Действие тора

В алгебраической геометрии действие тора на алгебраическом многообразии — это групповое действие алгебраического тора на многообразии. Многообразие, снабженное действием тора Т, называется Т -многообразием . В дифференциальной геометрии рассматривается действие вещественного или комплексного тора на многообразие (или орбифолд ).

Нормальное торическим алгебраическое многообразие, на которое действует тор таким образом, что существует плотная орбита, называется многообразием (например, нормальные замыкания орбит являются торическими многообразиями).

Линейное действие тора

Линейное действие тора можно одновременно диагонализировать, расширив при необходимости базовое поле: если тор T действует в конечномерном векторном пространстве V , то имеет место разложение в прямую сумму:

V=\bigoplus _{\chi }V_{\chi }

где

$\chi :T\to \mathbb {G} _{m}$ — групповой гомоморфизм, характер T .
$V_{\chi }=\{v\in V|t\cdot v=\chi (t)v\}$ , T -инвариантное подпространство, называемое весовым подпространством веса $\chi$ .

Разложение существует потому, что линейное действие определяет (и определяется) линейное представление $\pi :T\to \operatorname {GL} (V)$ а потом $\pi (T)$ состоит из коммутирующих диагонализируемых линейных преобразований при расширении основного поля.

Если V не имеет конечной размерности, существование такого разложения является сложным, но один простой случай, когда разложение возможно, - это когда V является объединением конечномерных представлений ( $\pi$ называется рациональным ; см. пример ниже). Альтернативно можно использовать функциональный анализ ; например, использует прямую сумму гильбертова пространства .

Пример : Пусть $S=k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ — кольцо многочленов над бесконечным полем k . Позволять $T=\mathbb {G} _{m}^{r}$ действовать на него как автоморфизмы алгебры : для $t=(t_{1},\dots ,t_{r})\in T$

t\cdot x_{i}=\chi _{i}(t)x_{i}

где

\chi _{i}(t)=t_{1}^{\alpha _{i,1}}\dots t_{r}^{\alpha _{i,r}},

\alpha _{i,j}

= целые числа.

Затем каждый $x_{i}$ является вектором T -веса и, следовательно, мономом $x_{0}^{m_{0}}\dots x_{r}^{m_{r}}$ представляет собой T -весовой вектор веса $\sum m_{i}\chi _{i}$ . Следовательно,

S=\bigoplus _{m_{0},\dots m_{n}\geq 0}S_{m_{0}\chi _{0}+\dots +m_{n}\chi _{n}}.

Обратите внимание, если $\chi _{i}(t)=t$ для всех i это обычное разложение кольца многочленов на однородные компоненты.

Разложение Бялыницкого-Бирулы

Разложение Бялыницкого-Бирулы утверждает, что гладкое проективное алгебраическое T -многообразие допускает T -стабильное клеточное разложение .

Ее часто называют алгебраической теорией Морса . ^[1]

См. также

Ссылки

^ «Конрад Фелькель » Бялыницкий-Бирула и мотивные разложения «» .

Альтманн, Клаус; Ильтен, Натан Оуэн; Петерсен, Ларс; Мило, Хендрик; Воллмерт, Роберт (15 августа 2012 г.). Геометрия Т-многообразий . arXiv : 1102.5760 . дои : 10.4171/114 . ISBN 978-3-03719-114-9 .
А. Бялыницкий-Бирула, «Некоторые теоремы о действиях алгебраических групп», Анналы математики, вторая серия, том. 98, № 3 (ноябрь 1973 г.), стр. 480–497.
М. Брион, К. Процессези, Действие тора в проективном многообразии, в Операторные алгебры, унитарные представления и теория инвариантов (Париж, 1989), Prog. по математике. 92 (1990), 509–539.

Эта посвященная геометрии, статья, незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] «Конрад Фелькель » Бялыницкий-Бирула и мотивные разложения «» .

[1]