Извращенная К -теория

В математике скрученная К-теория (также называемая К-теорией с локальными коэффициентами ^[1]) — это вариация K-теории , математической теории 1950-х годов, которая охватывает алгебраическую топологию , абстрактную алгебру и теорию операторов .

Более конкретно, скрученная K-теория с твистом H — это частный вариант K-теории, в которой твист задается целым трехмерным классом когомологий . Он выделяется среди различных поворотов, допускаемых К-теорией, по двум причинам. Во-первых, оно допускает геометрическую формулировку. Это было сделано в два этапа; первый был сделан в 1970 году (Publ. Math. de l' IHÉS ) Питером Донованом и Максом Каруби; второй в 1988 году, написанный Джонатаном Розенбергом в книге «Алгебры с непрерывным следом с точки зрения теории расслоения» .

В физике предполагалось классифицировать D-браны , напряженность поля Рамона-Рамонда и в некоторых случаях даже спиноры в теории струн типа II . Дополнительную информацию о скрученной K-теории в теории струн см. в разделе K-теория (физика) .

В более широком контексте К-теории в каждом предмете она имеет множество изоморфных формулировок, и во многих случаях были доказаны изоморфизмы, связывающие определения в различных предметах. Он также имеет многочисленные деформации, например, в абстрактной алгебре К-теория может быть скручена любым целочисленным классом когомологий.

Определение [ править ]

Чтобы мотивировать геометрическую формулировку скрученной K-теории Розенберга, начните с теоремы Атьи-Ениха , утверждающей, что

Fred({\mathcal {H}}),

операторы Фредгольма в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ , является классифицирующим пространством для обычной, раскрученной К-теории. Это означает, что К-теория пространства $M$ состоит из гомотопических классов отображений

[M\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]

от $M$ к $Fred({\mathcal {H}}).$

Несколько более сложный способ сказать то же самое заключается в следующем. Рассмотрим тривиальный пучок $Fred({\mathcal {H}})$ над $M$ , то есть декартово произведение $M$ и $Fred({\mathcal {H}})$ . Тогда К-теория $M$ состоит из гомотопических классов сечений этого расслоения.

Мы можем еще больше усложнить эту задачу, введя тривиальную формулу

PU({\mathcal {H}})

пучок $P$ над $M$ , где $PU({\mathcal {H}})$ — группа проективных унитарных операторов в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ . Тогда группа карт

[P\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}

от $P$ к $Fred({\mathcal {H}})$ которые эквивариантны относительно действия $PU({\mathcal {H}})$ эквивалентно исходным группам отображений

[M\rightarrow Fred({\mathcal {H}})].

Эта более сложная конструкция обычной K-теории естественным образом обобщается на искривленный случай. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что $PU({\mathcal {H}})$ пучки на $M$ классифицируются по элементам $H$ третьей целочисленной группы когомологий $M$ . Это следствие того, что $PU({\mathcal {H}})$ топологически является представительным пространством Эйленберга – Маклейна.

K(\mathbf {Z} ,3)

.

Тогда обобщение становится очевидным. Розенберг определил

K_{H}(M)

,

извращенная К-теория $M$ с изюминкой, заданной 3-м классом $H$ , чтобы быть пространством гомотопических классов сечений тривиального $Fred({\mathcal {H}})$ связать $M$ которые ковариантны относительно $PU({\mathcal {H}})$ пучок $P_{H}$ натянутый на волокна $M$ с 3-классом $H$ , то есть

K_{H}(M)=[P_{H}\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}.

Эквивалентно, это пространство гомотопических классов сечений $Fred({\mathcal {H}})$ пакеты, связанные с $PU({\mathcal {H}})$ пакет с классом $H$ .

- теорией Связь с К

Когда $H$ — тривиальный класс, скрученная К-теория — это просто раскрученная К-теория, которая представляет собой кольцо. Однако, когда $H$ нетривиально, эта теория больше не является кольцом. У него есть сложение, но оно уже не замкнуто при умножении.

Однако прямая сумма скрученных K-теорий $M$ со всеми возможными поворотами представляет собой кольцо. В частности, произведение элемента К-теории с твистом $H$ с элементом К-теории с подкруткой $H'$ является элементом K-теории, искаженной $H+H'$ . Этот элемент можно построить непосредственно из приведенного выше определения, используя сопряженные операторы Фредгольма и построить из них конкретную матрицу 2x2 (см. ссылку 1, где также представлена более естественная и общая Z/2-градуированная версия). В частности, скрученная K-теория является модулем над классической K-теорией.

Расчеты [ править ]

Физики обычно хотят рассчитать искривленную K-теорию, используя спектральную последовательность Атьи – Хирцебруха . ^[2] Идея состоит в том, что мы начинаем со всех четных или всех нечетных целочисленных когомологий, в зависимости от того, хотим ли вы вычислить скрученные $K_{0}$ или искривленный $K^{0}$ , а затем берутся когомологии по ряду дифференциальных операторов. Первый оператор, $d_{3}$ , например, представляет собой сумму трёх классов $H$ , что в теории струн соответствует 3-форме Неве-Шварца, и третьему квадрату Стинрода , ^[3] так

$d_{3}^{p,q}=Sq^{3}+H$

Нет элементарной формы для следующего оператора, $d_{5}$ , был найден, хотя существует несколько предполагаемых форм. Высшие операторы не способствуют $K$ -теория 10-многообразия, представляющая интерес в критической теории суперструн . Опираясь на рациональные аргументы, Майкл Атья и Грэм Сигал показали, что все дифференциалы сводятся к произведениям Мэсси . $M$ . ^[4]

Взяв когомологии по полной серии дифференциалов, получим скрученную $K$ -теория как множество, но для получения полной структуры группы обычно необходимо решить задачу расширения .

Пример: трехсфера [ править ]

Трехсфера, $S^{3}$ , имеет тривиальные когомологии, за исключением $H^{0}(S^{3})$ и $H^{3}(S^{3})$ которые оба изоморфны целым числам. Таким образом, четные и нечетные когомологии изоморфны целым числам. Поскольку трехмерная сфера имеет размерность три, что меньше пяти, третий квадрат Стинрода тривиален в своих когомологиях, и поэтому первый нетривиальный дифференциал просто $d_{5}=H$ . Более поздние дифференциалы увеличивают степень класса когомологий более чем на три и поэтому снова тривиальны; таким образом, искривленный $K$ -теория — это всего лишь когомологии оператора $d_{3}$ который действует на класс, объединяя его с 3-классом $H$ .

Представьте себе, что $H$ — тривиальный класс, ноль. Затем $d_{3}$ также тривиально. Таким образом, вся его область действия является его ядром, и ничто не является его образом. Таким образом $K_{H}^{0}(S^{3})$ является ядром $d_{3}$ в четных когомологиях, то есть полных четных когомологиях, состоящих из целых чисел. Сходным образом $K_{H}^{1}(S^{3})$ состоит из нечетных когомологий, факторизованных по образу $d_{3}$ , другими словами, факторизованный по тривиальной группе. В результате остаются исходные нечетные когомологии, которые снова являются целыми числами. В заключение, $K^{0}$ и $K^{1}$ трехсферы с тривиальным поворотом изоморфны целым числам. Как и ожидалось, это согласуется с раскрученным $K$ -теория.

Теперь рассмотрим случай, когда $H$ является нетривиальным. $H$ определяется как элемент третьих целочисленных когомологий, изоморфный целым числам. Таким образом $H$ соответствует номеру, который мы будем называть $n$ . $d_{3}$ теперь принимает элемент $m$ из $H^{0}$ и дает элемент $nm$ из $H^{3}$ . Как $n$ по предположению не равен нулю, единственный элемент ядра $d_{3}$ является нулевым элементом, и поэтому $K_{H=n}^{0}(S^{3})=0$ . Образ $d_{3}$ состоит из всех элементов целых чисел, кратных $n$ . Следовательно, нечетные когомологии $\mathbb {Z}$ , факторизованный по образу $d_{3}$ , $n\mathbb {Z}$ , – циклическая группа порядка $n$ , $\mathbb {Z} /n$ . В заключение

$K_{H=n}^{1}(S^{3})=\mathbb {Z} /n$

В теории струн этот результат воспроизводит классификацию D-бран на 3-сфере с $n$ единицы $H$ -поток, соответствующий набору симметричных граничных условий в суперсимметричном $SU(2)$ Модель гепатита С на уровне $n-2$ .

Существует расширение этого вычисления на групповое многообразие SU(3) . ^[5] В этом случае квадрат Стинрода в $d_{3}$ , оператор $d_{5}$ , и проблема расширения нетривиальны.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Донаван, Питер; Каруби, Макс (1970). "Градуированные группы Брауэра и $K$-теория с локальными коэффициентами" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 38 : 5–25.
^ Руководство по таким расчетам в случае искривленной K-теории можно найти в книге «Калибровочная теория E8» и «Вывод K-теории из M-теории» Эмануэля Диаконеску , Грегори Мура и Эдварда Виттена (DMW).
^ (DMW) также проводит ускоренный курс для физиков на площадях Стинрода.
^ В Twisted K-теории и когомологиях .
^ В «Инстантонах D-браны и зарядах K-теории» Хуана Малдасены , Грегори Мура и Натана Зайберга .

Ссылки [ править ]

«Градуированные группы Брауэра и K-теория с локальными коэффициентами», Питер Донован и Макс Каруби. Опубл. Математика. IHÉS №. 38, стр. 5–25 (1970).
Инстантоны D-браны и заряды K-теории Хуана Малдасены , Грегори Мура и Натана Зайберга
«Искаженная K-теория и когомологии» , Майкл Атья и Грэм Сигал
Искаженная K-теория и K-теория расслоения Гербеса Питера Боукнегта , Алана Кэри , Варгезе Матая , Майкла Мюррея и Дэнни Стивенсона .
Извращенная К-теория, старая и новая

Внешние ссылки [ править ]

[1] Донаван, Питер; Каруби, Макс (1970). "Градуированные группы Брауэра и $K$-теория с локальными коэффициентами" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 38 : 5–25.

[2] Руководство по таким расчетам в случае искривленной K-теории можно найти в книге «Калибровочная теория E8» и «Вывод K-теории из M-теории» Эмануэля Диаконеску , Грегори Мура и Эдварда Виттена (DMW).

[3] (DMW) также проводит ускоренный курс для физиков на площадях Стинрода.

[4] В Twisted K-теории и когомологиях .

[5] В «Инстантонах D-браны и зарядах K-теории» Хуана Малдасены , Грегори Мура и Натана Зайберга .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach