Гипотеза Баума – Конна

В математике особенно в операторной K-теории , гипотеза Баума-Конна предполагает связь между K-теорией приведенной C*-алгебры группы , и K-гомологиями классифицирующего пространства собственных действий этой группы. Гипотеза устанавливает соответствие между различными областями математики, причем K-гомологии классифицирующего пространства связаны с геометрией, теорией дифференциальных операторов и теорией гомотопий , тогда как K-теория приведенной C*-алгебры группы является чисто аналитический объект.

Если бы эта гипотеза была верной, ее последствиями были бы некоторые более старые известные гипотезы. Например, часть сюръективности подразумевает гипотезу Кадисона-Капланского для дискретных групп без кручения , а инъективность тесно связана с гипотезой Новикова .

Гипотеза также тесно связана с теорией индексов , поскольку карта сборки $\mu$ является своего рода индексом и играет важную роль в Алена Конна программе некоммутативной геометрии .

Истоки гипотезы восходят к теории Фредгольма , теореме об индексе Атьи-Зингера и взаимодействию геометрии с операторной K-теорией, выраженной в работах Брауна, Дугласа и Филлмора, а также многих других мотивирующих тем.

Формулировка

Пусть Г — вторая счетная локально компактная группа (например, счетная дискретная группа ). Можно определить морфизм

\mu :RK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }})\to K_{*}(C_{r}^{*}(\Gamma )),

называемое отображением сборки , из эквивариантных K-гомологий с $\Gamma$ -компактные носители классифицирующего пространства собственных действий ${\underline {E\Gamma }}$ к К-теории приведенной С*-алгебры группы Г. Индекс нижнего индекса _* может быть 0 или 1.

Поль Баум и Ален Конн выдвинули следующую гипотезу (1982) об этом морфизме:

Гипотеза Баума-Конна. Карта сборки

\mu

является изоморфизмом .

Поскольку левая часть обычно более доступна, чем правая, поскольку почти не существует каких-либо общих структурных теорем $C^{*}$ -алгебра, обычно эту гипотезу рассматривают как «объяснение» правой части.

Первоначальная формулировка гипотезы была несколько иной, поскольку в 1982 году понятие эквивариантной K-гомологии еще не было распространено.

В случае $\Gamma$ дискретна и без кручения, левая часть сводится к неэквивариантным K-гомологиям с компактными носителями обычного классифицирующего пространства $B\Gamma$ из $\Gamma$ .

Существует также более общая форма гипотезы, известная как гипотеза Баума – Конна с коэффициентами, где обе стороны имеют коэффициенты в виде $C^{*}$ -алгебра $A$ на котором $\Gamma$ действует путем $C^{*}$ -автоморфизмы. Там на КК-языке написано , что карта сборки

\mu _{A,\Gamma }:RKK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }},A)\to K_{*}(A\rtimes _{\lambda }\Gamma ),

является изоморфизмом, содержащим случай без коэффициентов, как случай $A=\mathbb {C} .$

Однако контрпримеры гипотезе с коэффициентами были найдены в 2002 году Найджелом Хигсоном , Винсентом Лафоргом и Жоржем Скандалисом . Однако гипотеза о коэффициентах остается активной областью исследований, поскольку, в отличие от классической гипотезы, ее часто рассматривают как утверждение, касающееся определенных групп или классов групп.

Примеры

Позволять $\Gamma$ быть целыми числами $\mathbb {Z}$ . Тогда левая часть — это K- гомологии $B\mathbb {Z}$ что такое круг. $C^{*}$ -алгебра целых чисел осуществляется коммутативным преобразованием Гельфанда–Наймарка, которое сводится к преобразованию Фурье , в данном случае изоморфному алгебре непрерывных функций на окружности. Итак, правая часть — это топологическая К-теория круга. Затем можно показать, что отображение сборки представляет собой КК-теоретическую двойственность Пуанкаре , определенную Геннадием Каспаровым , которая является изоморфизмом.

Результаты

Гипотеза без коэффициентов все еще остается открытой, хотя с 1982 года этой области уделяется большое внимание.

Гипотеза доказана для следующих классов групп:

Дискретные подгруппы $SO(n,1)$ и $SU(n,1)$ .
Группы со свойством Хаагерупа , иногда называемые aT-перемещаемыми группами . Это группы, допускающие изометрическое действие в аффинном гильбертовом пространстве. $H$ что правильно в том смысле, что $\lim _{n\to \infty }g_{n}\xi \to \infty$ для всех $\xi \in H$ и все последовательности элементов группы $g_{n}$ с $\lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty$ . Примерами aT-менабельных групп являются аменабельные группы , группы Кокстера , группы, правильно действующие на деревьях , и группы, правильно действующие на односвязных группах. $CAT(0)$ кубические комплексы.
Группы, допускающие конечное представление только с одним отношением.
Дискретные кокомпактные подгруппы вещественных групп Ли вещественного ранга 1.
Кокомпактные решетки в $SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )$ или $SL(3,\mathbb {Q} _{p})$ . Это была давняя проблема с первых дней существования гипотезы — найти единственную Т-группу с бесконечными свойствами, которая ей удовлетворяет. Однако такую группу дал В. Лаффорг в 1998 г., показав, что кокомпактные решетки в $SL(3,\mathbb {R} )$ обладают свойством быстрого распада и, таким образом, удовлетворяют гипотезе.
Гиперболические группы Громова и их подгруппы.
Среди недискретных групп гипотеза была высказана в 2003 году Дж. Шабертом, С. Эхтерхоффом и Р. Нестом для обширного класса всех почти связных групп (т. е. групп, имеющих кокомпактную связную компоненту) и всех групп $k$ -рациональные точки линейной алгебраической группы над локальным полем $k$ нулевой характеристики (например, $k=\mathbb {Q} _{p}$ ). Для важного подкласса реальных редуктивных групп гипотеза уже была высказана в 1987 году Энтони Вассерманом . ^{[ 1 ]}

Инъективность известна для гораздо большего класса групп благодаря методу Дирака-двойника-Дирака. Это восходит к идеям Майкла Атьи и в общих чертах развито Геннадием Каспаровым в 1987 году. Инъективность известна для следующих классов:

Дискретные подгруппы связных групп Ли или виртуально связных групп Ли.
Дискретные подгруппы p-адических групп .
Болические группы (некоторое обобщение гиперболических групп).
Группы, допускающие аменабельное действие на некотором компакте.

Простейшим примером группы, для которой неизвестно, удовлетворяет ли она гипотезе, является $SL_{3}(\mathbb {Z} )$ .

Ссылки

^ Библиографические данные MathSciNet

Мислин, Гвидо и Валетт, Ален (2003), Правильные групповые действия и гипотеза Баума – Конна , Базель: Биркхойзер, ISBN 0-8176-0408-1 .
Валетт, Ален (2002), Введение в гипотезу Баума-Конна , Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6706-0 .

Внешние ссылки

О гипотезе Баума-Конна Дмитрия Мацнева.

[1] Библиографические данные MathSciNet

[ 1 ]