КК -теория

Эта статья о КК-теории в математике. Эпистемологическую концепцию см. в «Принципе КК» . О теории электромагнетизма и гравитации Калуцы-Клейна см. Теория Калуцы-Клейна .

В математике , КК -теория является общим обобщением как К-гомологии так и К-теории как аддитивного бивариантного функтора на сепарабельных С*-алгебрах . Это понятие ввел российский математик Геннадий Каспаров. в 1980 году.

На него повлияла концепция Атьи о модулях Фредгольма для теоремы об индексе Атьи-Зингера и классификация расширений C *-алгебр Лоуренса Г. Брауна , Рональда Г. Дугласа и Питера Артура Филлмора в 1977 году. В свою очередь, он имел большой успех в операторно-алгебраическом формализме в направлении теории индекса и классификации ядерных C*-алгебр , поскольку был ключом к решению многих задач операторной K-теории, таких как, например, простой расчет К -групп. Более того, это сыграло важную роль в развитии гипотезы Баума – Конна и играет решающую роль в некоммутативной топологии .

За КК -теорией последовала серия подобных бифункторных конструкций, таких как Е -теория и бивариантная периодическая циклическая теория , большинство из которых имели более теоретико-категорный оттенок или относились к другому классу алгебр, а не к классу сепарабельных C *-. алгебры или включение групповых действий .

Определение

Следующее определение весьма близко к тому, которое первоначально дал Каспаров. Именно в такой форме возникает большинство КК-элементов в приложениях.

Пусть A и B — сепарабельные C *-алгебры, где B также предполагается σ-унитальной. Множество циклов — это множество троек ( H , ρ, F ), где H — счетнопорожденный градуированный гильбертовый модуль над B , ρ — *-представление A в H как четные ограниченные операторы, коммутирующие с B , и F — ограниченный оператор в H степени 1, который снова коммутирует с B . Они обязаны выполнить условие, согласно которому

$[F,\rho (a)],(F^{2}-1)\rho (a),(F-F^{*})\rho (a)$

для a в A все B -компактные операторы. Цикл называется вырожденным, если все три выражения равны 0 для всех a .

Два цикла называются гомологичными или гомотопными, если существует цикл между A и IB , где IB обозначает C *-алгебру непрерывных функций от [0,1] до B , такую, что существует четный унитарный оператор из 0-конец гомотопии первого цикла и унитарный оператор из 1-конца гомотопии второго цикла.

Тогда KK -группа KK(A, B) между A и B определяется как множество циклов по гомотопическому модулю. Она становится абелевой группой при операции прямой суммы бимодулей как сложения и классе вырожденных модулей как ее нейтральном элементе.

Существуют различные, но эквивалентные определения КК-теории, в частности определение, данное Иоахимом Кунцем. что исключает из картины бимодуль и «фредгольмовский» оператор F и полностью ставит акцент на гомоморфизме ρ. Точнее, его можно определить как множество гомотопических классов

$KK(A,B)=[qA,K(H)\otimes B]$,

*-гомоморфизмов из классифицирующей алгебры qA квазигомоморфизмов в C *-алгебру компактных операторов бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства, тензорированного с B . Здесь qA определяется как ядро ​​отображения C *-алгебраического свободного произведения A * A A A на самого себя в , определенное тождеством для обоих множителей.

Свойства

берут C *-алгебру C комплексных чисел Когда в качестве первого аргумента KK , как в KK ( C , B изоморфна K0 _- группе K0 _{эта аддитивная группа естественным образом} ( B ) второго аргумента B. ) , С точки зрения Кунца, K ₀ -класс B есть не что иное, как гомотопический класс *-гомоморфизмов от комплексных чисел до стабилизации B . в качестве первого аргумента взять алгебру C0 ₍ ( R ) непрерывных функций на действительной прямой, убывающей на бесконечности, то полученная группа C0 ( R _если ) , B ) естественно изоморфна K1 Аналогично , _KK ( B ).

Важным свойством КК -теории является так называемое произведение Каспарова , или композиционное произведение,

$KK(A,B)\times KK(B,C)\to KK(A,C)$,

которая билинейна относительно аддитивных групповых структур. В частности, каждый элемент KK ( A , B ) дает гомоморфизм K _* ( A ) → K _* ( B ) и другой гомоморфизм K * ( B ) → K * ( A ).

Произведение гораздо проще определить в картине Кунца, если учесть, что существуют естественные отображения из QA в A и из B в K ( H ) ⊗ B , которые индуцируют KK -эквивалентности.

Состав продукта дает новую категорию ${\mathsf {KK}}$, объекты которой заданы сепарабельными C *-алгебрами, а морфизмы между ними заданы элементами соответствующих KK-групп. Более того, любой *-гомоморфизм A в B индуцирует элемент из KK ( A , B ), и это соответствие дает функтор из исходной категории сепарабельных C *-алгебр в ${\mathsf {KK}}$. Приближенно внутренние автоморфизмы алгебр становятся тождественными морфизмами в ${\mathsf {KK}}$.

Этот функтор ${\mathsf {C^{*}\!-\!alg}}\to {\mathsf {KK}}$ универсален среди расщепляющих точных , гомотопически инвариантных и стабильных аддитивных функторов на категории сепарабельных C *-алгебр. Любая такая теория удовлетворяет периодичности Ботта в соответствующем смысле, поскольку ${\mathsf {KK}}$ делает.

Произведение Каспарова можно обобщить до следующего вида:

$KK(A,B\otimes E)\times KK(B\otimes D,C)\to KK(A\otimes D,C\otimes E).$

В качестве особых случаев он содержит не только K-теоретическое чашечное произведение , но также K-теоретическое колпачковое , поперечное и наклонное произведения и произведение расширений.

Ссылки

• Б. Блэкадар, Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана , Энциклопедия математических наук 122 , Springer (2005)
• А. Конн, Некоммутативная геометрия , Academic Press (1994).

Внешние ссылки

• КК-теория в n Lab
• Электронная теория в n Lab