Фредгольмский оператор

В математике — операторы Фредгольма это некоторые операторы , возникающие в теории Фредгольма интегральных уравнений . Они названы в честь Эрика Ивара Фредхольма . По определению, оператор Фредгольма — это ограниченный линейный оператор T : X → Y между двумя банаховыми пространствами с конечномерным ядром. $\ker T$ и конечномерное (алгебраическое) коядро $\operatorname {coker} T=Y/\operatorname {ran} T$ , и с закрытым диапазоном $\operatorname {ran} T$ . Последнее условие на самом деле избыточно. ^[1]

Индексом число оператора Фредгольма является целое

\operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} \operatorname {ran} T

или другими словами,

\operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {dim} \operatorname {coker} T.

Свойства [ править ]

Интуитивно понятно, что операторы Фредгольма — это операторы, которые обратимы, «если игнорировать конечномерные эффекты». Далее следует формально правильное утверждение. Ограниченный оператор T : X → Y между банаховыми пространствами X и Y является фредгольмовым тогда и только тогда, когда он является обратимым по модулю компактных операторов , т. е. если существует ограниченный линейный оператор

S:Y\to X

такой, что

\mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS

являются компактными операторами на X и Y соответственно.

Если оператор Фредгольма слегка изменить, он останется Фредгольмовым, и его индекс останется прежним. Формально: множество операторов Фредгольма из X в Y открыто в банаховом пространстве L( X , Y ) ограниченных линейных операторов, снабженном операторной нормой , а индекс локально постоянен. Точнее, если T ₀ является фредгольмовым от X до Y , существует ε > 0 такое, что каждый T в L( X , Y ) с || Т - Т ₀ || < ε является фредгольмовым с тем же индексом, что и T ₀ .

Когда T — это Фредгольм от X до Y и U Фредгольм от Y до Z , то композиция $U\circ T$ является Фредгольмом от X до Z и

\operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T).

Когда T является фредгольмовым, транспонирующий (или присоединенный) оператор T ′ является фредгольмовым из Y ′ в X ′ и ind( T ′) = −ind( T ) . Когда X и Y являются гильбертовыми пространствами , тот же вывод справедлив и для эрмитова сопряженного T ^∗.

Если T фредгольмов и K компактный оператор, то T + K фредгольмов. Индекс T остается неизменным при таком компактном возмущении T . Это следует из того факта, что индекс i ( s ) T + s K является целым числом, определенным для каждого s в [0, 1], а i ( s ) является локально постоянным, следовательно, i (1) = i (0) .

Инвариантность по возмущению справедлива для более крупных классов, чем класс компактных операторов. Например, когда U — фредгольмовский, а T — , строго сингулярный оператор то T + U — фредгольмовский с тем же индексом. ^[2]Класс несущественных операторов , который собственно содержит класс строго сингулярных операторов, является «классом возмущений» для операторов Фредгольма. Это означает, что оператор $T\in B(X,Y)$ несущественно тогда и только тогда, когда T+U фредгольмов для любого фредгольмова оператора $U\in B(X,Y)$ .

Примеры [ править ]

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством с ортонормированным базисом $\{e_{n}\}$ индексируется неотрицательными целыми числами. Оператор (правого) сдвига S на H определяется формулой

S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,

Этот оператор S инъективен (фактически изометричен) и имеет замкнутый образ коразмерности 1, следовательно, S является фредгольмовым с $\operatorname {ind} (S)=-1$ . Полномочия $S^{k}$ , $k\geq 0$ , являются Фредгольмом с индексом $-k$ . Сопряженный S* — сдвиг влево,

S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,

Левый сдвиг S* — фредгольмовский с индексом 1.

Если H — классическое пространство Харди $H^{2}(\mathbf {T} )$ на единичной окружности T в комплексной плоскости, то оператор сдвига относительно ортонормированного базиса комплексных экспонент

e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,

– оператор умножения M _φ на функцию $\varphi =e_{1}$ . В более общем смысле, пусть φ — комплексная непрерывная функция на T , которая не обращается в нуль на $\mathbf {T}$ и пусть T _φ обозначает оператор Теплица с символом φ , равный умножению на φ , за которым следует ортогональная проекция $P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )$ :

T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\mapsto P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,

Тогда T _φ является фредгольмовым оператором на $H^{2}(\mathbf {T} )$ , с индексом, соответствующим номеру витка вокруг 0 замкнутого пути $t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})$ : индекс T _φ , определенный в этой статье, является противоположностью этого числа витков.

Приложения [ править ]

Любой эллиптический оператор можно расширить до оператора Фредгольма. Использование операторов Фредгольма в уравнениях в частных производных представляет собой абстрактную форму метода параметрикса .

Теорема Атьи -Зингера об индексе дает топологическую характеристику индекса некоторых операторов на многообразиях.

Теорема Атьи-Йаниха отождествляет K-теорию K ( X ) компактного топологического пространства X с множеством гомотопических классов непрерывных отображений из X в пространство фредгольмовых операторов H → H , где H — сепарабельное гильбертово пространство, а множество этих операторов несет операторную норму.

Обобщения [ править ]

Полуфредгольмовы операторы [ править ]

Ограниченный линейный оператор Т называется полуфредгольмовым, если его образ замкнут и хотя бы один из $\ker T$ , $\operatorname {coker} T$ является конечномерным. Для полуфредгольмова оператора индекс определяется выражением

\operatorname {ind} T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T,&\dim \ker T+\dim \operatorname {coker} T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \operatorname {coker} T=\infty .\end{cases}}

Неограниченные операторы [ править ]

Можно также определить неограниченные операторы Фредгольма. Пусть X и Y — два банаховых пространства.

Замкнутый линейный оператор $T:\,X\to Y$ называется Фредгольмовым, если его область определения ${\mathfrak {D}}(T)$ плотный в $X$ , его область значений замкнута, а ядро и коядро T конечномерны.
$T:\,X\to Y$ называется полуфредгольмовым, если его область определения ${\mathfrak {D}}(T)$ плотный в $X$ , его диапазон замкнут, и либо ядро, либо коядро T (или оба) конечномерны.

Как отмечалось выше, образ замкнутого оператора замкнут, пока коядро конечномерно (Эдмундс и Эванс, теорема I.3.2).

Примечания [ править ]

^ Абрамович Юрий А.; Алипрантис, Хараламбос Д. (2002). Приглашение к теории операторов . Аспирантура по математике. Том. 50. Американское математическое общество. п. 156. ИСБН 978-0-8218-2146-6 .
^ Като, Тосио (1958). «Теория возмущений для недостатка нулевой точности и других величин линейных операторов». Журнал Математического Анализа . 6 : 273–322. дои : 10.1007/BF02790238 . S2CID 120480871 .

Ссылки [ править ]

Д. Е. Эдмундс и В. Д. Эванс (1987), Спектральная теория и дифференциальные операторы, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 .
А. Г. Рамм, « Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеристика операторов Фредгольма », American Mathematical Monthly , 108 (2001) стр. 855 (Примечание: в этой статье слово «оператор Фредгольма» относится к «оператору Фредгольма индекса 0»).
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фредгольма» . Математический мир .
Б.В. Хведелидзе (2001) [1994], «Теоремы Фредгольма» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Брюс К. Драйвер, « Компактные и фредгольмовы операторы и спектральная теорема », Инструменты анализа с приложениями , глава 35, стр. 579–600.
Роберт К. МакОуэн, « Теория Фредгольма уравнений в частных производных на полных римановых многообразиях », Pacific J. Math. 87 , нет. 1 (1980), 169–185.
Томаш Мровка, Краткое введение в линейный анализ: операторы Фредгольма , геометрия многообразий, осень 2004 г. (Массачусетский технологический институт: MIT OpenCouseWare)

[1] Абрамович Юрий А.; Алипрантис, Хараламбос Д. (2002). Приглашение к теории операторов . Аспирантура по математике. Том. 50. Американское математическое общество. п. 156. ИСБН 978-0-8218-2146-6 .

[2] Като, Тосио (1958). «Теория возмущений для недостатка нулевой точности и других величин линейных операторов». Журнал Математического Анализа . 6 : 273–322. дои : 10.1007/BF02790238 . S2CID 120480871 .

[1]

[2]

Базы данных авторитетного контроля
National	France BnF data Germany Israel United States
Other	IdRef