех $t$ и всех $z$ в фазовом пространстве. ^[16]

В частном случае риманова многообразия уравнения Гамильтона описывают геодезические на этом многообразии. Координаты $q^{i}$ живут в базовом многообразии, а импульсы $p_{i}$ живут в котангенсе . По этой причине их традиционно пишут с верхними и нижними индексами; это значит различать их расположение. Соответствующий гамильтониан состоит исключительно из кинетической энергии: это $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ где $g^{ij}$ является обратным метрическому тензору $g_{ij}$ на римановом многообразии. ^[17]^[15] Фактически, кокасательное расслоение любого задано симплектической структурой гладкого многообразия может быть каноническим образом , причем симплектическая форма определяется как внешняя производная тавтологической одноформы . ^[18]

Квантовая механика

Рассмотрим систему из $n$ частиц, квантовое состояние которой кодирует ее положение и импульс. Эти координаты являются непрерывными переменными и, следовательно, гильбертово пространство , в котором живет состояние, бесконечномерно. Это часто затрудняет анализ данной ситуации. Альтернативный подход состоит в рассмотрении эволюции операторов положения и импульса под действием уравнения Гейзенберга в фазовом пространстве .

Постройте вектор канонических координат ,

\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.

Каноническое коммутационное соотношение можно просто выразить как

[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega

где

\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}

I $— n$ единичная $матрица размера n \times n$ .

Во многих физических ситуациях требуются только квадратичные гамильтонианы , т.е. гамильтонианы вида

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}

где $K$ — $размером 2 n \times 2 n$ вещественная симметричная матрица . Это оказывается полезным ограничением и позволяет нам переписать уравнение Гейзенберга в виде

{\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}

Решение этого уравнения должно сохранять каноническое коммутационное соотношение . Можно показать, что временная эволюция этой системы эквивалентна действию вещественной симплектической группы $Sp(2 n, R)$ на фазовое пространство.

См. также

Примечания

^ «Симплектическая группа» , Математическая энциклопедия Проверено 13 декабря 2014 г.
^ Зал 2015 г. , Предложение 3.25.
^ "Проста ли симплектическая группа Sp(2 n , R )?" , Stack Exchange Проверено 14 декабря 2014 г.
^ "Является ли экспоненциальное отображение Sp(2 n , R ) сюръективным?" , Stack Exchange Проверено 5 декабря 2014 г.
^ «Стандартные формы и инженерия запутанности многомодовых гауссовских состояний при локальных операциях - Серафини и Адессо» , Проверено 30 января 2015 г.
^ «Симплектическая геометрия - Арнольд и Гивенталь» , дата обращения 30 января 2015 г.
^ Symplectic Group , (источник: Wolfram MathWorld ), загружено 14 февраля 2012 г.
^ Джеральд Б. Фолланд. (2016). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон: Princeton Univ Press. п. 173. ИСБН 978-1-4008-8242-7 . OCLC 945482850 .
^ Хаберманн, Катарина, 1966- (2006). Введение в симплектические операторы Дирака . Спрингер. ISBN 978-3-540-33421-7 . OCLC 262692314 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ «Конспекты лекций - Лекция 2: Симплектическая редукция» , дата обращения 30 января 2015 г.
^ Зал 2015 г., раздел 1.2.8.
^ Холл 2015 с. 14
^ Зал 2015 г. , Предложение 13.12.
^ Арнольд 1989 дает обширный математический обзор классической механики. См. главу 8 о симплектических многообразиях .
^ Jump up to: ^а ^б Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X
^ Гольдштейн 1980 , раздел 9.3.
^ Юрген Йост, (1992) Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer.
^ да Силва, Ана Каннас (2008). Лекции по симплектической геометрии . Конспект лекций по математике. Том. 1764. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 9. дои : 10.1007/978-3-540-45330-7 . ISBN 978-3-540-42195-5 .

Ссылки

Арнольд, VI (1989), Математические методы классической механики , Тексты для аспирантов по математике , том. 60 (второе изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991), Теория представлений, Первый курс , Тексты для аспирантов по математике , том. 129, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-97495-8 .
Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Ридинг MA: Аддисон-Уэсли . ISBN 0-201-02918-9 .
Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Тексты для аспирантов по математике , том. 218, Шпрингер-Верлаг , ISBN 0-387-95448-1
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Ферраро, Алессандро; Оливарес, Стефано; Пэрис, Маттео Г.А. (март 2005 г.), «Гауссовы состояния в квантовой информации с непрерывной переменной», arXiv : quant-ph/0503237 .

[1] «Симплектическая группа» , Математическая энциклопедия Проверено 13 декабря 2014 г.

[2] Зал 2015 г. , Предложение 3.25.

[3] "Проста ли симплектическая группа Sp(2 n , R )?" , Stack Exchange Проверено 14 декабря 2014 г.

[4] "Является ли экспоненциальное отображение Sp(2 n , R ) сюръективным?" , Stack Exchange Проверено 5 декабря 2014 г.

[5] «Стандартные формы и инженерия запутанности многомодовых гауссовских состояний при локальных операциях - Серафини и Адессо» , Проверено 30 января 2015 г.

[6] «Симплектическая геометрия - Арнольд и Гивенталь» , дата обращения 30 января 2015 г.

[7] Symplectic Group , (источник: Wolfram MathWorld ), загружено 14 февраля 2012 г.

[8] Джеральд Б. Фолланд. (2016). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон: Princeton Univ Press. п. 173. ИСБН 978-1-4008-8242-7 . OCLC 945482850 .

[9] Хаберманн, Катарина, 1966- (2006). Введение в симплектические операторы Дирака . Спрингер. ISBN 978-3-540-33421-7 . OCLC 262692314 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[10] «Конспекты лекций - Лекция 2: Симплектическая редукция» , дата обращения 30 января 2015 г.

[11] Зал 2015 г., раздел 1.2.8.

[12] Холл 2015 с. 14

[13] Зал 2015 г. , Предложение 13.12.

[14] Арнольд 1989 дает обширный математический обзор классической механики. См. главу 8 о симплектических многообразиях .

[A&M-15] Jump up to: ^а ^б Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN 0-8053-0102-X

[16] Гольдштейн 1980 , раздел 9.3.

[17] Юрген Йост, (1992) Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer.

[18] да Силва, Ана Каннас (2008). Лекции по симплектической геометрии . Конспект лекций по математике. Том. 1764. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 9. дои : 10.1007/978-3-540-45330-7 . ISBN 978-3-540-42195-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

Sp(2 n , F )

Sp(2 n , C )

Sp(2 n , R )