Граф (топология)

В топологии , разделе математики , граф — это топологическое пространство , возникающее из обычного графа. $G=(E,V)$ заменой вершин точками и каждым ребром $e=xy\in E$ копией единичного интервала $I=[0,1]$ , где $0$ идентифицируется с точкой, связанной с $x$ и $1$ с точкой, связанной с $y$ . То есть, как топологические пространства, графы представляют собой в точности симплициальные 1-комплексы , а также в точности одномерные комплексы CW . ^[1]

Таким образом, в частности, оно имеет фактор топологию множества -

X_{0}\sqcup \bigsqcup _{e\in E}I_{e}

под фактор-картой, используемой для склейки. Здесь $X_{0}$ — 0-скелет (состоящий из одной точки для каждой вершины $x\in V$ ), $I_{e}$ к нему приклеены замкнутые интервалы , по одному на каждое ребро $e\in E$ , и $\sqcup$ это непересекающийся союз . ^[1]

Топология графа этого пространства называется топологией .

Подграфы и деревья

Подграф графа $X$ это подпространство $Y\subseteq X$ который также является графом и все узлы которого содержатся в 0-скелете $X$ . $Y$ является подграфом тогда и только тогда, когда он состоит из вершин и ребер из $X$ и закрыто. ^[1]

Подграф $T\subseteq X$ называется деревом, если оно сжимаемо как топологическое пространство. ^[1] Это можно показать эквивалентным обычному определению дерева в теории графов , а именно связному графу без циклов .

Характеристики

Соответствующее топологическое пространство графа связно (относительно топологии графа) тогда и только тогда, когда связен исходный граф .
Каждый связный граф $X$ содержит хотя бы одно максимальное дерево $T\subseteq X$ , то есть дерево, максимальное относительно порядка, индуцированного включением множества в подграфы $X$ какие деревья. ^[1]
Если $X$ это график и $T\subseteq X$ максимальное дерево, то фундаментальная группа $\pi _{1}(X)$ равно свободной группе, созданной элементами $(f_{\alpha })_{\alpha \in A}$ , где $\{f_{\alpha }\}$ соответствуют биективно ребрам $X\setminus T$ ; фактически, $X$ эквивалентна гомотопически сумме клиновой окружностей . ^[1]
Формирование топологического пространства, связанного с графом, как указано выше, представляет собой функтор из категории графов в категорию топологических пространств .
Каждое накрывающее пространство, проектируемое на граф, также является графом. ^[1]

См. также

Гомологии графов
Топологическая теория графов
Теорема Нильсена – Шрайера , стандартное доказательство которой использует эту концепцию.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. п. 83 и след. ISBN 0-521-79540-0 .

[hatcher-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. п. 83 и след. ISBN 0-521-79540-0 .

[1]