Подструктура (математика)

В математической логике ( индуцированная ) подструктура или ( индуцированная ) подалгебра — это структура , домен которой является подмножеством более крупной структуры, и чьи функции и отношения ограничены областью подструктуры. Некоторыми примерами подалгебр являются подгруппы , субмоноиды , подкольца , подполя , подалгебры алгебр над полем или индуцированные подграфы . Смещая точку зрения, более крупную структуру называют продолжением или надстройкой своей подструктуры.

В теории моделей термин « подмодель » часто используется как синоним субструктуры, особенно когда контекст предполагает теорию, моделями которой являются обе структуры.

При наличии отношений (т.е. для таких структур, как упорядоченные группы или графы , сигнатура которых не является функциональной) может иметь смысл ослабить условия на подалгебру так, чтобы отношения на слабой подструктуре (или слабой подалгебре ) были не более чем теми, которые индуцированный более крупной структурой. Подграфы являются примером, когда различие имеет значение, и термин «подграф» действительно относится к слабым подструктурам. упорядоченные группы С другой стороны, обладают тем особым свойством, что каждая подструктура упорядоченной группы, которая сама является упорядоченной группой, является индуцированной подструктурой.

Определение [ править ]

Для двух структур A и B одинаковой сигнатуры σ подструктурой говорят, что A является B или слабой слабой подалгеброй B , если

домен A является подмножеством домена B ,
ж ^А = е ^Б| _{А ^н} для каждого n -арного функционального символа f в σ и
р ^А $\subseteq$ р ^Б $\cap$ А ^н для каждого n -арного символа отношения R в σ.

или Говорят, что A является подалгеброй B подструктурой B , если A B является слабой подалгеброй , и, более того

р ^А = Р ^Б $\cap$ А ^н для каждого n -арного символа отношения R в σ.

Если A подструктурой B , то или , особенно если B называется надстройкой A A индуцированной подструктурой, расширением A. является является

Пример [ править ]

В языке, состоящем из бинарных функций + и ×, бинарного отношения < и констант 0 и 1, структура ( Q , +, ×, <, 0, 1) является подструктурой ( R , +, ×, <, 0, 1). В более общем смысле, подструктуры упорядоченного поля (или просто поля ) являются именно его подполями. Аналогично в языке (×, ⁻¹, 1) групп подструктурами группы являются ее подгруппы . Однако в языке (×, 1) моноидов подструктурами группы являются ее субмоноиды . Они не обязательно должны быть группами; и даже если это группы, они не обязательно должны быть подгруппами.

В случае графов (в сигнатуре, состоящей из одного бинарного отношения) подграфы и его слабые подструктуры являются именно его подграфами.

Как подобъекты [ править ]

Для каждой сигнатуры σ индуцированные подструктуры σ-структур являются подобъектами в конкретной категории σ-структур и сильных гомоморфизмов (а также в конкретной категории σ-структур и σ- вложений ). Слабые подструктуры σ-структур — это подобъекты конкретной категории σ-структур и гомоморфизмов в обычном смысле.

Подмодели [ править ]

В теории моделей, учитывая структуру M которая является моделью теории T , подмоделью M , в более узком смысле является подструктура M которая также является моделью T. , Например, если T — теория абелевых групп в сигнатуре (+, 0), то подмодели группы целых чисел ( Z , +, 0) являются подструктурами, которые также являются абелевыми группами. Таким образом, натуральные числа ( N , +, 0) образуют подструктуру ( Z , +, 0), которая не является подмоделью, а четные числа (2 Z , +, 0) образуют подмодель.

Другие примеры:

Алгебраические числа образуют подмодель комплексных чисел в теории алгебраически замкнутых полей .
Рациональные числа образуют подмодель действительных чисел в теории полей .
Каждая элементарная подструктура модели теории T также удовлетворяет T ; следовательно, это подмодель.

В категории моделей теории и вложений между ними подмоделями модели являются ее подобъекты .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (1981), Курс универсальной алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
Дистель, Рейнхард (2005) [1997], Теория графов , Тексты для выпускников по математике, том. 173 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-26183-4
Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-58713-6