Стратифолд

В дифференциальной топологии , разделе математики , стратифолд — это обобщение дифференцируемого многообразия определенные виды особенностей , в котором допускаются . Более конкретно, стратифолд расслаивается на дифференцируемые многообразия (возможно) разных измерений. Стратифолды могут быть использованы для построения новых теорий гомологии . Например, они предоставляют новую геометрическую модель обычной гомологии. Понятие стратифолдов было изобретено Маттиасом Креком . Основная идея аналогична идее топологически стратифицированного пространства , но адаптирована к дифференциальной топологии.

Определения

Прежде чем перейти к стратифолдам, мы определим предварительное понятие, которое отражает минимальное понятие гладкой структуры в пространстве: Дифференциальное пространство (в смысле Сикорского) — это пара $(X,C),$ где X — топологическое пространство, а C — подалгебра непрерывных функций $X\to \mathbb {R}$ такая, что функция находится в C , если она локально в C и $g\circ \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right):X\to \mathbb {R}$ находится в C для $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ гладкий и $f_{i}\in C.$ В простом примере в качестве X берется гладкое многообразие, а в качестве C — только гладкие функции.

Для общего дифференциального пространства $(X,C)$ и точку x в X мы можем определить, как и в случае многообразий, касательное пространство $T_{x}X$как векторное пространство всех дифференцирований функций ростков в точке x . Определить слои $X_{i}=\{x\in X:T_{x}X$ имеет размерность i $\}.$ Для n -мерного многообразия M имеем $M_{n}=M$а все остальные слои пусты. Теперь мы готовы к определению стратифолда, в котором более одного страта может быть непустым:

стратифолд k -мерный — это дифференциальное пространство $(S,C),$где S — локально компактное хаусдорфово пространство со счетной базой топологии. Все скелеты должны быть закрыты. Кроме того, мы предполагаем:

Подвеска

1. The $\left(S_{i},C|_{S_{i}}\right)$ являются i -мерными гладкими многообразиями.
2. всех x в S ограничение определяет изоморфизм слоев Для $C_{x}\to C^{\infty }(S_{i})_{x}.$
3. Все касательные пространства имеют размерность ≤ k .
4. Для каждого x в S и каждой окрестности U этого x существует функция $\rho :U\to \mathbb {R}$ с $\rho (x)\neq 0$ и ${\text{supp}}(\rho )\subset U$ (функция удара).

-мерный стратифолд n называется ориентированным, если его ( n − 1)-слой пуст и его верхний слой ориентирован. Можно также определить стратифолды с краем, так называемые c-стратифолды . Их определяют как пару $(T,\partial T)$ топологических пространств таких, что $T-\partial T$ является n -мерным стратифолдом и $\partial T$ является ( n − 1)-мерным стратифолдом вместе с классом эквивалентности воротников .

Важным подклассом стратифолдов являются регулярные стратифолды, которые можно грубо охарактеризовать как локально охарактеризованные вокруг точки i -страта, как i -страт , умноженный на ( n - i )-мерный стратифолд. Это условие выполняется в большинстве стратифолдов, которые обычно встречаются.

Примеры

Примеров стратифолдов множество. — это открытый конус над многообразием M. Первый пример, который следует рассмотреть , Мы определяем непрерывную функцию от S до действительных чисел как находящуюся в C тогда и только тогда, когда она гладкая на $M\times (0,1)$и оно локально постоянно вокруг точки конуса. Последнее условие является автоматическим по пункту 2 определения стратифолда. мы можем заменить M на стратифолд S. В этой конструкции Конус ориентирован тогда и только тогда, когда S ориентирован и не нульмерен. Если мы рассмотрим (замкнутый) конус с дном, мы получим стратифолд с границей S .

Другими примерами стратифолдов являются одноточечные компактификации и надстройки многообразий, (вещественные) алгебраические многообразия только с изолированными особенностями и (конечные) симплициальные комплексы.

бордизма

Пример отношения бордизма

В этом разделе мы будем считать все стратифолды регулярными. Называем две карты $S,S'\to X$из двух ориентированных компактных k -мерных стратифолдов в пространство X бордантное , если существует ориентированный ( k + 1)-мерный компактный стратифолд T с границей S + (− S ') такой, что отображение в X продолжается до T . Множество классов эквивалентности таких отображений $S\to X$ обозначается $SH_{k}X.$Множества фактически имеют структуру абелевых групп с непересекающимся объединением в качестве сложения. Можно разработать достаточную дифференциальную топологию стратифолдов, чтобы показать, что они определяют теорию гомологии . Четко, $SH_{k}({\text{point}})=0$ для $k>0$ поскольку каждый ориентированный стратифолд S является границей своего конуса, который ориентирован, если $\dim(S)>0.$ Можно показать, что $SH_{0}({\text{point}})\cong \mathbb {Z} .$ Следовательно, по Эйленберга–Стинрода теореме единственности $SH_{k}(X)\cong H_{k}(X)$для любого пространства X , гомотопически эквивалентного CW-комплексу , где H обозначает сингулярные гомологии . Для других пространств эти две теории гомологий не обязательно должны быть изоморфными (примером является одноточечная компактификация поверхности бесконечного рода).

Существует также простой способ определить эквивариантные гомологии с помощью стратифолдов. Пусть G — компактная группа Ли . Затем мы можем определить теорию бордизмов отображения стратифолдов в пространство X с G -действием, как указано выше, только мы требуем, чтобы все стратифолды были снабжены сохраняющим ориентацию свободным G -действием и все отображения были G-эквивариантными. Обозначим через $SH_{k}^{G}(X)$классы бордизмов. Можно доказать $SH_{k}^{G}(X)\cong H_{k-\dim(G)}^{G}(X)$ для любой гомотопии X, эквивалентной CW-комплексу.

Связь с теорией родов

Род — это кольцевой гомоморфизм кольца бордизмов в другое кольцо. Например, эйлерова характеристика определяет кольцевой гомоморфизм $\Omega ^{O}({\text{point}})\to \mathbb {Z} /2[t]$ из неориентированного кольца бордизмов , а сигнатура определяет кольцевой гомоморфизм $\Omega ^{SO}({\text{point}})\to \mathbb {Z} [t]$из ориентированного кольца бордизмов . Здесь t имеет в первом случае степень 1 , а во втором случае степень 4 , поскольку только многообразия размерностей, кратных 4, могут иметь ненулевую сигнатуру. Левые части этих гомоморфизмов представляют собой теории гомологии, вычисляемые в точке. С помощью стратифолдов можно построить теории гомологии так, что правые части представляют собой эти теории гомологии, оцененные в точке, гомологию Эйлера и гомологию Хирцебруха соответственно.

Карты разворота

Предположим, имеется замкнутое вложение $i:N\hookrightarrow M$многообразий с ориентированным нормальным расслоением. Тогда можно определить отображение умкера $H_{k}(M)\to H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).$ Одна из возможностей — использовать стратифолды: представить класс $x\in H_{k}(M)$ по стратифолду $f:S\to M.$Затем сделайте ƒ к N. трансверсальным Пересечение S и N определяет новый стратифолд S ' с отображением в N , который представляет класс в $H_{k+\dim(N)-\dim(M)}(N).$ Эту конструкцию можно повторить в контексте вложения гильбертовых многообразий конечной коразмерности, которое можно использовать в струнной топологии .

Ссылки

• М. Крек, Дифференциальная алгебраическая топология: от стратифолдов к экзотическим сферам , AMS (2010), ISBN   0-8218-4898-4
• Стратифолдная страница
• гомологии Эйлера