Замыкание (математика)

Эта статья о замыканиях в целом. Для конкретного использования в топологии см. Замыкание (топология) . Чтобы узнать об использовании в информатике, см. Закрытие (информатика) .

В математике подмножество данного набора закрывается с большим набором , при операции если выполнение этой операции над членами подмножества всегда создает член этого подмножества. Например, натуральные числа замкнуты при сложении, но не при вычитании: 1 - 2 не является натуральным числом, хотя и 1, и 2 являются таковыми.

Аналогично, подмножество называется закрытым для набора операций, если оно закрыто для каждой из операций в отдельности.

Закрытие применения подмножества является результатом оператора замыкания к подмножеству . Замыкание . подмножества при некоторых операциях — это наименьшее надмножество, закрывающееся при этих операциях Его часто называют промежутком (например , линейным пролетом ) или сгенерированным набором .

Определения

Пусть S — множество, одним или несколькими методами создания элементов S из других элементов S. оснащенное Подмножество X из S называется замкнутым этих методов, если, когда все входные элементы находятся в X , то все возможные результаты также находятся в X. при использовании Иногда можно также сказать, что X имеет закрытие свойство .

Основное свойство замкнутых множеств, вытекающее непосредственно из определения, состоит в том, что каждое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Отсюда следует, что для каждого подмножества Y из S существует наименьшее замкнутое подмножество X из S такое, что $Y\subseteq X$ (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Y ). В зависимости от контекста X называется замыканием Y , множества порожденного или охватываемого Y или .

Понятия замкнутых множеств и замыкания часто распространяются на любые свойства подмножеств, устойчивые при пересечении; то есть каждое пересечение подмножеств, имеющих это свойство, также имеет это свойство. Например, в $\mathbb {C} ^{n},$ множество Замкнутое по Зарисскому , , также известное как алгебраическое множество — это множество общих нулей семейства многочленов, а замыкание Зарисского множества V точек — это наименьшее алгебраическое множество, V. содержащее

В алгебраических структурах

Алгебраическая структура — это набор операций , удовлетворяющих некоторым аксиомам . Эти аксиомы могут быть тождествами . Некоторые аксиомы могут содержать кванторы существования. $\exists ;$ в этом случае стоит добавить некоторые вспомогательные операции, чтобы все аксиомы стали тождествами или чисто универсально кванторными формулами. см . в разделе «Алгебраическая структура» Подробности .

В этом контексте, учитывая алгебраическую структуру — это подмножество , S, подструктура S которое замкнуто относительно всех операций S , включая вспомогательные операции, которые необходимы для того, чтобы избежать кванторов существования. Подструктура — это алгебраическая структура того же типа, что и S . Отсюда следует, что на конкретном примере, когда близость доказана, нет необходимости проверять аксиомы доказательства того, что подструктура является структурой одного типа.

Учитывая подмножество X алгебраической структуры S , замыкание X является наименьшей подструктурой S которая замкнута относительно всех операций S. , В контексте алгебраических структур это замыкание обычно называется подструктурой, , и говорят , порожденной или натянутой X что X является порождающим набором подструктуры.

Например, группа — это набор с ассоциативной операцией , часто называемой умножением , с единичным элементом , так что каждый элемент имеет обратный элемент . Здесь вспомогательными операциями являются нулевая операция, приводящая к единичному элементу, и унарная операция инверсии. Подмножество группы, замкнутое относительно умножения и инверсии, также замкнуто относительно нулевой операции (т. е. содержит единицу) тогда и только тогда, когда оно непусто. Итак, непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и обращения, — это группа, называемая подгруппой . Подгруппа, порожденная одним элементом, то есть замыкание этого элемента, называется циклической группой .

В линейной алгебре замыкание непустого подмножества векторного пространства (при операциях в векторном пространстве, то есть сложении и скалярном умножении) является линейной оболочкой этого подмножества. Согласно предыдущему общему результату, это векторное пространство, и можно легко доказать, что оно представляет собой множество линейных комбинаций элементов подмножества.

Подобные примеры можно привести почти для всех алгебраических структур, иногда с использованием некоторой специфической терминологии. Например, в коммутативном кольце замыкание одного элемента при идеальных операциях называется главным идеалом .

Бинарные отношения

Бинарное отношение на множестве A можно определить как подмножество R множества. $A\times A,$ множество упорядоченных пар элементов A . Обозначения $xRy$ обычно используется для $(x,y)\in R.$ Многие свойства или операции над отношениями могут использоваться для определения замыканий. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных:

Рефлексивность

Отношение R на множестве A рефлексивно , если $(x,x)\in R$ для каждого $x\in A.$ Поскольку каждое пересечение рефлексивных отношений рефлексивно, это определяет замыкание. Таким образом, рефлексивное замыкание отношения R есть

$$R\cup \{(x,x)\mid x\in A\}.$$

Симметрия

Симметрия – это унарная операция над $A\times A$ это отображает $(x,y)$ к $(y,x).$ Отношение называется симметричным, если оно замкнуто относительно этой операции, а симметричным замыканием отношения R является его замыкание относительно этого отношения.

Транзитивность

Транзитивность определяется частичной бинарной операцией над $A\times A$ это отображает $(x,y)$ и $(y,z)$ к $(x,z).$ Отношение является транзитивным, если оно замкнуто при этой операции, а транзитивным замыканием отношения является его закрытие при этой операции.

Предварительный порядок — это отношение, которое является рефлексивным и транзитивным. Отсюда следует, что рефлексивное транзитивное замыкание отношения — это наименьший предпорядок, содержащий его. Аналогично, рефлексивное транзитивное симметричное замыкание или замыкание эквивалентности отношения — это наименьшее отношение эквивалентности , которое его содержит.

Другие примеры

• В теории матроидов замыкание X — это самое большое надмножество X , имеющее тот же ранг, что X. и
• Транзитивное замыкание множества ​ .
• Алгебраическое замыкание поля ​ .
• Целое замыкание области целостности в поле . содержащем ее
• Радикал идеала в коммутативном кольце .
• В геометрии выпуклая оболочка множества S точек — это наименьшее выпуклое множество которого S. является подмножеством ,
• В формальных языках языка замыкание Клини можно описать как набор строк, которые можно создать путем объединения нуля или более строк из этого языка.
• В теории групп сопряженное замыкание или нормальное замыкание набора элементов группы — это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая этот набор.
• В математическом анализе и теории вероятностей замыкание набора подмножеств X при счетном числе операций над множествами называется σ-алгеброй , порожденной набором.

Оператор закрытия

Основная статья: Оператор замыкания

В предыдущих разделах замыкания рассматривались для подмножеств данного множества. Подмножества множества образуют частично упорядоченное множество (poset) для включения . Операторы замыкания позволяют обобщить концепцию замыкания на любое частично упорядоченное множество.

Учитывая частично упорядоченное множество S , частичный порядок которого обозначается знаком ≤ , оператор замыкания на S является функцией $C:S\to S$ то есть

• увеличивается ( $x\leq C(x)$ для всех $x\in S$),
• идемпотент ( $C(C(x))=C(x)$), и
• монотонный ( $x\leq y\implies C(x)\leq C(y)$).

Эквивалентно, функция из S в S является оператором замыкания, если $x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)$ для всех $x,y\in S.$

Элемент S замкнут , если он является замыканием самого себя, то есть если $x=C(x).$ По идемпотентности элемент замкнут тогда и только тогда, когда он является замыканием некоторого элемента S .

Примером может служить оператор топологического замыкания ; в характеристике Куратовского аксиомы К2, К3, К4' соответствуют указанным выше определяющим свойствам. Примером, не работающим с подмножествами, является функция потолка , которая отображает каждое действительное число x в наименьшее целое число, не меньшее x .

Оператор замыкания против закрытых множеств

Замыкание подмножеств данного множества может быть определено либо оператором замыкания, либо набором замкнутых множеств, устойчивым при пересечении и включающим данное множество. Эти два определения эквивалентны.

Действительно, из определяющих свойств оператора замыкания C следует, что пересечение замкнутых множеств замкнуто: если ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ является пересечением замкнутых множеств, то $C(X)$ должен содержать X и содержаться в каждом $X_{i}.$ Это подразумевает $C(X)=X$ по определению перекрестка.

И наоборот, если заданы замкнутые множества и каждое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то можно определить оператор замыкания C такой, что $C(X)$ является пересечением замкнутых множеств, содержащих X .

Эта эквивалентность остается верной для частично упорядоченных множеств со свойством наибольшей нижней границы , если заменить «замкнутые множества» на «замкнутые элементы», а «пересечение» на «наибольшую нижнюю границу».

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое замыкание» . Математический мир .