Топологическая К -теория

В математике топологическая топологии К -теория является разделом алгебраической . Он был основан для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, ныне признанных (общей) К-теорией , которые были введены Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической К -теории принадлежат Михаэлю Атье и Фридриху Хирцебруху .

Определения

Пусть X — бикомпакт хаусдорфов и $k=\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$. Затем $K_{k}(X)$ определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных классов изоморфизма k -векторных расслоений над X относительно суммы Уитни . Тензорное произведение расслоений придает K -теории коммутативную кольцевую структуру. Без индексов, $K(X)$ обычно обозначает комплексную K -теорию, тогда как реальную K -теорию иногда записывают как $KO(X)$. Оставшееся обсуждение сосредоточено на комплексной K -теории.

В качестве первого примера отметим, что K -теория точки представляет собой целые числа. Это связано с тем, что векторные расслоения над точкой тривиальны и, следовательно, классифицируются по своему рангу, а группа Гротендика натуральных чисел является целыми числами.

Существует также сокращенная версия К -теории, ${\widetilde {K}}(X)$, определил для X компактное точечное пространство (ср. приведенные гомологии ). Эта редуцированная теория интуитивно представляет собой K ( X ) по модулю тривиальных расслоений . Он определяется как группа стабильных классов эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения $\varepsilon _{1}$ и $\varepsilon _{2}$, так что $E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}$. Это отношение эквивалентности приводит к образованию группы, поскольку каждое векторное расслоение можно дополнить до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. Альтернативно, ${\widetilde {K}}(X)$ можно определить как ядро ​​карты $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$ индуцированное включением базовой точки x ₀ в X .

K -теория образует мультипликативную (обобщенную) теорию когомологий следующим образом. Короткая точная последовательность пары точечных пространств ( X , A )

${\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)$

распространяется на длинную точную последовательность

$\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A).$

Пусть S ^н быть n -й приведенной надстройкой пространства, а затем определить

${\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.$

Отрицательные индексы выбираются для того, чтобы карты кограниц увеличивали размерность.

Часто бывает полезно иметь несокращенную версию этих групп, просто определив:

$K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).$

Здесь $X_{+}$ является $X$ с присоединенной непересекающейся базовой точкой, помеченной знаком «+».

Наконец, сформулированная ниже теорема о периодичности Ботта распространяет теории на положительные целые числа.

Свойства

• $K^{n}$ (соответственно, ${\widetilde {K}}^{n}$) — контравариантный функтор из гомотопической категории (заостренных) пространств в категорию коммутативных колец. Так, например, К -теория над сжимаемыми пространствами всегда $\mathbb {Z} .$
• Спектр есть теории К - $BU\times \mathbb {Z}$ (с дискретной топологией на $\mathbb {Z}$), т.е. $K(X)\cong \left[X_{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ где [, ] обозначает точечные гомотопические классы, а BU — копредел классифицирующих пространств унитарных групп : $BU(n)\cong \operatorname {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$ Сходным образом,
  $${\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].$$
  Для настоящей K -теории используйте BO .
• Существует естественный гомоморфизм колец $K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),$ характер Черна такой, что $K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )$ является изоморфизмом.
• Эквивалентом операций Стинрода в К -теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K -теории.
• Принцип расщепления топологической K -теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах линейных расслоений.
• Теорема Тома об изоморфизме в топологической K -теории имеет вид
  $$K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),$$
  где T ( E ) — Тома векторного расслоения E над X. пространство Это справедливо, когда E является спин-расслоением.
• Спектральная последовательность Атьи -Хирцебруха позволяет вычислять K -группы из обычных групп когомологий.
• Топологическую K -теорию можно широко обобщить до функтора на C*-алгебрах , см. операторную K-теорию и KK-теорию .

Периодичность Ботта

Явление периодичности, названное в честь Рауля Ботта (см. теорему о периодичности Ботта ), можно сформулировать так:

• $K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ и $K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}$ где H — класс тавтологического расслоения на $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$ то есть сфера Римана .
• ${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$
• $\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

В реальной К -теории существует аналогичная периодичность, но по модулю 8.

Приложения

Два наиболее известных применения топологической К -теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил первую проблему инварианта Хопфа , выполнив вычисления с помощью своих операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах .

Chern character

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, касающуюся топологической K-теории конечного комплекса CW. $X$ со своими рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

$ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )$

такой, что

${\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )\end{aligned}}$

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия. $X$.

См. также

• Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха (вычислительный инструмент для поиска групп K-теории)
• КР-теория
• Теорема Атьи – Зингера об индексе
• Теорема Снайта
• Алгебраическая К-теория

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис (1989). К-теория . Продвинутая книжная классика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0-201-09394-0 . МР   1043170 .
• Фридлендер, Эрик; Грейсон, Дэниел, ред. (2005). Справочник по К-теории . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-27855-9 . ISBN  978-3-540-30436-4 . МР   2182598 .
• Каруби, Макс (1978). К-теория: введение . Классика по математике. Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-540-79890-3 . ISBN  0-387-08090-2 .
• Каруби, Макс (2006). «К-теория. Элементарное введение». arXiv : математика/0602082 .
• Хэтчер, Аллен (2003). «Векторные расслоения и К-теория» .
• Стыков, Максим (2013). «Связь К-теории с геометрией и топологией» .