Частично упорядоченная группа

«Заказная группа» перенаправляется сюда. Информацию о группах с общим или линейным порядком см. в разделе «Линейно упорядоченная группа» .

В абстрактной алгебре — частично упорядоченная группа это группа ( G , +), наделенная частичным порядком «≤», который является трансляционно-инвариантным ; другими словами, «≤» обладает тем свойством, что для всех a , b и g в G , если a ≤ b , то a + g ≤ b + g и g + a ≤ g + b .

Элемент x группы G называется положительным , если 0 ≤ x . Множество элементов 0 ≤ x часто обозначается G ⁺ , и называется положительным конусом G .

По трансляционной инвариантности мы имеем a ≤ b тогда и только тогда, когда 0 ≤ - a + b . Таким образом, мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: a ≤ b тогда и только тогда, когда - a + b ∈ G. ⁺ .

Для общей группы G существование положительного конуса задает порядок G. в Группа G является частично упорядочиваемой группой тогда и только тогда, когда существует подмножество H (которое есть G ⁺ ) группы G такая, что:

• 0 ∈ Н
• если a € H и b € H , то a + b € H
• если a ∈ H , то - x + a + x ∈ H для каждого x из G
• если a ∈ H и -a ∈ H , то a = 0

Частично упорядоченная группа G с положительным конусом G ⁺ называется неперфорированным , если n · g ∈ G ⁺ для некоторого натурального числа n следует, что g ∈ G ⁺ . нет «зазора» . Отсутствие перфорации означает, что в положительном конусе G ⁺ .

Если порядок в группе является линейным , то ее называют линейно упорядоченной группой . Если порядок в группе является решеточным порядком , т.е. любые два элемента имеют наименьшую верхнюю границу, то это группа с решетчатым упорядочением (сокращенно l-group , хотя обычно набирается шрифтом l : ℓ-group).

Группа Рисса — это неперфорированная частично упорядоченная группа , обладающая свойством немного более слабым, чем свойство решеточно-упорядоченной группы. А именно, группа Рисса удовлетворяет свойству интерполяции Рисса : если x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ являются элементами G и x _i ≤ y _j , то существует z ∈ G такой, что x _i ≤ z ≤ y _j .

Если G и H — две частично упорядоченные группы, отображение из G в H является морфизмом частично упорядоченных групп, если оно одновременно является групповым гомоморфизмом и монотонной функцией . Частично упорядоченные группы вместе с понятием морфизма образуют категорию .

используются при определении оценок полей . Частично упорядоченные группы

Примеры

• Целые числа в их обычном порядке
• Упорядоченное векторное пространство — это частично упорядоченная группа.
• Пространство Рисса — это решеточно упорядоченная группа.
• Типичным примером частично упорядоченной группы является Z ^н , где групповая операция представляет собой покомпонентное сложение, и мы пишем ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) тогда и только тогда, когда a _i ≤ b _i (в обычном порядке целые числа) для всех i = 1,..., n .
• В более общем смысле, если G — частично упорядоченная группа, а X — некоторое множество, то множество всех функций от X до G снова является частично упорядоченной группой: все операции выполняются покомпонентно. каждая подгруппа G Более того , является частично упорядоченной группой: она наследует порядок от G .
• Если A — приблизительно конечномерная C*-алгебра или, в более общем смысле, если A — стабильно конечная единичная C*-алгебра, то K0 _{) —} ( A частично упорядоченная абелева группа . (Эллиотт, 1976)

Свойства

Архимед

Архимедово свойство действительных чисел можно обобщить на частично упорядоченные группы.

Свойство: частично упорядоченная группа. $G$ называется архимедовым, если для любого $a,b\in G$, если $e\leq a\leq b$ и $a^{n}\leq b$ для всех $n\geq 1$ затем $a=e$. Эквивалентно, когда $a\neq e$, то для любого $b\in G$, есть некоторая $n\in \mathbb {Z}$ такой, что $b<a^{n}$.

Полностью закрытый

Частично упорядоченная группа G называется целозамкнутой, если для всех элементов a и b из G , если a ^н ≤ b для всех натуральных n , то a ≤ 1.

Это свойство несколько сильнее, чем тот факт, что частично упорядоченная группа является архимедовой , хотя для решеточно-упорядоченной группы быть целозамкнутой и быть архимедовой эквивалентно. Существует теорема о том, что всякая целозамкнутая направленная группа уже абелева . Это связано с тем, что направленная группа вкладывается в полную решеточно-упорядоченную группу тогда и только тогда, когда она целозамкнута.

См. также

• Циклически упорядоченная группа - группа с циклическим порядком, соблюдаемым групповой операцией.
• Линейно упорядоченная группа – группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
• Упорядоченное поле – алгебраический объект с упорядоченной структурой.
• Заказное кольцо — кольцо с совместимым общим порядком. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
• Частично упорядоченное кольцо - Кольцо с совместимым частичным порядком.
• Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.

Ссылки

• М. Андерсон и Т. Фейл, Решетчато-упорядоченные группы: введение , Д. Рейдель, 1988.
• Биркгоф, Гаррет (1942). «Решетчато-упорядоченные группы» . Анналы математики . 43 (2): 313. дои : 10.2307/1968871 . ISSN   0003-486X .
• М. Р. Дарнел, Теория решеточно-упорядоченных групп , Конспект лекций по чистой и прикладной математике 187, Марсель Деккер, 1995.
• Л. Фукс, Частично упорядоченные алгебраические системы , Pergamon Press, 1963.
• Стекло, AMW (1982). Упорядоченные группы перестановок . дои : 10.1017/CBO9780511721243 . ISBN  9780521241908 .
• Стекло, AMW (1999). Частично упорядоченные группы . ISBN  981449609X .
• В. М. Копытов и А. И. Кокорин (пер. Д. Лувиша), Полностью упорядоченные группы , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
• В.М. Копытов и Н.Я. Медведев, Правоупорядоченные группы , Сибирская школа алгебры и логики, Консультантское бюро, 1996.
• Kopytov, V. M.; Medvedev, N. Ya. (1994). The Theory of Lattice-Ordered Groups . doi : 10.1007/978-94-015-8304-6 . ISBN  978-90-481-4474-7 .
• Р.Б. Мура и А. Ремтулла, Упорядочимые группы , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике 27, Марсель Деккер, 1977.
• Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Университеттекст. 2005. дои : 10.1007/b139095 . ISBN  1-85233-905-5 . , гл. 9.
• Эллиотт, Джордж А. (1976). «О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр». Журнал алгебры . 38 : 29–44. дои : 10.1016/0021-8693(76)90242-8 .

Дальнейшее чтение

Эверетт, CJ; Улам, С. (1945). «Об упорядоченных группах» . Труды Американского математического общества . 57 (2): 208–216. дои : 10.2307/1990202 . JSTOR   1990202 .

Внешние ссылки

• Копытов, В.М. (2001) [1994], «Частично упорядоченная группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Копытов, В.М. (2001) [1994], "Решетчато-упорядоченная группа" , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Эта статья включает в себя материалы из частично упорядоченной группы PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .