недвижимость в Хаагерупе

В математике , свойство Хаагерупа названное в честь Уффе Хаагерупа и также известное как Громова aT -менабельность , — это свойство групп , которое является сильным отрицанием свойства Каждана (T) . Свойство (T) считается формой жесткости в теории представлений, поэтому свойство Хаагерупа можно рассматривать как форму сильной нежесткости; подробности см. ниже.

Свойство Хаагерупа интересно для многих областей математики, включая гармонический анализ , теорию представлений , операторную К-теорию и геометрическую теорию групп .

Возможно, самым впечатляющим следствием этого является то, что группы со свойством Хаагерупа удовлетворяют гипотезе Баума-Конна и связанной с ней гипотезе Новикова . Группы со свойством Хаагерупа также равномерно вложима в гильбертово пространство .

Определения

Позволять $G$ — вторая счетная локально компактная группа . Следующие свойства эквивалентны, и любое из них можно рассматривать как определение свойства Хаагерупа:

1. Существует собственная непрерывная условно отрицательно определенная функция $\Psi \colon G\to \mathbb {R} ^{+}$.
2. $G$ имеет свойство аппроксимации Хаагерупа , также известное как свойство $C_{0}$: существует последовательность нормированных непрерывных положительно определенных функций $\phi _{n}$ которые исчезают в бесконечности на $G$ и сходятся к 1 равномерно на компактных подмножествах $G$.
3. Существует сильно непрерывное унитарное представление $G$ который слабо содержит тривиальное представление и матричные коэффициенты которого обращаются в нуль на бесконечности на $G$.
4. Существует собственное непрерывное аффинное изометрическое действие $G$ в гильбертовом пространстве .

Примеры

Существует множество примеров групп со свойством Хаагерупа, большинство из которых имеют геометрическое происхождение. В список входят:

• Все компактные группы (тривиально). Обратите внимание, что все компактные группы также обладают свойством (T) . Верно и обратное: если группа обладает одновременно свойством (T) и свойством Хаагерупа, то она компактна.
• ТАК (п, 1)
• СУ(n,1)
• Группы, действующие правильно на деревьях или на $\mathbb {R}$-деревья
• Группы Кокстера
• Поддающиеся группы
• Группы, правильно действующие на CAT(0) кубических комплексах

Источники

• Шерикс, Пьер-Ален; Коулинг, Майкл; Жолиссэн, Поль; Юг, Пьер; Валетт, Ален (2001), Группы со свойством Хаагерупа. АТ-менабельность Громова. , Прогресс в математике, вып. 197, Базель: Birkhäuser Verlag, номер номера : 10.1007/978-3-0348-8237-8 , ISBN.  3-7643-6598-6 , МР   1852148