Циклически упорядоченная группа

В математике — циклически упорядоченная группа это набор, имеющий как групповую структуру , так и циклический порядок , такой, что левое и правое умножение сохраняют циклический порядок.

Циклически упорядоченные группы впервые были подробно изучены Ладиславом Ригером в 1947 году. ^[1] Они являются обобщением циклических групп : бесконечной циклической группы $Z$ и конечных циклических групп $Z / n$ . Поскольку линейный порядок порождает циклический порядок, циклически упорядоченные группы также являются обобщением линейно упорядоченных групп : рациональные числа $Q$ , действительные числа $R$ и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из предыдущих категорий: группа кругов $T$ и ее подгруппы , такие как подгруппа рациональных точек .

Факторы линейных групп

Циклически упорядоченные группы естественно изображать как факторы : $Z n = Z / n Z$ и $T = R / Z$ . Даже некогда линейную группу, такую как $Z$ , если согнуть в круг, можно рассматривать как $Z. 2 / З.$ Ригер ( 1946 , 1947 , 1948 ) показал, что эта картина представляет собой родовое явление. Для любой упорядоченной группы $L$ и любого центрального элемента $z$ , который порождает конфинальную подгруппу $Z$ группы $L$ , факторгруппа $L / Z$ является циклически упорядоченной группой. Более того, любая циклически упорядоченная группа может быть выражена как такая факторгруппа. ^[2]

Группа «Круг»

Сверчковский (1959a) развивал результаты Ригера в другом направлении. Учитывая циклически упорядоченную группу $K$ и упорядоченную группу $L$ , произведение $K \times L$ является циклически упорядоченной группой. В частности, если $T$ — круговая группа, а $L$ — упорядоченная группа, то любая подгруппа $T \times L$ является циклически упорядоченной группой. Более того, каждая циклически упорядоченная группа может быть выражена как подгруппа такого произведения с $T$ . ^[3]

По аналогии с архимедовой линейно упорядоченной группой можно определить архимедову циклически упорядоченную группу как группу, не содержащую ни одной пары элементов $x, y$ таких, что $[e, x н, y]$ для каждого натурального числа $n$ . ^[3] только положительные $n$ Поскольку рассматриваются , это более сильное условие, чем его линейный аналог. Например, $Z$ имеется $[0, n, -1]$ больше не подходит, поскольку для каждого $n$ .

Как следствие доказательства Сверчковского, каждая архимедова циклически упорядоченная группа является подгруппой $T.$ самого ^[3] Этот результат аналогичен теореме Отто Гёльдера 1901 года о том, что каждая архимедова линейно упорядоченная группа является подгруппой $R$ . ^[4]

Топология

Каждая компактная циклически упорядоченная группа является подгруппой $T$ .

Связанные структуры

Глущанков (1993) показал, что определенная подкатегория циклически упорядоченных групп, «проектируемые Ic-группы со слабой единицей», эквивалентна определенной подкатегории MV-алгебр , «проектируемым MV-алгебрам». ^[5]

Примечания

^ Печинова-Козакова 2005 , стр. 194.
^ Сверчковский 1959a , стр. 162.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Сверчковский 1959а , стр. 161–162.
^ Hölder 1901 , цитируется по Hofmann & Lawson 1996 , стр. 19, 21, 37.
^ Глущанкоф 1993 , с. 261.

Ссылки

Глущанкоф, Дэниел (1993), «Циклические упорядоченные группы и MV-алгебры» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 43 (2): 249–263, номер документа : 10.21136/CMJ.1993.128391 , получено 30 апреля 2011 г.
Хофманн, Карл Х.; Лоусон, Джимми Д. (1996), «Обзор полностью упорядоченных полугрупп», Хофманн, Карл Х.; Мислов, Майкл В. (ред.), Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 г., посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 231, Издательство Кембриджского университета, стр. 15–39, ISBN. 978-0-521-57669-7
Пецинова-Козакова, Элишка (2005), «Ладислав Сванте Ригер и его алгебраическая работа», в Сафранковой, Яне (редактор), WDS 2005 - Сборник статей, Часть I , Прага: Matfyzpress , стр. 190–197, CiteSeerX 10.1.1.90.2398 , ISBN 978-80-86732-59-6
Сверчковски, С. (1959a), «О циклически упорядоченных группах» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 161–166, doi : 10.4064/fm-47-2-161-166 , получено 2 мая 2011 г.

Дальнейшее чтение

Чернак, Штефан (1989a), «Пополнение и канторово расширение циклически упорядоченных групп», в Халковской, Катажине; Ставский, Богуслав (ред.), Универсальная и прикладная алгебра (Turawa, 1988) , World Scientific, стр. 13–22, ISBN 978-9971-5-0837-1 , МР 1084391
Чернак, Штефан (1989b), «Канторовое расширение абелевой циклически упорядоченной группы» (PDF) , Mathematica Slovaca , 39 (1): 31–41, hdl : 10338.dmlcz/128948 , получено 21 мая 2011 г.
Чернак, Штефан (1991), «О пополнении циклически упорядоченных групп» (PDF) , Mathematica Slovaca , 41 (1): 41–49, hdl : 10338.dmlcz/131783 , получено 22 мая 2011 г.
Чернак, Штефан (1995), «Лексикографические произведения циклически упорядоченных групп» (PDF) , Mathematica Slovaca , 45 (1): 29–38, hdl : 10338.dmlcz/130473 , получено 21 мая 2011 г.
Чернак, Штефан (2001), «Канторовое расширение полулинейно циклически упорядоченной группы», Дискуссии Mathematicae - Общая алгебра и приложения , 21 (1): 31–46, doi : 10.7151/dmgaa.1025
Чернак, Штефан (2002), «Пополнение полулинейно циклически упорядоченной группы», Discountes Mathematicae - General Algebra and Applications , 22 (1): 5–23, doi : 10.7151/dmgaa.1043
Чернак, Штефан; Якубик, Ян (1987), «Пополнение циклически упорядоченной группы», Чехословацкий математический журнал , 37 (1): 157–174, doi : 10.21136/CMJ.1987.102144 , hdl : 10338.dmlcz/102144 , MR 0875137 , Zbl 06 24.06021
Фукс, Ласло (1963), «IV.6. Циклически упорядоченные группы», Частично упорядоченные алгебраические системы , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, вып. 28, Pergamon Press, стр. 61–65, LCC QA171.F82 1963.
Жироде, М.; Кульманн, Ф.-В.; Лелуп, Г. (февраль 2005 г.), «Формальный степенной ряд с циклически упорядоченными показателями» (PDF) , Archiv der Mathematik , 84 (2): 118–130, CiteSeerX 10.1.1.6.5601 , doi : 10.1007/s00013-004- 1145-5 , S2CID 16156556 , получено 30 апреля 2011 г.
Харминц, Матуш (1988), «Последовательные сходимости в циклически упорядоченных группах» (PDF) , Mathematica Slovaca , 38 (3): 249–253, hdl : 10338.dmlcz/128594 , получено 21 мая 2011 г.
Гёльдер О. (1901), «Аксиомы количества и теория меры», отчеты о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге, Mathematical Physicke Class , 53 : 1–64.
Якубик, Ян (1989), «Ретракты абелевых циклически упорядоченных групп» (PDF) , Archivum Mathematicum , 25 (1): 13–18, hdl : 10338.dmlcz/107334 , получено 21 мая 2011 г.
Якубик, Ян (1990), «Циклически упорядоченные группы с единственным сложением», Чехословацкий математический журнал , 40 (3): 534–538, doi : 10.21136/CMJ.1990.102406 , hdl : 10338.dmlcz/102406
Якубик, Ян (1991), «Пополнения и замыкания циклически упорядоченных групп» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 41 (1): 160–169, doi : 10.21136/CMJ.1991.102447 , hdl : 10338.dmlcz/102447 , MR 1087637 , получено 21 мая 2011 г.
Якубик, Ян (1998), «Лексикографическое разложение произведений циклически упорядоченных групп» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 48 (2): 229–241, doi : 10.1023/A:1022881202595 , hdl : 10338.dmlcz/127413 , S2CID 55134686 , получено 21 мая 2011 г.
Якубик, Ян (2002), «О полуциклически упорядоченных группах» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 52 (2): 275–294, doi : 10.1023/A:1021718426347 , hdl : 10338.dmlcz/127716 , S2CID 117967332 , получено 22 мая 2011 г.
Якубик, Ян (2008), «Последовательные сходимости в циклически упорядоченных группах без аксиомы Урысона», Mathematica Slovaca , 58 (6): 739–754, doi : 10.2478/s12175-008-0105-0
Якубик, Ян; Прингерова, Габриэла (1988), «Представления циклически упорядоченных групп» (PDF) , Časopis Pro Pestování Matematiky , 113 (2): 184–196, doi : 10.21136/CPM.1988.118342 , hdl : 10338.dmlcz/118342 , получено 30 апрель 2011 г.
Якубик, Ян; Прингерова, Габриэла (1988), «Радикальные классы циклически упорядоченных групп» (PDF) , Mathematica Slovaca , 38 (3): 255–268, hdl : 10338.dmlcz/129356 , получено 30 апреля 2011 г.
Якубик, Ян; Прингерова, Габриэла (1994), «Прямые пределы циклически упорядоченных групп» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 44 (2): 231–250, doi : 10.21136/CMJ.1994.128465 , hdl : 10338.dmlcz/128465 , получено 21 май 2011 г.
Лелуп, Жерар (2007), «Циклически оцениваемые кольца и формальные степенные ряды» , Annales Mathématiques Blaise Pascal , 14 (1): 37–60, doi : 10.5802/ambp.226 , получено 30 апреля 2011 г.
Ленц, Ханфрид (1967), «Об обосновании измерения угла», Mathematical News , 33 (5–6): 363–375, doi : 10.1002/mana.19670330510
Люс, Р. Дункан (1971), «Периодические обширные измерения» , Compositio Mathematica , 23 (2): 189–198 , получено 22 мая 2011 г.
Олтикар, Британская Колумбия (март 1980 г.). «Правильные циклически упорядоченные группы» . Канадский математический бюллетень . 23 (1): 67–70. дои : 10.4153/CMB-1980-009-3 . МР 0573560 .
Пецинова, Элишка (2008), Ладислав Сванте Ригер (1916–1963) , История математики (на чешском языке), том 36, Прага: Matfyzpress, hdl : 10338.dmlcz/400757 , ISBN. 978-80-7378-047-0 , получено 9 мая 2011 г.
Ригер, Л.С. (1946), «Об упорядоченных и циклически упорядоченных группах I», Журнал Королевского чешского общества наук, математики и естествознания) (на чешском языке) (6): 1–31
Ригер, Л.С. (1947), «Об упорядоченных и циклически упорядоченных группах II», Журнал Королевского чешского общества наук, математики и естествознания) (на чешском языке) (1): 1–33
Ригер, Л.С. (1948), «Об упорядоченных и циклически упорядоченных группах III», Журнал Королевского чешского общества наук, математики и естествознания) (на чешском языке) (1): 1–22
Ролл, Дж. Блэр (1976), О группах манипольдов: обобщение концепции циклически упорядоченных групп , Государственный университет Боулинг-Грин, OCLC 3193754
Ролл, Дж. Блэр (1993), «Локально частично упорядоченные группы» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 43 (3): 467–481, doi : 10.21136/CMJ.1993.128411 , hdl : 10338.dmlcz/128411 , получено 30 апрель 2011 г.
Виноградов А.А. (1970), «Упорядоченные алгебраические системы», Филиппов Н.Д. (редактор), Десять статей по алгебре и функциональному анализу , Переводы Американского математического общества, серия 2, том. 96, Книжный магазин AMS, стр. 69–118, ISBN. 978-0-8218-1796-4
Уокер, Гарольд Аллен (1972), Циклически упорядоченные полугруппы (Диссертация) , Университет Теннесси, OCLC 54363006
Забарина, Анна Ивановна (1982), «Теория циклически упорядоченных групп», Mathematical Notes , 31 (1): 3–8, doi : 10.1007/BF01146259 , S2CID 121833530 . Перевод Забарина (1982), «Математика-Нет.Ру». К теории циклически упорядоченных групп , Matematicheskie Zametki (in Russian), 31 (1): 3–12 , retrieved 22 May 2011
Забарина, Анна Ивановна (1985), "Линейные и циклические порядки в группе", Сибирский математический журнал , 26 (2): 204–207, 225, MR 0788349
Zabarina, Anna Ivanovna; Pestov, German Gavrilovich (1984), "Sverchkovskii's theorem", Siberian Mathematical Journal , 24 (4): 545–551, doi : 10.1007/BF00968891 , S2CID 121613711 . Translation from Sibirskii Matematicheskii Zhurnal , 46–53
Zabarina, Anna Ivanovna; Pestov, German Gavrilovich (1986), "On a criterion for cyclic orderability of a group", Uporyadochennye Mnozhestva I Reshetki (in Russian), 9 : 19–24, Zbl 0713.20034
Зассенхаус, Ганс (июнь – июль 1954 г.), «Что такое угол?», The American Mathematical Monthly , 61 (6): 369–378, doi : 10.2307/2307896 , JSTOR 2307896
Želeva, S. D. (1976), "On cyclically ordered groups", Sibirskii Matematicheskii Zhurnal (in Russian), 17 : 1046–1051, MR 0422106 , Zbl 0362.06022
Желева, С.Д. (1981), "Полуоднородно циклически упорядоченные группы", Годишник Высш. Учебн. Завед. Приложна Мат. (на русском языке), 17 (4): 123–126, МР 0705070 , Збл 0511.06013
Желева, С.Д. (1981), "Циклически и Т-образно упорядоченные группы", Годишник Высш. Учебн. Завед. Приложна Мат. (на русском языке), 17 (4): 137–149, МР 0705071 , Збл 0511.06014
Желева, С.Д. (1985), "Группа автоморфизмов циклически упорядоченного множества", Научные Тр., Пловдивский ун-т, Матем. (на болгарском языке), 23 (2): 25–31, Збл 0636.06009
Желева, С.Д. (1985), "Частичное правое упорядочение группы автоморфизмов циклически упорядоченного множества", Научные Тр., Пловдивский ун-т, Матем. (на болгарском языке), 23 (2): 47–56, Збл 0636.06011
Желева, С.Д. (1997), «Представление циклически упорядоченных справа групп как групп автоморфизмов циклически упорядоченного множества», Mathematica Balkanica , New Series, 11 (3–4): 291–294, Zbl 1036.06501
Желева, С.Д. (1998), «Решётчатые циклически упорядоченные группы», Mathematica Balkanica , New Series, 12 (1–2): 47–58, Zbl 1036.06502

[FOOTNOTEPecinová-Kozáková2005194-1] Печинова-Козакова 2005 , стр. 194.

[FOOTNOTEŚwierczkowski1959a162-2] Сверчковский 1959a , стр. 162.

[FOOTNOTEŚwierczkowski1959a161–162-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Сверчковский 1959а , стр. 161–162.

[4] Hölder 1901 , цитируется по Hofmann & Lawson 1996 , стр. 19, 21, 37.

[FOOTNOTEGluschankof1993261-5] Глущанкоф 1993 , с. 261.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]