Кубический комплекс

В математике кубический комплекс (также называемый кубическим множеством и декартовым комплексом) ) представляет собой набор , состоящий из точек , отрезков линий , квадратов , кубов и их n -мерных аналогов . Они используются аналогично симплициальным комплексам и комплексам CW при вычислении гомологии топологических пространств .

Все графы являются ( гомеоморфными ) одномерным кубическим комплексам.

Определения

Элементарный интервал – это подмножество $I\subsetneq \mathbf {R}$ формы

$I=[l,l+1]\quad {\text{or}}\quad I=[l,l]$

для некоторых $l\in \mathbf {Z}$. Элементарный куб $Q$ есть конечное произведение элементарных интервалов, т.е.

$Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subsetneq \mathbf {R} ^{d}$

где $I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}$ являются элементарными интервалами. Эквивалентно, элементарный куб — ​​это любой сдвиг единичного куба. $[0,1]^{n}$ встроенный в евклидово пространство $\mathbf {R} ^{d}$ (для некоторых $n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}$ с $n\leq d$). Набор $X\subseteq \mathbf {R} ^{d}$ является кубическим комплексом (или кубическим множеством ), если его можно записать как объединение элементарных кубов (или, возможно, гомеоморфно такому множеству).

Сопутствующая терминология

Элементарные интервалы длины 0 (содержащие одну точку) называются вырожденными , а длины 1 — невырожденными . Размерность куба — это количество невырожденных интервалов в $Q$, обозначенный $\dim Q$. Размерность кубического комплекса $X$ является наибольшим измерением любого куба в $X$.

Если $Q$ и $P$ являются элементарными кубами и $Q\subseteq P$, затем $Q$ является лицом ​ $P$. Если $Q$ является лицом $P$ и $Q\neq P$, затем $Q$ это настоящее лицо $P$. Если $Q$ является лицом $P$ и $\dim Q=\dim P-1$, затем $Q$ является гранью или основным лицом $P$.

Алгебраическая топология

Основная статья: Кубические гомологии

В алгебраической топологии кубические комплексы часто полезны для конкретных вычислений. В частности, существует определение гомологии кубических комплексов, совпадающее с сингулярными гомологиями , но вычислимое .

См. также

• Симплициальный комплекс
• Симплициальная гомология
• Абстрактный клеточный комплекс