Закрытый коллектор

Для более широкого освещения этой темы см. Классификацию многообразий § Множество точек .

В математике — замкнутое многообразие это без края компактное многообразие . Для сравнения: открытое многообразие — это многообразие без края, имеющее только некомпактные компоненты.

Примеры

Единственный связный одномерный пример — это круг . Сфера тор , — и бутылка Клейна замкнутые двумерные многообразия. Настоящее проективное пространство RP ^н является замкнутым n-мерным многообразием. Комплексное проективное пространство CP ^н является замкнутым 2n-мерным многообразием. Линия не является замкнутой , поскольку она некомпактна. — Замкнутый диск компактное двумерное многообразие, но оно не замкнуто, поскольку имеет границу.

Свойства

Каждое замкнутое многообразие является ретрактом евклидовой окрестности и, следовательно, имеет конечно порожденные группы гомологии.

Если $M$ — замкнутое связное n-многообразие, n-я группа гомологий $H_{n}(M;\mathbb {Z} )$ является $\mathbb {Z}$ или 0 в зависимости от того, $M$ ориентируемый или нет. Более того, периодическая подгруппа (n-1)-й группы гомологий $H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )$ равно 0 или $\mathbb {Z} _{2}$ в зависимости от того, $M$ориентируемый или нет. Это следует из применения теоремы об универсальных коэффициентах .

Позволять $R$быть коммутативным кольцом. Для $R$-ориентируемый $M$с фундаментальный класс $[M]\in H_{n}(M;R)$, карта $D:H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)$ определяется $D(\alpha )=[M]\cap \alpha$является изоморфизмом для всех k. Это двойственность Пуанкаре . В частности, каждое замкнутое многообразие $\mathbb {Z} _{2}$-ориентируемый. Значит, всегда существует изоморфизм $H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})$.

Открытые коллекторы

Для связного многообразия «открытое» эквивалентно «без края и некомпактному», но для несвязного многообразия «открытое» является более сильным. Например, дизъюнктное объединение окружности и прямой некомпактно, поскольку линия некомпактна, но это не открытое многообразие, поскольку окружность (одна из ее компонент) компактна.

Злоупотребление языком

В большинстве книг многообразие обычно определяется как пространство, которое локально гомеоморфно евклидову пространству (наряду с некоторыми другими техническими условиями), поэтому по этому определению многообразие не включает свою границу, когда оно вложено в большее пространство. Однако это определение не охватывает некоторые базовые объекты, такие как закрытый диск , поэтому авторы иногда определяют многообразие с краем и оскорбительно говорят «многообразие» без ссылки на край. Но обычно компактное многообразие (компактное относительно лежащей в его основе топологии) может использоваться как синоним замкнутого многообразия, если используется обычное определение многообразия.

Понятие замкнутого многообразия не связано с понятием замкнутого множества . Прямая — это замкнутое подмножество плоскости и многообразие, но не замкнутое многообразие.

Использование в физике

Понятие « закрытая Вселенная » может относиться к Вселенной как к замкнутому многообразию, но, скорее всего, относится к Вселенной как к многообразию постоянной положительной кривизны Риччи .

См. также

• Прирученное многообразие

Ссылки

• Майкл Спивак : Всестороннее введение в дифференциальную геометрию. Том 1. Издание 3-е с исправлениями. Опубликуй или погибни, Хьюстон, Техас, 2005 г. ISBN   0-914098-70-5 .
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002.