Эквивариантные когомологии

В математике ( эквивариантные когомологии или когомологии Бореля ) — теория когомологий из алгебраической топологии , применимая к топологическим пространствам с групповым действием . Ее можно рассматривать как общее обобщение групповых когомологий и обычной теории когомологий . В частности, эквивариантное кольцо когомологий пространства $X$ с действием топологической группы $G$ определяется как обычное кольцо когомологий с кольцом коэффициентов $\Lambda$ гомотопического фактора $EG\times _{G}X$:

$H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda ).$

Если $G$ — тривиальная группа , это обычное когомологий кольцо $X$, тогда как если $X$ сжимаема , она сводится к кольцу когомологий классифицирующего пространства $BG$ (т.е. групповые когомологии $G$ когда G конечна.) Если G действует свободно на X , то каноническое отображение $EG\times _{G}X\to X/G$ является гомотопической эквивалентностью, поэтому получаем: $H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(X/G;\Lambda ).$

Определения

Также возможно определить эквивариантные когомологии $H_{G}^{*}(X;A)$ из $X$ с коэффициентами в $G$-модуль А ; это абелевы группы . Эта конструкция является аналогом когомологий с локальными коэффициентами.

Если X — многообразие , G — компактная группа Ли и $\Lambda$ — поле действительных чисел или поле комплексных чисел (наиболее типичная ситуация), то приведенные выше когомологии можно вычислить с помощью так называемой модели Картана (см. эквивариантные дифференциальные формы ).

Эту конструкцию не следует путать с другими теориями когомологий.такие как когомологии Бредона или когомологии инвариантных дифференциальных форм : если G — компактная группа Ли, то по аргументу усреднения , любую форму можно сделать инвариантной; таким образом, когомологии инвариантных дифференциальных форм не дают новой информации.

двойственность Кошуля Известно, что между эквивариантными когомологиями и обычными когомологиями существует .

Связь с группоидными когомологиями

Для группоида Ли ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ эквивариантные когомологии гладкого многообразия является частным примером группоидных когомологий группоида Ли. Это потому, что учитывая $G$-космос $X$ для компактной группы Ли $G$, существует связанный группоид

${\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]$

чьи эквивариантные группы когомологий можно вычислить с помощью комплекса Картана $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ что представляет собой тотализацию двойного комплекса де Рама группоида. Условия в комплексе Картана:

$\Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}$

где ${\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })$ является симметрической алгеброй двойственной алгебры Ли из группы Ли $G$, и $(-)^{G}$ соответствует $G$-инвариантные формы. Это особенно полезный инструмент для вычисления когомологий $BG$ для компактной группы Ли $G$ поскольку это можно вычислить как когомологии

$[G\rightrightarrows *]$

где действие тривиально в точке. Затем,

$H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}$

Например,

${\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ where }}\deg(t)=2\end{aligned}}$

с тех пор как $U(1)$-действие на двойственной алгебре Ли тривиально.

Гомотопический коэффициент

Гомотопический фактор , также называемый пространством гомотопических орбит или борелевской конструкцией , представляет собой «гомотопически правильную» версию пространства орбит (фактор пространства орбит). $X$ своим $G$-действие), в котором $X$ сначала заменяется большим, но гомотопически эквивалентным пространством, так что действие гарантированно будет свободным .

Для этого построим универсальное расслоение EG → BG для G и напомним, что EG допускает свободное G -действие. Тогда произведение EG × X , гомотопически эквивалентное X, поскольку EG сжимаемо, допускает «диагональное» G -действие, определяемое формулой ( e , x ). г = ( например , г ⁻¹ x ): более того, это диагональное действие бесплатно, поскольку оно бесплатно на EG . Поэтому мы определяем гомотопический фактор X _G как пространство орбит ( EG × X )/ G этого свободного G -действия.

Другими словами, гомотопический фактор — это ассоциированное X -расслоение над BG, полученное действием G на пространство X и главное расслоение EG → BG . Это расслоение X → X _G → BG называется расслоением Бореля .

Пример гомотопического фактора

Следующий пример — предложение 1 из [1] .

Пусть X — комплексная проективная алгебраическая кривая . Мы отождествляем X как топологическое пространство с множеством комплексных точек $X(\mathbb {C} )$, которая является компактной римановой поверхностью . Пусть G — комплексная односвязная полупростая группа Ли. Тогда любое главное G -расслоение на X изоморфно тривиальному расслоению, поскольку классифицирующее пространство $BG$ и 2-связен X имеет вещественную размерность 2. Зафиксируем некоторое гладкое G -расслоение $P_{\text{sm}}$ на Х. ​Тогда любое главное G -расслоение на $X$ изоморфен $P_{\text{sm}}$. Другими словами, набор $\Omega$ всех классов изоморфизма пар, состоящих из главного G -расслоения на X и комплексно-аналитической структуры на нем, можно отождествить с множеством комплексно-аналитических структур на $P_{\text{sm}}$ или, что то же самое, набор голоморфных связностей на X (поскольку связи интегрируемы по причине размерности). $\Omega$ представляет собой бесконечномерное комплексное аффинное пространство и поэтому сжимаемо.

Позволять ${\mathcal {G}}$ — группа всех автоморфизмов $P_{\text{sm}}$ (т. е. калибровочная группа .) Тогда гомотопический фактор $\Omega$ к ${\mathcal {G}}$ классифицирует комплексно-аналитические (или, что эквивалентно, алгебраические) главные G -расслоения на X ; т. е. это именно классифицирующее пространство $B{\mathcal {G}}$ дискретной группы ${\mathcal {G}}$.

Можно определить стек модулей главных расслоений $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ как стек частных $[\Omega /{\mathcal {G}}]$ и тогда гомотопический фактор $B{\mathcal {G}}$ по определению является гомотопическим типом $\operatorname {Bun} _{G}(X)$.

Эквивариантные классы характеристик

Пусть E — эквивариантное векторное расслоение на G - M. многообразии Это приводит к векторному расслоению ${\widetilde {E}}$ о гомотопическом факторе $EG\times _{G}M$ так, чтобы он вернулся к связке ${\widetilde {E}}=EG\times E$ над $EG\times M$. Тогда эквивариантный характеристический класс E является обычным характеристическим классом ${\widetilde {E}}$, который является элементом пополнения кольца когомологий $H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)$. (Чтобы применить теорию Черна – Вейля , используется конечномерная аппроксимация EG .)

Альтернативно, можно сначала определить эквивариантный класс Чженя, а затем определить другие характеристические классы как инвариантные полиномы классов Чженя, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного линейного расслоения — это функция Тодда, вычисляемая в эквивариантном первом классе Черна расслоения. (Эквивариантный класс Тодда линейного расслоения представляет собой степенной ряд (а не многочлен, как в неэквивариантном случае) в эквивариантном первом классе Чженя; следовательно, он принадлежит пополнению эквивариантного кольца когомологий.)

В неэквивариантном случае первый класс Чженя можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма комплексных линейных расслоений на многообразии M и $H^{2}(M;\mathbb {Z} ).$ В эквивариантном случае это означает: эквивариантный первый Черн дает биекцию между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных комплексных линейных расслоений и $H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )$.

Теорема о локализации

Основная статья: Формула локализации эквивариантных когомологий

Теорема о локализации — один из самых мощных инструментов эквивариантных когомологий.

См. также

• Эквивариантная дифференциальная форма
• Карта Кирвана
• Формула локализации эквивариантных когомологий
• сорт ГКМ
• когомологии Бредона

Ссылки

• Атья, Майкл ; Ботт, Рауль (1984), «Отображение моментов и эквивариантные когомологии», Топология , 23 : 1–28, doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Брайон, М. (1998). «Эквивариантные когомологии и теория эквивариантных пересечений» (PDF) . Теории представлений и алгебраическая геометрия . Серия НАТО ASI. Том. 514. Спрингер. стр. 1–37. arXiv : математика/9802063 . дои : 10.1007/978-94-015-9131-7_1 . ISBN  978-94-015-9131-7 . S2CID   14961018 .
• Горески, Марк ; Котвитц, Роберт ; Макферсон, Роберт (1998), «Эквивариантные когомологии, двойственность Кошуля и теорема о локализации», Inventiones Mathematicae , 131 : 25–83, CiteSeerX   10.1.1.42.6450 , doi : 10.1007/s002220050197 , S2CID   6006856
• Сян, У-И (1975). Теория когомологий топологических групп преобразований . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-66052-8 . ISBN  978-3-642-66052-8 .
• Ту, Лоринг В. (март 2011 г.). «Что такое… эквивариантные когомологии?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 58 (3): 423–6. arXiv : 1305.4293 .

Отношение к стекам

• Беренд, К. (2004). «Когомологии стеков» (PDF) . Теория пересечений и модули . Конспекты лекций ICTP. Том. 19. стр. 249–294. ISBN  9789295003286 . На странице 10 PDF содержится основной результат с примерами.

Дальнейшее чтение

• Гиймен, VW; Штернберг, С. (1999). Суперсимметрия и эквивариантная теория де Рама . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-662-03992-2 . ISBN  978-3-662-03992-2 .
• Вернь, М.; Пайча, С. (1998). «Эквивариантные когомологии и теорема Стокса» (PDF) . Кафедра математики Университета Блеза Паскаля.

Внешние ссылки

• Мейнренкен, Э. (2006), и модель Картана» PDF) . ( «Эквивариантные когомологии стр. 242–250, ISBN.  978-0-12-512666-3 — Отличная обзорная статья с описанием основ теории и основных важных теорем.
• «Эквивариантные когомологии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ён-Хун Кием (2008). «Введение в эквивариантную теорию когомологий» (PDF) . Сеульский национальный университет.
• Что такое эквивариантные когомологии группы, действующей на себя сопряжением?