Вторичное исчисление и когомологическая физика
В математике — вторичное исчисление это предлагаемое расширение классического дифференциального исчисления на многообразиях до «пространства» решений (нелинейного) дифференциального уравнения в частных производных . Это сложная теория на уровне пространств джетов , использующая алгебраические методы.
Вторичное исчисление [ править ]
Вторичное исчисление действует на пространстве решений системы уравнений в частных производных (обычно нелинейных уравнений). Когда число независимых переменных равно нулю, т. е. уравнения являются алгебраическими, вторичное исчисление сводится к классическому дифференциальному исчислению .
Все объекты вторичного исчисления представляют собой классы когомологий дифференциальных комплексов, растущих на разностях . Последние в рамках вторичного исчисления являются аналогом гладких многообразий .
Когомологическая физика [ править ]
Когомологическая физика родилась с теоремы Гаусса , описывающей электрический заряд, содержащийся внутри данной поверхности, через поток электрического поля через саму поверхность. Поток является интегралом дифференциальной формы и, следовательно, классом когомологий де Рама . Не случайно формулы такого рода, как, например, известная формула Стокса , хотя и являются естественной частью классического дифференциального исчисления, но пришли в современную математику из физики.
Классические аналоги [ править ]
Все конструкции классического дифференциального исчисления имеют аналог во вторичном исчислении. Например, высшие симметрии системы уравнений в частных производных являются аналогом векторных полей на дифференцируемых многообразиях. Оператор Эйлера, который ставит в соответствие каждой вариационной задаче соответствующее уравнение Эйлера–Лагранжа , является аналогом классического дифференциала, сопоставляющего функции на многообразии ее дифференциал. Оператор Эйлера является вторичным дифференциальным оператором первого порядка, даже если по его выражению в локальных координатах он выглядит как оператор бесконечного порядка. В более общем смысле, аналогом дифференциальных форм во вторичном исчислении являются элементы первого члена так называемой C-спектральной последовательности и так далее.
Простейшие различия представляют собой бесконечное продолжение уравнений в частных производных , которые являются подмногообразиями бесконечных пространств струй . Последние представляют собой бесконечномерные многообразия, которые невозможно изучить средствами стандартного функционального анализа . Напротив, наиболее естественным языком для изучения этих объектов является дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами . Поэтому последний следует рассматривать как фундаментальный инструмент вторичного исчисления. С другой стороны, дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами дает возможность развивать алгебраическую геометрию так, как если бы это была дифференциальная геометрия.
Теоретическая физика [ править ]
Недавние разработки физики элементарных частиц , основанные на квантовой теории поля и ее обобщениях, привели к пониманию глубокой когомологической природы величин, описывающих как классические, так и квантовые поля. Поворотным моментом стало открытие знаменитого БРСТ-преобразования . Например, считалось, что наблюдаемые в теории поля — это классы горизонтальных когомологий де Рама, инвариантные относительно соответствующей калибровочной группы и так далее. Это течение в современной теоретической физике действительно набирает обороты. [ нужна цитата ] и это называется когомологической физикой.
Характерно, что вторичное исчисление и когомологическая физика, развивавшиеся в течение двадцати лет независимо друг от друга, пришли к одним и тем же результатам. Их слияние произошло на международной конференции « Вторичное исчисление и когомологическая физика» (Москва, 24–30 августа 1997 г.).
Перспективы [ править ]
В рамках вторичного исчисления гармонично сходится большое количество современных математических теорий, например: коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия , гомологическая алгебра и дифференциальная топология , теория групп Ли и алгебры Ли , дифференциальная геометрия и др.
См. также [ править ]
- Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами - часть коммутативной алгебры.
- Спектр кольца - Набор простых идеалов кольца.
Ссылки [ править ]
- И. С. Красильщик, Исчисление над коммутативными алгебрами: краткое руководство пользователя , Acta Appl. Математика. 49 (1997) 235–248; ДИПС-01/98
- И. С. Красильщик, А. М. Вербовецкий, Гомологические методы в уравнениях математической физики , Открытое изд. и наук, Опава (Чехия), 1998; ДИПС-07/98 .
- И. С. Красильщик, А. М. Виноградов (ред.), Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Переводы матем. Монографии 182, амер. Математика. Социум, 1999.
- Дж. Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые , Дипломные тексты по математике 220, Springer, 2002, дои : 10.1007/978-3-030-45650-4 .
- А. М. Виноградов, C-спектральная последовательность, лагранжев формализм и законы сохранения I. Линейная теория , J. Math. Анальный. Прил. 100 (1984) 1–40; Diffiety Inst. Библиотека .
- А. М. Виноградов. C-спектральная последовательность, лагранжев формализм и законы сохранения. II. Нелинейная теория , J. Math. Анальный. Прил. 100 (1984) 41–129; Diffiety Inst. Библиотека .
- А. М. Виноградов, От симметрий уравнений в частных производных к вторичному («квантованному») исчислению , Журн. геометрия. Физ. 14 (1994) 146–194; Diffiety Inst. Библиотека .
- А. М. Виноградов, Введение во вторичное исчисление , Учеб. Конф. Вторичное исчисление и физика когомологий (ред. М. Энно, И. С. Красильщик и А. М. Виноградов), Современная математика, Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1998 г.; ДИПС-05/98 .
- А. М. Виноградов, Когомологический анализ уравнений в частных производных и вторичное исчисление , Переводы матем. Монографии 204, амер. Математика. Социум, 2001.