Дифференцируемый стек

Дифференцируемый стек — это аналог алгебраического стека в геометрии алгебраической геометрии дифференциальной в . Его можно описать либо как стек над дифференцируемыми многообразиями , допускающими атлас, либо как группоид Ли с точностью до эквивалентности Морита .

Дифференцируемые стеки особенно полезны для работы с пространствами с особенностями (т. е. орбифолдами, листовыми пространствами, факторами), которые естественным образом появляются в дифференциальной геометрии, но не являются дифференцируемыми многообразиями. Например, дифференцируемые стопки имеют приложения в теории слоений . Геометрия Пуассона и извращенная К-теория .

Определение

Определение 1 (через группоидные расслоения)

Напомним, что категория, расслоенная в группоиды (также называемая расслоением группоида ), состоит из категории ${\mathcal {C}}$ вместе с функтором $\pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd}$ к категории дифференцируемых многообразий таких, что

1. ${\mathcal {C}}$ является расслоенной категорией , т.е. для любого объекта $u$ из ${\mathcal {C}}$ и любая стрелка $V\to U$ из $\mathrm {Mfd}$ есть стрелка $v\to u$ лежащий над $V\to U$;
2. для любого коммутативного треугольника $W\to V\to U$ в $\mathrm {Mdf}$ и все стрелки $w\to u$ над $W\to U$ и $v\to u$ над $V\to U$, существует единственная стрелка $w\to v$ над $W\to V$ делаем треугольник $w\to v\to u$ добираться.

Эти свойства гарантируют, что для каждого объекта $U$ в $\mathrm {Mfd}$, можно определить его слой , обозначив $\pi ^{-1}(U)$ или ${\mathcal {C}}_{U}$, подкатегория как ${\mathcal {C}}$ состоят из всех объектов ${\mathcal {C}}$ лежащий над $U$ и все морфизмы ${\mathcal {C}}$ лежащий над $id_{U}$. По конструкции, $\pi ^{-1}(U)$ является группоидом , что объясняет название. Стек — это группоидное расслоение , удовлетворяющее дальнейшим свойствам склеивания, выраженным через спуск .

Любой коллектор $X$ определяет категорию среза $F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)$, чьи объекты являются парами $(U,f)$ многообразия $U$ и гладкая карта $f:U\to X$; затем $F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U$ — это группоидное расслоение, которое на самом деле также является стеком. Морфизм ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ расслоений группоида называется представимой субмерсией, если

• для каждого многообразия $U$ и любой морфизм $F_{U}\to {\mathcal {D}}$, волокнистый продукт ${\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}$ представима, т. е. изоморфна $F_{V}$ (для некоторого многообразия $Y$) как группоидные расслоения;
• индуцированная гладкая карта $V\to U$ это погружение .

Дифференцируемый стек – это стек $\pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd}$ вместе с особым видом представимого погружения $F_{X}\to {\mathcal {C}}$ (каждое погружение $V\to U$ описанное выше считается сюръективным ), для некоторого многообразия $X$. Карта $F_{X}\to {\mathcal {C}}$ называется атласом, презентацией или обложкой стопки $X$.

Определение 2 (через 2-функтора)

Напомним, что предварительный стек (группоидов) в категории ${\mathcal {C}}$, также известный как 2- предпучок , представляет собой 2-функтор $X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$, где $\mathrm {Grp}$ — это 2-категория (теоретико-множественных) группоидов , их морфизмов и естественных преобразований между ними. Стопка — это предстопка , обладающая дополнительными свойствами склеивания (аналогично свойствам склеивания, которым удовлетворяет связка). Чтобы точно сформулировать такие свойства, необходимо определить (предварительные) стеки на сайте , то есть категорию, снабженную топологией Гротендика .

Любой объект $M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$ определяет стек ${\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)$, который связан с другим объектом $N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$ группоид $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)$ морфизмов ​ из $N$ к $M$. Стек $X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$ называется геометрическим, если существует объект $M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$ и морфизм стеков ${\underline {M}}\to X$ (часто называемый атласом, презентацией или обложкой стопки $X$) такой, что

• морфизм ${\underline {M}}\to X$ представима, т.е. для каждого объекта $Y$ в ${\mathcal {C}}$ и любой морфизм $Y\to X$ волокнистый продукт ${\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}$ изоморфен ${\underline {Z}}$ (для какого-то объекта $Z$) в виде стопок;
• индуцирует морфизм $Z\to Y$ удовлетворяет дополнительному свойству в зависимости от категории ${\mathcal {C}}$ (например, для многообразия требуется погружение ) .

– Дифференцируемый стек это стек, ${\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd}$, категория дифференцируемых многообразий (рассматриваемых как узел с обычной топологией открытого покрытия), т.е. 2-функтор $X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$, который также является геометрическим, т.е. допускает атлас ${\underline {M}}\to X$ как описано выше.

Обратите внимание, что замена $\mathrm {Mfd}$ с категорией аффинных схем восстанавливается стандартное понятие алгебраического стека . Аналогично, заменив $\mathrm {Mfd}$ с категорией топологических пространств получаем определение топологического стека.

Определение 3 (через эквивалентности Мориты)

Напомним, что группоид Ли состоит из двух дифференцируемых многообразий $G$ и $M$, вместе с двумя сюръективными погружениями $s,t:G\to M$, а также частичное отображение умножения $m:G\times _{M}G\to G$, карта единиц $u:M\to G$и обратное отображение $i:G\to G$, удовлетворяющий групповой совместимости.

Два группоида Ли $G\rightrightarrows M$ и $H\rightrightarrows N$ эквивалентны Морите, если существует главное бирасслоение $P$ между ними, т.е. основное право $H$-пучок $P\to M$, директор ушел $G$-пучок $P\to N$, такой, что два действия на $P$ ездит на работу. Эквивалентность Морита — это отношение эквивалентности между группоидами Ли, более слабое, чем изоморфизм, но достаточно сильное, чтобы сохранять многие геометрические свойства.

, Дифференцируемый стек обозначаемый как $[M/G]$, — класс эквивалентности Мориты некоторого группоида Ли $G\rightrightarrows M$.

Эквивалентность определений 1 и 2

Любая расслоенная категория ${\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf}$ определяет 2-пучок $X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)$. И наоборот, любой предварительный суммирование $X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$ порождает категорию ${\mathcal {C}}$, чьи объекты являются парами $(U,x)$ многообразия $U$ и объект $x\in X(U)$, и чьи морфизмы являются отображениями $\phi :(U,x)\to (V,y)$ такой, что $X(\phi )(y)=x$. Такой ${\mathcal {C}}$ становится расслоенной категорией с функтором ${\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U$.

Свойства склеивания, определяющие стопку в первом и втором определениях, эквивалентны; аналогично атлас в смысле определения 1 порождает атлас в смысле определения 2 и наоборот.

Эквивалентность определений 2 и 3

Каждый группоид Лжи $G\rightrightarrows M$ порождает дифференцируемый стек $BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$, который отправляет любое многообразие $N$ в категорию $G$- Торсоры включены $N$ (т.е. $G$- главные расслоения ). Любой другой группоид Ли класса Мориты $G\rightrightarrows M$ индуцирует изоморфный стек.

И наоборот, любой дифференцируемый стек $X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp}$ имеет форму $BG$, т.е. его можно представить группоидом Ли. Точнее, если ${\underline {M}}\to X$ это атлас стека $X$, то определяется группоид Ли $G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M$ и проверяет это $BG_{X}$ изоморфен $X$.

Теорема Доретта Пронка утверждает эквивалентность бикатегорий между дифференцируемыми стопками согласно первому определению и группоидами Ли с точностью до эквивалентности Морита.

Примеры

• Любой коллектор $M$ определяет дифференцируемый стек ${\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)$, который тривиально представляется тождественным морфизмом ${\underline {M}}\to {\underline {M}}$. Стек ${\underline {M}}$ соответствует классу эквивалентности Морита единичного группоида $u(M)\rightrightarrows M$.
• Любая группа Лжи $G$ определяет дифференцируемый стек $BG$, который отправляет любое многообразие $N$ в категорию $G$-основной пакет на $N$. Он представлен тривиальным морфизмом стека ${\underline {pt}}\to BG$, отправив точку в универсальный $G$-расслоение по классифицирующему пространству $G$. Стек $BG$ соответствует классу эквивалентности Морита $G\rightrightarrows \{*\}$ рассматривается как группоид Ли над точкой (т. е. класс эквивалентности Мориты любых транзитивных группоидов Ли с изотропией $G$).
• Любое слоение ${\mathcal {F}}$ на коллекторе $M$ определяет дифференцируемый стек через его листовые пространства. Он соответствует классу эквивалентности Мориты группоида голономии. $\mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M$.
• Любой орбифолд представляет собой дифференцируемый стек, поскольку это класс эквивалентности Мориты собственного группоида Ли с дискретными изотропиями (следовательно, конечный , поскольку изотропии собственных группоидов Ли компактны ).

Факторно-дифференцируемый стек

Учитывая групповое действие Ли $a:M\times G\to M$ на $M$, его факторный (дифференцируемый) стек является дифференциальным аналогом факторного (алгебраического) стека в алгебраической геометрии. Он определяется как стек $[M/G]$ связывание с каким-либо многообразием $X$ категория принципала $G$-связки $P\to X$ и $G$-эквивариантные отображения $\phi :P\to M$. Это дифференцируемый стек, представленный морфизмом стека. ${\underline {M}}\to [M/G]$ определено для любого многообразия $X$ как

$${\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})$$

где $\phi _{f}:X\times G\to M$ это $G$-эквивариантное отображение $\phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g$.

Стек $[M/G]$ соответствует классу эквивалентности Морита группоида действия $M\times G\rightrightarrows M$. Соответственно, восстанавливаются следующие частные случаи:

• если $M$ это точка, дифференцируемый стек $[M/G]$ совпадает с $BG$
• если действие свободное и правильное (и, следовательно, частное $M/G$ является многообразием), дифференцируемый стек $[M/G]$ совпадает с ${\underline {M/G}}$
• если действие правильное (и, следовательно, частное $M/G$ является орбифолдом), дифференцируемый стек $[M/G]$ совпадает со стеком, определяемым орбифолдом

Дифференциальное пространство

Дифференцируемое пространство — это дифференцируемый стек с тривиальными стабилизаторами. Например, если группа Ли действует свободно, но не обязательно правильно на многообразии, то фактор по ней, вообще говоря, является не многообразием, а дифференцируемым пространством.

С топологией Гротендика

Дифференцируемый стек $X$ может быть оснащен топологией Гротендика определенным образом (см. ссылку). Это дает понятие пучка над $X$. Например, пучок $\Omega _{X}^{p}$ дифференциала $p$-формируется над $X$ задается, для любого $x$ в $X$ над многообразием $U$, позволяя $\Omega _{X}^{p}(x)$ быть пространством $p$-формы на $U$. Сноп $\Omega _{X}^{0}$ называется структурным пучком на $X$ и обозначается ${\mathcal {O}}_{X}$. $\Omega _{X}^{*}$ имеет внешнюю производную и, таким образом, представляет собой комплекс пучков векторных пространств над $X$: таким образом, возникает понятие де Рама когомологий $X$.

Шкивы

Эпиморфизм между дифференцируемыми стопками $G\to X$ называется гербе ​ $X$ если $G\to G\times _{X}G$ также является эпиморфизмом. Например, если $X$ это стек, $BS^{1}\times X\to X$ это гербе. Теорема Жиро утверждает, что $H^{2}(X,S^{1})$ соответствует взаимно однозначно множеству гербов над $X$ которые локально изоморфны $BS^{1}\times X\to X$ и это сопровождается упрощением их групп .

Внешние ссылки

• http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack