Формула локализации эквивариантных когомологий

В дифференциальной геометрии формула локализации гласит: для эквивариантно замкнутой эквивариантной дифференциальной формы $\alpha$ на орбифолде M с действием тора и при достаточно малом $\xi$ в алгебре Ли тора T ,

${1 \over d_{M}}\int _{M}\alpha (\xi )=\sum _{F}{1 \over d_{F}}\int _{F}{\alpha (\xi ) \over e_{T}(F)(\xi )}$

где сумма пробегает все компоненты связности F множества неподвижных точек $M^{T}$, $d_{M}$ - кратность орбифолда M M (которая равна единице, если - многообразие) и $e_{T}(F)$ — эквивариантная эйлерова форма нормального расслоения F .

Формула позволяет вычислить кольцо эквивариантных когомологий орбифолда M (особый вид дифференцируемого стека ) из эквивариантных когомологий его компонентов с неподвижной точкой с точностью до кратностей и форм Эйлера. В неэквивариантных когомологиях аналог таких результатов не имеет места.

Одним из важных следствий формулы является теорема Дуйстермаата – Хекмана , которая гласит: предположим, что существует действие гамильтоновой окружности (для простоты) на компактном симплектическом многообразии M размерности 2 n ,

$\int _{M}e^{-tH}\omega ^{n}/n!=\sum _{p}{e^{-tH(p)} \over t^{n}\prod \alpha _{j}(p)}.$

где H — гамильтонов для действия окружности, сумма ведется по точкам, зафиксированным действием окружности, и $\alpha _{j}(p)$ являются собственными значениями в касательном пространстве в точке p (ср. действие группы Ли ).

Формула локализации также может вычислить преобразование Фурье (симплектической формы Костанта) коприсоединенной орбиты, давая формулу интегрирования Хариш-Чандры , которая, в свою очередь, дает формулу характера Кириллова .

Теорема локализации эквивариантных когомологий нерациональных коэффициентов обсуждается в Дэниела Квиллена статьях .

Неабелева локализация

Теорема о локализации утверждает, что эквивариантные когомологии могут быть восстановлены с точностью до элементов кручения из эквивариантных когомологий подмножества неподвижных точек. Дословно это не распространяется на неабелево действие. Но существует еще вариант теоремы о локализации неабелевых действий.

Ссылки

• Атья, Майкл ; Рауль, Ботт (1984), «Отображение момента и эквивариантные когомологии», Топология , 23 (1): 1–28, doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Лю, Кефэн (2006), «Локализация и гипотезы дуальности струн», в Ге, Мо-Лин; Чжан, Вэйпин (ред.), Дифференциальная геометрия и физика , Нанкайские трактаты по математике, том. 10, World Scientific, стр. 63–105, ISBN.  978-981-270-377-4 , МР   2322389
• Мейнренкен, Экхард (1998), «Симплектическая хирургия и спиновая хирургия». $^{c}$— Оператор Дирака», Успехи в математике , 134 (2): 240–277, doi : 10.1006/aima.1997.1701
• Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр кольца эквивариантных когомологий I», Annals of Mathematics , Second Series, 94 (3): 549–572, doi : 10.2307/1970770 , JSTOR   1970770 ; Куиллен, Дэниел (1971), «Спектр кольца эквивариантных когомологий, II», Annals of Mathematics , Second Series, 94 (3): 573–602, doi : 10.2307/1970771 , JSTOR   1970771