Циклический порядок

Месяцы представляют собой циклический порядок.

В математике циклический порядок — это способ расположить набор объектов по кругу . ^[nb] В отличие от большинства структур теории порядка , циклический порядок не моделируется как бинарное отношение , такое как « a < b ». Никто не говорит, что восток расположен «более по часовой стрелке», чем запад. Вместо этого циклический порядок определяется как троичное отношение [ a , b , c ] , что означает «после a человек достигает b раньше c ». Например, [июнь, октябрь, февраль], а не [июнь, февраль, октябрь], ср. картина. Тернарное отношение называется циклическим порядком, если оно циклическое, асимметричное, транзитивное и связное . Отказ от требования «связности» приводит к частичному циклическому порядку .

Множество с циклическим порядком называется циклически упорядоченным множеством или просто циклом . ^[nb] Некоторые знакомые циклы дискретны и имеют лишь конечное число элементов « : семь дней недели , четыре стороны света , двенадцать нот хроматической гаммы и три пьесы в стиле камень-ножницы-бумага» . В конечном цикле каждый элемент имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент». Существуют также циклические порядки с бесконечным числом элементов, например ориентированный единичный круг на плоскости.

Циклические порядки тесно связаны с более знакомыми линейными порядками , в которых объекты располагаются в линию . Любой линейный порядок можно согнуть в круг, а любой циклический порядок можно разрезать в точке, в результате чего получится линия. Эти операции, наряду с соответствующими конструкциями интервалов и картами покрытия, означают, что вопросы о циклических порядках часто можно преобразовать в вопросы о линейных порядках. Циклы имеют больше симметрий, чем линейные порядки, и они часто естественным образом возникают как остатки линейных структур, как в конечных циклических группах или вещественной проективной прямой .

Конечные циклы

5-элементный цикл

Циклический порядок в множестве X с n элементами подобен расположению X на циферблате для n -часовых часов. Каждый элемент x в X имеет «следующий элемент» и «предыдущий элемент», и выбор преемников или предшественников циклически проходит ровно один раз по элементам как x (1), x (2), ..., x ( n ) .

Есть несколько эквивалентных способов сформулировать это определение. Циклический порядок на X — это то же самое, что перестановка , которая превращает все X в один цикл , что представляет собой особый тип перестановки — круговую перестановку . Альтернативно, цикл с n элементами также является торсором _: Zn- множеством со свободным транзитивным действием конечной циклической группы . Другая формулировка состоит в том, чтобы превратить X в стандартный граф ориентированных циклов на n вершинах путем сопоставления элементов с вершинами.

Может быть инстинктивно использовать циклические порядки для симметричных функций , например, как в

ху + yz + zx

где написание последнего монома как xz отвлекало бы от шаблона.

Существенное применение циклических порядков находит в определении классов сопряженности свободных групп . Два элемента g и h свободной группы F на множестве Y сопряжены тогда и только тогда, когда они записаны как произведения элементов y и y. ⁻¹ с y в Y , а затем эти продукты помещаются в циклический порядок, циклические заказы эквивалентны правилам перезаписи , которые позволяют удалять или добавлять соседние y и y ⁻¹ .

Циклический порядок на множестве X может быть определен линейным порядком на X , но не единственным способом. Выбор линейного порядка эквивалентен выбору первого элемента, поэтому существует ровно n линейных порядков, которые индуцируют данный циклический порядок. Поскольку существует n ! возможных линейных порядков (как в перестановках ), существует ( n − 1)! возможные циклические порядки (как в круговых перестановках ).

Определения

Бесконечное множество также можно упорядочить циклически. Важные примеры бесконечных циклов включают единичный круг , S ¹ и числа . Q рациональные Основная идея та же: располагаем элементы набора по кругу. Однако в бесконечном случае мы не можем полагаться на отношение непосредственного преемника, поскольку точки могут не иметь преемников. Например, для данной точки на единичном круге не существует «следующей точки». Мы также не можем полагаться на бинарное отношение, чтобы определить, какая из двух точек является «первой». Двигаясь по кругу по часовой стрелке, ни восток, ни запад не идут первыми, а следуют друг за другом.

Вместо этого мы используем троичное отношение, обозначающее, что элементы a , b , c появляются друг за другом (не обязательно сразу), когда мы движемся по кругу. Например, по часовой стрелке: [восток, юг, запад]. Обрабатывая , или как о аргументы троичного отношения [ a , b , c ] , можно думать о циклическом порядке как об однопараметрическом семействе отношений двоичного порядка, называемом разрезами двухпараметрическом семействе подмножеств K , называемом интервалы .

Тернарное отношение

Общее определение таково: циклический порядок на множестве X — это отношение C ⊂ X ³ , записанный [ a , b , c ] , который удовлетворяет следующим аксиомам: ^[nb]

1. Цикличность: если [ a , b , c ] , то [ b , c , a ]
2. Асимметрия: Если [ a , b , c ] , то не [ c , b , a ]
3. Транзитивность: если [ a , b , c ] и [ a , c , d ] , то [ a , b , d ]
4. Связность: если a , b и c различны, то либо [ a , b , c ] , либо [ c , b , a ]

Аксиомы названы по аналогии с аксиомами асимметрии , транзитивности и связности для бинарного отношения, которые вместе определяют строгий линейный порядок . Эдвард Хантингтон ( 1916 , 1924 ) рассматривал другие возможные списки аксиом, включая один список, который должен был подчеркнуть сходство между циклическим порядком и отношением между . Тернарное отношение, удовлетворяющее первым трем аксиомам, но не обязательно аксиоме тотальности, является частичным циклическим порядком .

Прокатка и резка

Учитывая линейный порядок < на множестве X , циклический порядок на X , индуцированный <, определяется следующим образом:

[ a , b , c ] тогда и только тогда, когда a < b < c или b < c < a или c < a < b

Два линейных порядка индуцируют один и тот же циклический порядок, если их можно преобразовать друг в друга посредством циклической перестановки, как в разрезание колоды карт . Отношение циклического порядка можно определить как троичное отношение, которое индуцируется строгим линейным порядком, как указано выше.

Вырезание одной точки из циклического порядка оставляет линейный порядок позади. Точнее, если задан циклически упорядоченный набор $(K,[\cdot ,\cdot ,\cdot ])$, каждый элемент $a\in K$ определяет естественный линейный порядок $<_{a}$ на оставшуюся часть набора, $K\setminus \{a\}$, по следующему правилу:

$x<_{a}y$ если и только если $[a,x,y]$.

Более того, $<_{a}$ можно расширить за счет присоединения $a$как наименьший элемент; результирующий линейный порядок на $K$ называется главным разрезом с наименьшим элементом $a$. Аналогично, прилегающие $a$ поскольку наибольший элемент приводит к разрезу $<^{a}$.

Интервалы

Учитывая два элемента $a\neq b\in K$, открытый интервал от $a$ к $b$, написано $(a,b)$, представляет собой совокупность всех $x\in K$ такой, что $[a,x,b]$. Система открытых интервалов полностью определяет циклический порядок и может использоваться как альтернативное определение отношения циклического порядка.

Интервал $(a,b)$ имеет естественный линейный порядок, заданный формулой $<_{a}$. Можно определить полузамкнутые и закрытые интервалы. $[a,b)$, $(a,b]$, и $[a,b]$ путем присоединения $a$ как наименьший элемент и/или $b$ как величайший элемент . В частном случае открытый интервал $(a,a)$ определяется как разрез $K\setminus a$.

В более общем смысле, правильное подмножество $S$ из $K$ называется выпуклым , если он содержит интервал между каждой парой точек: для $a\neq b\in S$, или $(a,b)$ или $(b,a)$ также должен быть в $S$. Выпуклое множество линейно упорядочено разрезом $<_{x}$ для любого $x$нет в комплекте; этот порядок не зависит от выбора $x$.

Автоморфизмы

Поскольку круг имеет порядок по часовой стрелке и порядок против часовой стрелки, любое множество с циклическим порядком имеет два смысла . Биекция упорядоченным множества, сохраняющая порядок, называется соответствием . Если смысл сохраняется прежним, это прямое соответствие , в противном случае оно называется противоположным соответствием . Коксетер использует отношение разделения для описания циклического порядка, и это отношение достаточно сильное, чтобы различать два смысла циклического порядка. Автоморфизмы двухэлементной циклически упорядоченного множества можно отождествить с C2 _— группой прямых и противоположных соответствий.

Монотонные функции

Идея «циклический порядок = расположение по кругу» работает, потому что любое подмножество цикла само по себе является циклом. Чтобы использовать эту идею для наложения циклических порядков на множества, которые на самом деле не являются подмножествами единичного круга на плоскости, необходимо рассмотреть функции между множествами.

Функция между двумя циклически упорядоченными множествами, f : X → Y , называется монотонной функцией или гомоморфизмом , если она восстанавливает порядок на Y : всякий раз, когда [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] , один имеет [ a , b , c ] . Эквивалентно, f является монотонным, если всякий раз, когда [ a , b , c ] и f ( a ), f ( b ) и f ( c ) различны, то [ f ( a ), f ( b ), f ( c ) ] . Типичным примером монотонной функции является следующая функция на цикле из 6 элементов:

ж (0) = ж (1) = 4,

ж (2) = ж (3) = 0,

ж (4) = ж (5) = 1.

Функция называется вложением , если она одновременно монотонна и инъективна . ^[nb] Эквивалентно, вложение — это функция, которая продвигает порядок в X : всякий раз, когда [ a , b , c ] имеется [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] . Важный пример: если X является подмножеством циклически упорядоченного множества Y и X задан его естественный порядок, то отображение включения i : X → Y является вложением.

Как правило, инъективная функция f из неупорядоченного множества X в цикл Y индуцирует уникальный циклический порядок в X , который делает f вложением.

Функции на конечных множествах

Циклический порядок на конечном множестве X можно определить путем инъекции в единичную окружность X → S. ¹ . Существует множество возможных функций, которые индуцируют один и тот же циклический порядок — фактически, их бесконечно много. Чтобы количественно оценить эту избыточность, требуется более сложный комбинаторный объект, чем простое число. Исследование конфигурационного пространства всех таких карт приводит к определению ( n − 1) -мерного многогранника, известного как циклоэдр . Циклоэдры впервые были применены для изучения инвариантов узлов ; совсем недавно они были применены для экспериментального обнаружения периодически экспрессируемых генов при изучении биологических часов .

Категория гомоморфизмов стандартных конечных циклов называется циклической категорией ; его можно использовать для построения Алена Конна циклических гомологий .

Можно определить степень функции между циклами, аналогично степени непрерывного отображения . Например, естественная карта квинтового круга в хроматический круг представляет собой карту степени 7. Можно также определить число вращения .

Завершение

• Разрез, в котором есть как наименьший, так и наибольший элемент, называется скачком . Например, каждый разрез конечного цикла Zn _{является} скачком. Цикл без скачков называется плотным .
• Разрез, в котором нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента, называется разрывом . Например, в рациональных числах Q есть пробел в каждом иррациональном числе. Еще у них есть разрыв на бесконечность, т.е. обычный порядок. Цикл без пропусков называется полным .
• Разрез, имеющий ровно одну конечную точку, называется главным или дедекиндовым разрезом. Например, каждый разрез окружности S ¹ является основным разрезом. Цикл, в котором каждый разрез является главным, будучи одновременно плотным и полным, называется непрерывным .

[< ₁ , < ₂ , < ₃ ] и [ x , y , z ]

Множество всех разрезов циклически упорядочено по следующему соотношению: [< ₁ , < ₂ , < ₃ ] тогда и только тогда, когда существуют x , y , z такие, что:

Икс < ₁ у < ₁ z ,

x < ₁ y < ₂ z < ₂ x и

Икс < ₁ ​​y < ₁ z < ₃ Икс < ₃ y .

Определенное подмножество этого цикла разрезов является дедекиндовым завершением исходного цикла.

Дальнейшие конструкции

Развертывание и обложки

Начиная с циклически упорядоченного множества K , можно сформировать линейный порядок, развернув его по бесконечной линии. Это отражает интуитивное представление о том, сколько раз человек проходит круг. Формально можно определить линейный порядок в декартовом произведении Z × K , где Z — набор целых чисел , фиксируя элемент a и требуя этого для всех i :

Если [ a , x , y ] , то a _i < x _i < y _i < a _{i + 1} .

Например, месяцы январь 2024 г., май 2024 г., сентябрь 2024 г. и январь 2025 г. идут именно в таком порядке.

Такое упорядочение Z × K называется универсальным покрытием K . ^[nb] Тип его заказа не зависит от выбора a , но обозначение — нет, поскольку целочисленная координата «перекатывается» в a . Например, хотя циклический порядок классов высоты звука совместим с алфавитным порядком от A до G, C выбирается в качестве первой ноты в каждой октаве, поэтому в нотно-октавной записи за B ₃ следует C ₄ .

Обратная конструкция начинается с линейно упорядоченного множества и сворачивает его в циклически упорядоченное множество. Учитывая линейно упорядоченное множество L и сохраняющую порядок биекцию T : L → L с неограниченными орбитами, пространство орбит L / T циклически упорядочено по требованию: ^[nb]

Если a < b < c < T ( a ) , то [[ a ], [ b ], [ c ]] .

В частности, можно восстановить K , определив T ( x _i ) = x _{i + 1} на Z × K .

Существуют также n -кратные покрытия для конечных n ; в этом случае одно циклически упорядоченное множество покрывает другое циклически упорядоченное множество. Например, 24-часовой формат представляет собой двойную крышку 12-часового формата . В геометрии пучок лучей , исходящих из точки ориентированной плоскости, представляет собой двойное покрытие пучка неориентированных прямых , проходящих через ту же точку. Эти карты покрытия можно охарактеризовать поднятием их до универсального покрытия.

Продукты и отзывы

Учитывая циклически упорядоченный набор ( K , [ ]) и линейно упорядоченный набор ( L , <) , (общий) лексикографический продукт представляет собой циклический порядок на множестве продуктов K × L , определенный [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )] , если выполняется одно из следующих условий:

• [ а , б , в ]
• а = б ≠ с и х < у
• b = c ≠ a и y < z
• c = a ≠ b и z < x
• а знак равно б знак равно с и [ Икс , у , z ]

Лексикографическое произведение K × L глобально выглядит как K , а локально — как L ; его можно рассматривать как K копий L . Эту конструкцию иногда используют для характеристики циклически упорядоченных групп.

Можно также склеить различные линейно упорядоченные множества, чтобы сформировать кругово упорядоченное множество. Например, учитывая два линейно упорядоченных множества L ₁ и L ₂ , можно образовать круг, соединив их вместе на положительной и отрицательной бесконечности. Круговой порядок в дизъюнктном объединении L ₁ ∪ L ₂ ∪ {–∞, ∞ } определяется соотношением ∞ < L ₁ < –∞ < L ₂ < ∞ , где индуцированный порядок на L ₁ противоположен исходному порядку. Например, набор всех долгот упорядочен по кругу путем объединения всех точек запада и всех точек востока, а также нулевого меридиана и 180-го меридиана . Кульманн, Маршалл и Осиак (2011) используют эту конструкцию при характеристике пространств порядков и вещественных мест двойных формальных рядов Лорана над действительным замкнутым полем .

Топология

Открытые интервалы образуют основу естественной топологии — топологии циклического порядка . Открытые множества в этой топологии — это именно те множества, которые открыты в любом совместимом линейном порядке. Чтобы проиллюстрировать разницу, в множестве [0, 1) подмножество [0, 1/2) является окрестностью 0 в линейном порядке, но не в циклическом порядке.

Интересными примерами циклически упорядоченных пространств являются конформная граница односвязной поверхности Лоренца. и листовое пространство поднятой существенной пластинки некоторых трехмерных многообразий. дискретные динамические системы на циклически упорядоченных пространствах. Также изучались

Интервальная топология забывает исходную ориентацию циклического порядка. Эту ориентацию можно восстановить, обогатив интервалы их индуцированными линейными порядками; тогда у нас есть набор, покрытый атласом линейных порядков, совместимых там, где они перекрываются. Другими словами, циклически упорядоченное множество можно рассматривать как локально линейно упорядоченное пространство: объект, подобный многообразию , но с отношениями порядка вместо координатных карт. Эта точка зрения облегчает точность в отношении таких понятий, как покрытие карт. Обобщение на локально частично упорядоченное пространство изучается в Roll (1993) ; см. также Направленная топология .

Связанные структуры

Группы

Основная статья: Циклически упорядоченная группа

— Циклически упорядоченная группа это набор, имеющий как групповую структуру , так и циклический порядок, такой, что левое и правое умножение сохраняют циклический порядок. Циклически упорядоченные группы впервые были подробно изучены Ладиславом Ригером в 1947 году. Они являются обобщением циклических групп : бесконечной циклической группы Z и конечных циклических групп Z / n . Поскольку линейный порядок порождает циклический порядок, циклически упорядоченные группы также являются обобщением линейно упорядоченных групп : рациональные числа Q , действительные числа R и так далее. Некоторые из наиболее важных циклически упорядоченных групп не попадают ни в одну из предыдущих категорий: группа окружностей T и ее подгруппы, такие как подгруппа рациональных точек .

Каждую циклически упорядоченную группу можно выразить как фактор L / Z , где L — линейно упорядоченная группа, а Z — циклическая конфинальная подгруппа L. группы Любую циклически упорядоченную группу можно также выразить как подгруппу произведения T × L , где L — линейно упорядоченная группа. Если циклически упорядоченная группа является архимедовой или компактной, она может быть вложена в T. сама

Модифицированные аксиомы

Частичный циклический порядок — это троичное отношение, которое обобщает (полный) циклический порядок таким же образом, как частичный порядок обобщает полный порядок . Оно циклично, асимметрично и транзитивно, но не обязательно должно быть тотальным. Порядковое многообразие — это частичный циклический порядок, который удовлетворяет дополнительной аксиоме распространения . Замена аксиомы асимметрии дополнительной версией приводит к определению коциклического порядка . Соответственно, общие коциклические заказы связаны с циклическими заказами таким же образом, как ≤ связано с < .

Циклический порядок подчиняется относительно строгой аксиоме четырехточечной транзитивности. Одной структурой, которая ослабляет эту аксиому, является система CC : троичное отношение, которое является циклическим, асимметричным и полным, но, как правило, не транзитивным. Вместо этого система CC должна подчиняться аксиоме 5-точечной транзитивности и новой аксиоме интериорности , которая ограничивает 4-точечные конфигурации, нарушающие циклическую транзитивность.

Циклический порядок должен быть симметричным при циклической перестановке, [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] и асимметричным при обращении: [ a , b , c ] ⇒ ¬[ c , b , a ] . Тернарное отношение, которое асимметрично при циклической перестановке и симметрично при обращении, вместе с соответствующими версиями аксиом транзитивности и тотальности, называется отношением между . Отношение разделения — это четверичное отношение , которое можно рассматривать как циклический порядок без ориентации. Отношения между круговым порядком и отношением разделения аналогичны отношениям между линейным порядком и отношением посредничества.

и

Эванс, Макферсон и Иванов (1997) дают теоретико-модельное описание покрывающих карт циклов.

Тарарин ( 2001 , 2002 ) изучает группы автоморфизмов циклов с различными свойствами транзитивности . Жироде и Холланд (2002) характеризуют циклы, полные группы автоморфизмов которых действуют свободно и транзитивно . Камперо-Арена и Трасс (2009) характеризуют счетные цветные циклы, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно. Трасс (2009) изучает группу автоморфизмов единственного (с точностью до изоморфизма) счетного плотного цикла.

Кулпешов и Макферсон (2005) изучают условия минимальности циклически упорядоченных структур , то есть моделей языков первого порядка, которые включают отношение циклического порядка. Эти условия являются аналогами o-минимальности и слабой o-минимальности для случая линейно упорядоченных структур. Кулпешов ( 2006 , 2009 ) продолжает некоторые характеристики ω-категориальных структур.

Познание

Ганс Фройденталь подчеркнул роль циклических порядков в когнитивном развитии в отличие от Жана Пиаже , который рассматривал только линейные порядки. Были проведены некоторые эксперименты для изучения мысленных представлений циклически упорядоченных наборов, таких как месяцы года.

Примечания по использованию

^циклический порядок Отношение можно назвать циклическим порядком ( Хантингтон 1916 , стр. 630), циклическим порядком ( Хантингтон 1916 , стр. 630), циклическим порядком ( Кок 1973 , стр. 6) или циклическим порядком ( Мошер 1996 , с. 109). Некоторые авторы называют такое упорядочение полным циклическим порядком ( Isli & Cohn 1998 , стр. 643), полным циклическим порядком ( Novák 1982 , стр. 462), линейным циклическим порядком ( Novák 1984 , стр. 323) или l -циклический порядок или ℓ- циклический порядок ( Чернак 2001 , стр. 32), чтобы отличить его от более широкого класса частичных циклических порядков , которые они называют просто циклическими порядками . Наконец, некоторые авторы могут воспринимать циклический порядок как неориентированное четвертичное отношение разделения ( Bowditch 1998 , стр. 155).

^цикл Множество с циклическим порядком можно назвать циклом ( Новак 1982 , стр. 462) или кругом ( Жироде и Холланд 2002 , стр. 1). Вышеуказанные вариации появляются и в прилагательной форме: циклически упорядоченный набор ( cyklicky usporřádané množiny , Čech 1936 , стр. 23), циклически упорядоченный набор , полный циклически упорядоченный набор , полный циклически упорядоченный набор , линейно циклически упорядоченный набор , l-циклически упорядоченный набор , ℓ- циклически упорядоченное множество . Все авторы сходятся во мнении, что цикл полностью упорядочен.

^тройное отношение Для обозначения циклического отношения используется несколько разных символов. Хантингтон (1916 , стр. 630) использует конкатенацию: ABC . Чех (1936 , стр. 23) и ( 1982 , стр. 462) используют упорядоченные тройки и символ принадлежности множества: ( a , b , c ) ∈ C. Новак Мегиддо (1976 , стр. 274) использует конкатенацию и членство во множестве: abc ∈ C , понимая abc как циклически упорядоченную тройку. В литературе о группах, такой как Сверчковский (1959a , стр. 162) и Чернак и Якубик (1987 , стр. 157), обычно используются квадратные скобки: [ a , b , c ] . Жироде и Холланд (2002 , стр. 1) используют круглые скобки: ( a , b , c ) , оставляя квадратные скобки для отношения между. Campero-Arena & Truss (2009 , стр. 1) используют обозначение функционального стиля: R ( a , b , c ) . Ригер (1947) , цитируется по Пециновой 2008 , с. 82) использует символ «меньше чем» в качестве разделителя: < x , y , z < . Некоторые авторы используют инфиксную запись: a < b < c , понимая, что это не несет в себе обычный смысл a < b и b < c для некоторого бинарного отношения < ( Черный 1978 , стр. 262). Вайнштейн (1996 , стр. 81) подчеркивает циклический характер, повторяя элемент: п ↪ р ↪ q ↪ п .

Вложение Новак (1984 , стр. 332) называет вложение «изоморфным вложением».

^roll В этом случае Жироде и Холланд (2002 , стр. 2) пишут, что K — это L , «свернутый».

Пространство орбиты. Карта T названа архимедовой Боудичем (2004 , стр. 33), котерминальной Камперо -Ареной и Трассом (2009 , стр. 582) и переводом Макмаллена (2009 , стр. 10).

^универсальное покрытие Макмаллен (2009 , стр. 10) называет × K « универсальным покрытием» K. Z Жироде и Холланд (2002 , стр. 3) пишут, что K представляет собой Z × K , «скрученный». Фрейденталь и Бауэр (1974 , стр. 10) называют Z × K «∞-кратным покрытием» K . записывают как антилексикографический порядок на K × Z. Часто эту конструкцию

Ссылки

Библиография

• Басс, Хайман ; Отеро-Эспинар, Мария Виктория; Рокмор, Дэниел; Трессер, Чарльз (1996), Группы циклической ренормализации и автоморфизмов корневых деревьев , Конспекты лекций по математике, том. 1621, Спрингер, номер домена : 10.1007/BFb0096321 , ISBN.  978-3-540-60595-9
• Боудич, Брайан Х. (сентябрь 1998 г.), «Точки разреза и канонические разделения гиперболических групп», Acta Mathematica , 180 (2): 145–186, doi : 10.1007/BF02392898 , S2CID   121148668
• Боудич, Брайан Х. (ноябрь 2004 г.), «Планарные группы и гипотеза Зейферта» , Журнал чистой и прикладной математики , 2004 (576): 11–62, doi : 10.1515/crll.2004.084 , получено 31 мая 2011 г.
• Браун, Кеннет С. (февраль 1987 г.), «Свойства конечности групп» (PDF) , Журнал чистой и прикладной алгебры , 44 (1–3): 45–75, doi : 10.1016/0022-4049(87)90015- 6 , получено 21 мая 2011 г.
• Калегари, Дэнни (13 декабря 2004 г.), «Круговые группы, плоские группы и класс Эйлера» (PDF) , Монографии по геометрии и топологии , 7 : 431–491, arXiv : math/0403311 , Bibcode : 2004math..... .3311C , CiteSeerX   10.1.1.235.122 , doi : 10.2140/gtm.2004.7.431 , S2CID   14154261 , получено 30 апреля 2011 г.
• Калегари, Дэнни; Данфилд, Натан М. (апрель 2003 г.), «Слоения и группы гомеоморфизмов окружности», Inventiones Mathematicae , 152 (1): 149–204, arXiv : math/0203192 , Bibcode : 2003InMat.152..149D , doi : 10.1007/s00222-002-0271-6 , S2CID   15149654
• Камперо-Арена, Г.; Трасс, Джон К. (апрель 2009 г.), «1-транзитивные циклические упорядочения», Журнал комбинаторной теории, серия A , 116 (3): 581–594, doi : 10.1016/j.jcta.2008.08.006
• Чех, Эдуард (1936), Наборы точек (на чешском языке), Прага: Jednota Československých matematiků a fysiků, hdl : 10338.dmlcz/400435 , получено 9 мая 2011 г.
• Чернак, Штефан (2001), «Канторовое расширение полулинейно циклически упорядоченной группы» (PDF) , Discountes Mathematicae - General Algebra and Applications , 21 (1): 31–46, doi : 10.7151/dmgaa.1025 , получено 22 мая 2011 г.
• Чернак, Штефан; Якубик, Ян (1987), «Пополнение циклически упорядоченной группы», Чехословацкий математический журнал , 37 (1): 157–174, doi : 10.21136/CMJ.1987.102144 , hdl : 10338.dmlcz/102144 , MR   0875137 , Zbl   06 24.06021
• Черный, Илья (1978), «Разрезы в простых связных областях и циклическое упорядочение системы всех граничных элементов» (PDF) , Časopis Pro Pěstování Matematiky , 103 (3): 259–281, doi : 10.21136/CPM.1978.117983 , hdl : 10338.dmlcz/117983 , получено 11 мая 2011 г.
• Курсель, Бруно (21 августа 2003 г.), «2.3 Циркулярный приказ» (PDF) , в Бервангере, Дитмар; Гредель, Эрих (ред.), Проблемы теории конечных моделей , с. 12, заархивировано из оригинала (PDF) 27 мая 2011 г. , получено 15 мая 2011 г.
• Коксетер, HSM (1949), «Глава 3: Порядок и непрерывность», Реальная проективная плоскость
• Эванс, Дэвид М.; Макферсон, Дугалд; Иванов, Александр А. (1997), «Конечные накрытия» , в книге Эванс, Дэвид М. (ред.), Модельная теория групп и групп автоморфизмов: Blaubeuren, август 1995 г. , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 244, Издательство Кембриджского университета, стр. 1–72, ISBN.  978-0-521-58955-0 , получено 5 мая 2011 г.
• Фрейденталь, Ганс (1973), Математика как образовательная задача , Д. Райдель, ISBN  978-90-277-0235-7
• Фрейденталь, Ганс; Бауэр, А. (1974), «Геометрия — феноменологическая дискуссия» , в книге Бенке, Генрих; Гулд, С.Х. (ред.), Основы математики , вып. 2, MIT Press, стр. 3–28 , ISBN.  978-0-262-02069-5
• Фрейденталь, Ганс (1983), Дидактическая феноменология математических структур , Д. Рейдель, ISBN  978-90-277-1535-7
• Жироде, Мишель; Холланд, В. Чарльз (сентябрь 2002 г.), «Структуры Ohkuma», Order , 19 (3): 223–237, doi : 10.1023/A:1021249901409 , S2CID   40537336
• Хантингтон, Эдвард В. (1 ноября 1916 г.), «Набор независимых постулатов циклического порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 2 (11): 630–631, Bibcode : 1916PNAS.. ..2..630H , doi : 10.1073/pnas.2.11.630 , PMC   1091120 , PMID   16576195
• Хантингтон, Эдвард В. (15 февраля 1924 г.), «Наборы полностью независимых постулатов циклического порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 10 (2): 74–78, Bibcode : 1924PNAS.. .10...74H , doi : 10.1073/pnas.10.2.74 , PMC   1085517 , PMID   16576785
• Хантингтон, Эдвард В. (июль 1935 г.), «Взаимоотношения между четырьмя основными типами порядка» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 38 (1): 1–9, doi : 10.1090/S0002-9947- 1935-1501800-1 , получено 8 мая 2011 г.
• Исли, Амар; Кон, Энтони Г. (1998), «Алгебра для циклического упорядочения двумерных ориентаций» (PDF) , AAAI '98/IAAI '98 Материалы пятнадцатой национальной/десятой конференции по искусственному интеллекту/инновационным применениям искусственного интеллекта , ISBN  978-0-262-51098-1 , получено 23 мая 2011 г.
• Кнут, Дональд Э. (1992), Аксиомы и оболочки , Конспекты лекций по информатике, том. 606, Гейдельберг: Springer-Verlag, стр. ix+109, doi : 10.1007/3-540-55611-7 , ISBN  978-3-540-55611-4 , S2CID   5452191 , заархивировано из оригинала 20 июня 2017 г. , получено 5 мая 2011 г.
• Кок, Х. (1973), Связные упорядочиваемые пространства , Амстердам: Математический центр , ISBN  978-90-6196-088-1
• Кульманн, Сальма; Маршалл, Мюррей; Осиак, Катаржина (1 июня 2011 г.), «Циклические 2-структуры и пространства упорядочивания полей степенных рядов двух переменных», Journal of Algebra , 335 (1): 36–48, doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02. 026
• Кулпешов, Бейбут Ш. (Декабрь 2006 г.), «О ℵ ₀ -категориальных слабо циклически минимальных структурах», Mathematical Logic Quarterly , 52 (6): 555–574, doi : 10.1002/malq.200610014 , S2CID   20279077
• Кулпешов, Бейбут Ш. (март 2009 г.), «Определимые функции в ℵ ₀ -категоричных слабо круговых минимальных структурах», Сибирский математический журнал , 50 (2): 282–301, doi : 10.1007/s11202-009-0034-3 , S2CID   123179896
  • Перевод Kulpeshov (2009), "Определимые функции в ℵ ₀ -категоричных слабо циклически минимальных структурах" , Sibirskiĭ Matematicheskiĭ Zhurnal , 50 (2): 356–379 , retrieved 24 May 2011
• Кулпешов, Бейбут Ш.; Макферсон, Х. Дугалд (июль 2005 г.), «Условия минимальности для циклически упорядоченных структур», Mathematical Logic Quarterly , 51 (4): 377–399, doi : 10.1002/malq.200410040 , MR   2150368 , S2CID   37479502
• Макферсон, Х. Дугалд (2011), «Обзор однородных структур» (PDF) , Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , получено 28 апреля 2011 г.
• МакМаллен, Кертис Т. (2009), «Ленточные R-деревья и голоморфная динамика на единичном диске» (PDF) , Journal of Topology , 2 (1): 23–76, CiteSeerX   10.1.1.139.8850 , doi : 10.1112/ jtopol/jtn032 , S2CID   427594 , получено 15 мая 2011 г.
• Мегиддо, Нимрод (март 1976 г.), «Частичные и полные циклические порядки» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 82 (2): 274–276, doi : 10.1090/S0002-9904-1976-14020-7 , получено 30 апреля 2011 г.
• Мортон, Джеймс; Пахтер, Лиор ; Шиу, Энн; Штурмфельс, Бернд (январь 2007 г.), «Тест на циклоэдр для поиска периодических генов в исследованиях экспрессии с течением времени», Статистические приложения в генетике и молекулярной биологии , 6 (1): Статья 21, arXiv : q-bio/0702049 , Bibcode : 2007q .bio.....2049M , doi : 10.2202/1544-6115.1286 , PMID   17764440 , S2CID   17402424
• Мошер, Ли (1996), «Руководство пользователя по группе классов отображения: однажды проколотые поверхности», в Баумслаге, Гилберт (редактор), Геометрические и вычислительные перспективы бесконечных групп , DIMACS, vol. 25, Книжный магазин AMS, стр. 101–174, arXiv : math/9409209 , Bibcode : 1994math......9209M , ISBN  978-0-8218-0449-0
• Новак, Витезслав (1982), «Циклически упорядоченные множества» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 32 (3): 460–473, doi : 10.21136/CMJ.1982.101821 , hdl : 10338.dmlcz/101821 , получено 30 апреля 2011 г.
• Новак, Витезслав (1984), «Разрезы в циклически упорядоченных множествах» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 34 (2): 322–333, doi : 10.21136/CMJ.1984.101955 , hdl : 10338.dmlcz/101955 , получено 30 апреля 2011 г.
• Новак, Витезслав; Новотны, Мирослав (1987), «О пополнении циклически упорядоченных множеств», Чехословацкий математический журнал , 37 (3): 407–414, doi : 10.21136/CMJ.1987.102168 , hdl : 10338.dmlcz/102168
• Пецинова-Козакова, Элишка (2005), «Ладислав Сванте Ригер и его алгебраическая работа», в Сафранковой, Яне (редактор), WDS 2005 - Сборник статей, Часть I , Прага: Matfyzpress , стр. 190–197, CiteSeerX   10.1.1.90.2398 , ISBN  978-80-86732-59-6
• Пецинова, Элишка (2008), Ладислав Сванте Ригер (1916–1963) , История математики (на чешском языке), том 36, Прага: Matfyzpress, hdl : 10338.dmlcz/400757 , ISBN.  978-80-7378-047-0 , получено 9 мая 2011 г.
• Ригер, Л.С. (1947), «Об упорядоченных и циклически упорядоченных группах II», Журнал Королевского чешского общества наук, математики и естествознания) (на чешском языке) (1): 1–33
• Ролл, Дж. Блер (1993), «Локально частично упорядоченные группы» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 43 (3): 467–481, doi : 10.21136/CMJ.1993.128411 , hdl : 10338.dmlcz/128411 , получено 30 апрель 2011 г.
• Сташефф, Джим (1997), «От операд к теориям, вдохновленным физически» , в Лоде, Жан-Луи; Сташефф, Джеймс Д.; Воронов, Александр А. (ред.), Операды: материалы конференций эпохи Возрождения , Современная математика, вып. 202, Книжный магазин AMS, стр. 53–82, ISBN.  978-0-8218-0513-8 , архивировано из оригинала 23 мая 1997 года , получено 1 мая 2011 года.
• Сверчковский, С. (1959a), «О циклически упорядоченных группах» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 161–166, doi : 10.4064/fm-47-2-161-166 , получено 2 мая 2011 г.
• Тарарин, Валерий Михайлович (2001), «О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств», Сибирский математический журнал , 42 (1): 190–204, doi : 10.1023/A:1004866131580 , S2CID   117396034
  • Перевод Тамарин (2001), «Математика-Нет.Ру» О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств , Sibirskii Matematicheskii Zhurnal (in Russian), 42 (1): 212–230 , retrieved 30 April 2011
• Тарарин, Валерий Михайлович (2002), «О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств», Mathematical Notes , 71 (1): 110–117, doi : 10.1023/A:1013934509265 , S2CID   126544835
  • Перевод Tamarin (2002), "О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств", Matematicheskie Zametki , 71 (1): 122–129, doi : 10.4213/mzm333
• Трасс, Джон К. (2009), «О группе автоморфизмов счетного плотного кругового порядка» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 204 (2): 97–111, doi : 10.4064/fm204-2-1 , получено 25 апреля. 2011 г.
• Виро, Олег ; Иванов Олег; Нецветаев Никита; Харламов, Вячеслав (2008), «8. Циклические порядки» (PDF) , Элементарная топология: Учебник задач (1-е изд. на английском языке), Книжный магазин AMS , стр. 42–44, ISBN  978-0-8218-4506-6 , получено 25 апреля 2011 г.
• Вайнштейн, Тилла (июль 1996 г.), Введение в поверхности Лоренца , Expositions De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 22, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-014333-1

Дальнейшее чтение

• Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёнвальдур Г.; Нойманн, Питер М. (1998), Заметки о бесконечных группах перестановок , Конспекты лекций по математике, том. 1698, Springer, стр. 108–109, doi : 10.1007/BFb0092550 , ISBN.  978-3-540-64965-6
• Бодирский, Мануэль; Пинскер, Майкл (2011), «Редукты структур Рамсея» , Теоретико-модельные методы в конечной комбинаторике , Современная математика, том. 558, АМС, с. 489ff, arXiv : 1105.6073 , Bibcode : 2011arXiv1105.6073B , ISBN  978-0-8218-4943-9
• Кэмерон, Питер Дж. (июнь 1976 г.), «Транзитивность групп перестановок на неупорядоченных множествах», Mathematische Zeitschrift , 148 (2): 127–139, doi : 10.1007/BF01214702 , S2CID   120757129
• Кэмерон, Питер Дж. (июнь 1977 г.), «Когомологические аспекты двухграфов», Mathematische Zeitschrift , 157 (2): 101–119, doi : 10.1007/BF01215145 , S2CID   120726731
• Кэмерон, Питер Дж. (1997), «Алгебра эпохи», Эванс, Дэвид М. (ред.), Модельная теория групп и групп автоморфизмов: Blaubeuren, август 1995 г. , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 244, Издательство Кембриджского университета, стр. 126–133, CiteSeerX   10.1.1.39.2321 , ISBN  978-0-521-58955-0
• Курсель, Бруно; Энгельфриет, Йост (апрель 2011 г.), Структура графа и монадическая логика второго порядка, теоретико-языковой подход (PDF) , Cambridge University Press , получено 17 мая 2011 г.
• Дросте, М.; Жироде, М.; Макферсон, Д. (март 1995 г.), «Периодические упорядоченные группы перестановок и циклические упорядочения», Журнал комбинаторной теории, серия B , 63 (2): 310–321, doi : 10.1006/jctb.1995.1022
• Дросте, М.; Жироде, М.; Макферсон, Д. (март 1997 г.), «Однородные по множеству графы и вложения полных порядков», Order , 14 (1): 9–20, CiteSeerX   10.1.1.22.9135 , doi : 10.1023/A:1005880810385 , S2CID   16990257
• Эванс, Дэвид М. (17 ноября 1997 г.), «Конечные покрытия с конечными ядрами», Annals of Pure and Applied Logic , 88 (2–3): 109–147, CiteSeerX   10.1.1.57.5323 , doi : 10.1016/S0168- 0072(97)00018-3
• Иванов А.А. (январь 1999 г.), «Конечные накрытия, когомологии и однородные структуры», Труды Лондонского математического общества , 78 (1): 1–28, doi : 10.1112/S002461159900163X , S2CID   120545318
• Якубик, Ян (2006), «О монотонных перестановках ℓ-циклически упорядоченных множеств» (PDF) , Чехословацкий математический журнал , 45 (2): 403–415, doi : 10.1007/s10587-006-0026-4 , hdl : 10338 .dmlcz/128075 , S2CID   51756248 , получено 30 апреля 2011 г.
• Кеннеди, Кристин Коуэн (август 1955 г.), О циклическом тройном отношении ... (Магистерская диссертация) , Тулейнский университет, OCLC   16508645
• Конья, Эстер Херендин (2006), «Математический и дидактический анализ концепции ориентации», Teaching Mathematics and Computer Science , 4 (1): 111–130, doi : 10.5485/TMCS.2006.0108
• Конья, Эстер Херендине (2008), «Геометрические преобразования и концепция циклического упорядочения» (PDF) , в Май, Божена; Пытлак, Марта; Свобода, Ева (ред.), Поддержка независимого мышления посредством математического образования , Издательство Жешувского университета, стр. 102–108, ISBN  978-83-7338-420-0 , получено 17 мая 2011 г.
• Лелуп, Жерар (февраль 2011 г.), «Экзистенциально эквивалентные циклические ультраметрические пространства и циклическизначные группы» (PDF) , Logic Journal of the IGPL , 19 (1): 144–173, CiteSeerX   10.1.1.152.7462 , doi : 10.1093/jigpal /jzq024 , получено 30 апреля 2011 г.
• Маронгиу, Габриэле (1985), «Некоторые замечания о ℵ ₀ -категоричности круговых упорядочений», Unione Matematica Italiana. Бюллетень. Б. Серия VI (на итальянском языке), 4 (3): 883–900, MR   0831297.
• Макклири, Стивен; Рубин, Мататьяху (6 октября 2005 г.), Локально движущиеся группы и проблема восстановления цепей и кругов , arXiv : math/0510122 , Bibcode : 2005math.....10122M
• Мюллер, Г. (1974), «Линейный и циклический порядок», Praxis der Mathematics , 16 : 261–269, MR   0429660
• Рубин, М. (1996), «Локально движущиеся группы и проблемы реконструкции», в Голландии, У. Чарльз (редактор), Упорядоченные группы и бесконечные группы перестановок , Математика и ее приложения, том. 354, Клювер, стр. 121–157, ISBN.  978-0-7923-3853-6
• Сверчковский, С. (1956), «Об отношениях циклического порядка», Бюллетень Польской академии наук, класс III , 4 : 585–586.
• Сверчковски, С. (1959b), «О циклически упорядоченных интервалах целых чисел» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 167–172, doi : 10.4064/fm-47-2-167-172 , получено 2 мая 2011 г.
• Трасс, Дж. К. (июль 1992 г.), «Общие автоморфизмы однородных структур», Труды Лондонского математического общества , 3, 65 (1): 121–141, doi : 10.1112/plms/s3-65.1.121

Внешние ссылки

• циклический порядок в n Lab