Касательное пространство

В математике касательное пространство многообразия представляет собой обобщение касательных линий к кривым в двумерном пространстве и касательных плоскостей к поверхностям в трехмерном пространстве в более высоких измерениях. В контексте физики касательное пространство к многообразию в точке можно рассматривать как пространство возможных скоростей частицы, движущейся по многообразию.

Неофициальное описание

Наглядное изображение касательного пространства одной точки. $x$ на сфере . Вектор в этом касательном пространстве представляет собой возможную скорость (чего-то, движущегося по сфере) при $x$. После движения в этом направлении к ближайшей точке скорость будет задаваться вектором в касательном пространстве этой точки — другом касательном пространстве, которое не показано.

В дифференциальной геометрии к каждой точке можно присоединить $x$ дифференцируемого многообразия касательное пространство — вещественное векторное пространство , которое интуитивно содержит возможные направления, в которых можно касательно пройти через $x$. Элементы касательного пространства при $x$ называются касательными векторами при $x$. Это обобщение понятия вектора , основанного на данной начальной точке, в евклидовом пространстве . Размерность самого касательного пространства в каждой точке связного многообразия такая же, как и размерность многообразия .

Например, если данное многообразие является $2$- сфера , то можно представить касательное пространство в точке как плоскость, которая касается сферы в этой точке и перпендикулярна радиусу сферы, проходящему через эту точку. В более общем смысле, если данное многообразие мыслить как вложенное подмногообразие евклидова пространства , то можно буквально представить касательное пространство. Это был традиционный подход к определению параллельного транспорта . Его используют многие авторы по дифференциальной геометрии и общей теории относительности . Более строго, это определяет аффинное касательное пространство, которое отличается от пространства касательных векторов, описываемого современной терминологией.

В алгебраической геометрии , напротив, существует внутреннее определение касательного пространства в точке алгебраического многообразия. $V$ что дает векторное пространство с размерностью не ниже $V$ сам. Очки $p$ при котором размерность касательного пространства в точности равна размерности $V$ называются неособыми точками; остальные называются особыми точками. Например, кривая, которая пересекает сама себя, не имеет единственной касательной в этой точке. Особые точки $V$ это те, где «тест на многообразие» не проходит. См. касательное пространство Зарисского .

После введения касательных пространств многообразия можно определить векторные поля , которые являются абстракцией поля скорости частиц, движущихся в пространстве. Векторное поле плавно присоединяет к каждой точке многообразия вектор из касательного пространства в этой точке. Такое векторное поле служит для определения обобщенного обыкновенного дифференциального уравнения на многообразии: решением такого дифференциального уравнения является дифференцируемая кривая на многообразии, производная которой в любой точке равна касательному вектору, прикрепленному к этой точке векторным полем.

Все касательные пространства многообразия могут быть «склеены» вместе, чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие с размерностью в два раза превышающей исходное многообразие, называемое касательным расслоением многообразия.

Формальные определения

Неформальное описание, приведенное выше, основано на способности многообразия быть встроенным в окружающее векторное пространство. $\mathbb {R} ^{m}$ так что касательные векторы могут «выпирать» из многообразия в окружающее пространство. Однако удобнее определить понятие касательного пространства, исходя исключительно из самого многообразия.

Существуют различные эквивалентные способы определения касательных пространств многообразия. Хотя определение через скорость кривых интуитивно является самым простым, оно также и самое громоздкое в работе. Более элегантные и абстрактные подходы описаны ниже.

Определение через касательные кривые

В изображении вложенного многообразия касательный вектор в точке $x$ рассматривается как скорость кривой , проходящей через точку $x$. Поэтому мы можем определить касательный вектор как класс эквивалентности кривых, проходящих через $x$ будучи касательными друг к другу в $x$.

Предположим, что $M$ это $C^{k}$ дифференцируемое многообразие (с гладкостью $k\geq 1$) и это $x\in M$. Выберите координатную карту $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$, где $U$ является открытым подмножеством $M$ содержащий $x$. Предположим далее, что две кривые $\gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M$ с ${\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)$ даны так, что оба $\varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}$ дифференцируемы в обычном смысле (мы называем эти дифференцируемые кривые инициализированными в точке $x$). Затем $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$ называются эквивалентными при $0$ тогда и только тогда, когда производные $\varphi \circ \gamma _{1}$ и $\varphi \circ \gamma _{2}$ в $0$ совпадают. Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых, инициализированных в точке $x$, а классы эквивалентности таких кривых называются касательными векторами $M$ в $x$. Класс эквивалентности любой такой кривой $\gamma$ обозначается $\gamma '(0)$. Касательное пространство ​ $M$ в $x$, обозначенный $T_{x}M$, тогда определяется как набор всех касательных векторов в точке $x$; это не зависит от выбора координатной карты $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$.

Касательное пространство $T_{x}M$ и касательный вектор $v\in T_{x}M$, по кривой, проходящей через $x\in M$.

Чтобы определить операции в векторном пространстве над $T_{x}M$, мы используем диаграмму $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ и определить карту $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}$ к ${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[(\varphi \circ \gamma )(t)]\right|_{t=0},}$ где $\gamma \in \gamma '(0)$. Карта $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ оказывается биективным и может использоваться для переноса операций в векторном пространстве на $\mathbb {R} ^{n}$ к $T_{x}M$, превращая, таким образом, последнее множество в $n$-мерное реальное векторное пространство. Опять же нужно проверить, что эта конструкция не зависит от конкретной карты. $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ и кривая $\gamma$ используется, а на самом деле это не так.

Определение через производные

Предположим теперь, что $M$ это $C^{\infty }$ многообразие. Действительнозначная функция $f:M\to \mathbb {R}$ говорят, что он принадлежит ${C^{\infty }}(M)$ тогда и только тогда, когда для каждой координатной карты $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$, карта $f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ бесконечно дифференцируема. Обратите внимание, что ${C^{\infty }}(M)$ является вещественной ассоциативной алгеброй относительно поточечного произведения и суммы функций и скалярного умножения.

Вывод ​ на $x\in M$ определяется как линейное отображение $D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R}$ удовлетворяющее тождеству Лейбница

$$\forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),$$

которое моделируется на основе правила произведения исчисления.

(Для каждой тождественно постоянной функции $f={\text{const}},$ отсюда следует, что $D(f)=0$).

Обозначим $T_{x}M$ множество всех выводов в $x.$ Параметр

• $(D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)$ и
• $(\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)$

поворачивается $T_{x}M$ в векторное пространство.

Обобщения

Обобщения этого определения возможны, например, на комплексные многообразия и алгебраические многообразия . Однако вместо рассмотрения выводов $D$ из полной алгебры функций вместо этого следует работать на уровне зародышей функций. Причина этого в том, что пучок структур может не подходить для таких структур. Например, пусть $X$ быть алгебраическим многообразием со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X}$. Тогда касательное пространство Зарисского в точке $p\in X$ это совокупность всех $\mathbb {k}$-выводы $D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k}$, где $\mathbb {k}$ это поле земли и ${\mathcal {O}}_{X,p}$ это стебель ​ ${\mathcal {O}}_{X}$ в $p$.

Эквивалентность определений

Для $x\in M$ и дифференцируемая кривая $\gamma :(-1,1)\to M$ такой, что $\gamma (0)=x,$ определять ${D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)$ (где производная берется в обычном смысле, поскольку $f\circ \gamma$ это функция от $(-1,1)$ к $\mathbb {R}$). Можно убедиться в том, что $D_{\gamma }(f)$ является выводом в точке $x,$ и что эквивалентные кривые дают один и тот же вывод. Таким образом, для класса эквивалентности $\gamma '(0),$ мы можем определить ${D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),$ где кривая $\gamma \in \gamma '(0)$ было выбрано произвольно. Карта $\gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}$ является изоморфизмом векторного пространства между пространством классов эквивалентности $\gamma '(0)$ и выводов в точке $x.$

Определение через котангенсы

Опять же, мы начинаем с $C^{\infty }$ многообразие $M$ и точка $x\in M$. Рассмотрим идеал $I$ из $C^{\infty }(M)$ который состоит из всех гладких функций $f$ исчезает в $x$, то есть, $f(x)=0$. Затем $I$ и $I^{2}$ являются как действительными векторными пространствами, так и фактор-пространством $I/I^{2}$ можно показать, что он изоморфен кокасательному пространству $T_{x}^{*}M$ с помощью теоремы Тейлора . Касательное пространство $T_{x}M$ может быть тогда определен как пространство двойственное $I/I^{2}$.

Хотя это определение является наиболее абстрактным, оно также легче всего переносится на другие ситуации, например, на многообразия, рассматриваемые в алгебраической геометрии .

Если $D$ является производным от $x$, затем $D(f)=0$ для каждого $f\in I^{2}$, а это значит, что $D$ приводит к линейной карте $I/I^{2}\to \mathbb {R}$. И наоборот, если $r:I/I^{2}\to \mathbb {R}$ является линейным отображением, то $D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)$ определяет вывод в $x$. Это приводит к эквивалентности между касательными пространствами, определенными посредством дифференцирований, и касательными пространствами, определенными через кокасательные пространства.

Свойства

Если $M$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$, затем $M$ это $C^{\infty }$ многообразия естественным образом (примем координатные карты как тождественные карты открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$), и все касательные пространства естественным образом отождествляются с $\mathbb {R} ^{n}$.

векторы как производные

Другой способ рассматривать касательные векторы — это производные по направлению . Учитывая вектор $v$ в $\mathbb {R} ^{n}$, определяется соответствующая производная по направлению в точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ к

$\forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).$

Это отображение, естественно, является выводом $x$. Более того, каждый вывод в какой-то момент $\mathbb {R} ^{n}$ имеет такую ​​форму. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между векторами (которые рассматриваются как касательные векторы в точке) и производными в точке.

Поскольку касательные векторы к общему многообразию в некоторой точке могут быть определены как дифференцирования в этой точке, естественно думать о них как о производных по направлению. В частности, если $v$ является касательным вектором к $M$ в какой-то момент $x$ (думается как вывод), затем определите производную по направлению $D_{v}$ в направлении $v$ к

$\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).$

Если мы думаем о $v$ как начальная скорость дифференцируемой кривой $\gamma$ инициализирован в $x$, то есть, $v=\gamma '(0)$, то вместо этого определите $D_{v}$ к

$\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).$

Основа касательного пространства в точке

Для $C^{\infty }$ многообразие $M$, если диаграмма $\varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}$ дается с $p\in U$, то можно определить упорядоченный базис ${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$ из $T_{p}M$ к

$\forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.$

Тогда для каждого касательного вектора $v\in T_{p}M$, у одного есть

$v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.$

Таким образом, эта формула выражает $v$ как линейная комбинация базисных касательных векторов ${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$ определяется координатной картой $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$.

Производная карты

Основная статья: Pushforward (дифференциал)

Любое гладкое (или дифференцируемое) отображение $\varphi :M\to N$ между гладкими (или дифференцируемыми) многообразиями индуцирует естественные линейные отображения между соответствующими касательными пространствами:

$\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.$

Если касательное пространство определяется через дифференцируемые кривые, то это отображение определяется формулой

${\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).$

Если вместо этого касательное пространство определяется посредством дифференцирований, то это отображение определяется формулой

$[\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).$

Линейная карта $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ называется по-разному производной , полной производной , дифференциалом или выталкиванием вперед $\varphi$ в $x$. Это часто выражается с использованием множества других обозначений:

$D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).$

В некотором смысле производная является лучшим линейным приближением к $\varphi$ около $x$. Обратите внимание, что когда $N=\mathbb {R}$, то карта $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R}$ совпадает с обычным понятием дифференциала функции $\varphi$. В местных координатах производная $\varphi$ задается якобианом .

Важным результатом относительно производного отображения является следующее:

Теорема — Если $\varphi :M\to N$ является локальным диффеоморфизмом в $x$ в $M$, затем $\mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ является линейным изоморфизмом . И наоборот, если $\varphi :M\to N$ непрерывно дифференцируема и $\mathrm {d} {\varphi }_{x}$ является изоморфизмом, то существует открытая окрестность $U$ из $x$ такой, что $\varphi$ карты $U$ диффеоморфно на его образ.

Это обобщение теоремы об обратной функции на отображения между многообразиями.

См. также

• Координатно-индуцированный базис
• Котангенс пространство
• Дифференциальная геометрия кривых
• Экспоненциальная карта
• Векторное пространство

Ссылки

• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество .
• Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике, том. 93, Провиденс: Американское математическое общество .
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления , WA Benjamin, Inc., ISBN  978-0-8053-9021-6 .

Внешние ссылки

• Касательные плоскости в MathWorld