Сумма клина

Сумма клина двух кругов

В топологии клиновая сумма представляет собой «одноточечное объединение» семейства топологических пространств . В частности, если X и Y — точечные пространства (т. е. топологические пространства с выделенными базовыми точками $x_{0}$ и $y_{0}$) клин-сумма X и Y является фактор- дизъюнктного объединения X и пространством Y по отождествлению $x_{0}\sim y_{0}:$

$$X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },$$

где $\,\sim \,$ – замыкание эквивалентности отношения $\left\{\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}.$В более общем плане, предположим $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ это индексированное семейство точечных пространств с базовыми точками $\left(p_{i}\right)_{i\in I}.$ Сумма клина семьи определяется следующим образом:

$$\bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },$$

где $\,\sim \,$ – замыкание эквивалентности отношения $\left\{\left(p_{i},p_{j}\right):i,j\in I\right\}.$ Другими словами, сумма клина — это объединение нескольких пространств в одной точке. Это определение чувствительно к выбору базовых точек. $\left(p_{i}\right)_{i\in I},$ если только пробелы $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ однородны ​ .

Клин-сумма снова представляет собой точечное пространство, а бинарная операция ассоциативна и коммутативна (с точностью до гомеоморфизма).

Иногда сумму клина называют произведением клина , но это не то же самое, что внешнее произведение , которое также часто называют произведением клина.

Примеры

Клиновая сумма двух окружностей гомеоморфна пространству восьмерки . Сумма клина $n$ круги часто называют букетом кругов , а произведение клина произвольных сфер часто называют букетом сфер .

Обычная конструкция в гомотопии - отождествить все точки вдоль экватора. $n$-сфера $S^{n}$. В результате появятся две копии сферы, соединенные в точке, которая была экватором:

$$S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}.$$

Позволять $\Psi$ быть картой $\Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n},$ то есть определения экватора до одной точки. Затем сложение двух элементов $f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})$ принадлежащий $n$-мерная гомотопическая группа $\pi _{n}(X,x_{0})$ пространства $X$ в отмеченной точке $x_{0}\in X$ можно понимать как композицию $f$ и $g$ с $\Psi$:

$$f+g=(f\vee g)\circ \Psi .$$

Здесь, $f,g:S^{n}\to X$ это карты, которые занимают выдающуюся точку $s_{0}\in S^{n}$ в точку $x_{0}\in X.$ Обратите внимание, что вышеприведенное использует клиновую сумму двух функций, что возможно именно потому, что они согласуются при $s_{0},$ точка, общая для клиновой суммы лежащих в основе пространств.

Категориальное описание

Клиновую сумму можно понимать как копроизведение в категории точечных пространств . Альтернативно, сумму клина можно рассматривать как выталкивание диаграммы. $X\leftarrow \{\bullet \}\to Y$ в категории топологических пространств (где $\{\bullet \}$ любое одноточечное пространство).

Свойства

Теорема Ван Кампена дает определенные условия (которые обычно выполняются для пространств с хорошим поведением , таких как комплексы CW ), при которых фундаментальная группа клиновой суммы двух пространств $X$ и $Y$ является свободным продуктом фундаментальных групп $X$ и $Y.$

См. также

• Разбить продукт
• Гавайская серьга , топологическое пространство, напоминающее, но не то же самое, клиновую сумму счетного числа кругов.

Ссылки

• Ротман, Джозеф. Введение в алгебраическую топологию , Springer, 2004, стр. 153. ISBN   0-387-96678-1