Принцип максимума Хаусдорфа

В математике представляет принцип максимума Хаусдорфа собой альтернативную и более раннюю формулировку леммы Цорна, доказанную Феликсом Хаусдорфом в 1914 году (Moore 1982:168). Он утверждает, что в любом частично упорядоченном множестве каждое полностью упорядоченное подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве.

Принцип максимума Хаусдорфа — одно из многих утверждений, эквивалентных аксиоме выбора над ZF ( теория множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора). Этот принцип также называют теоремой о максимальности Хаусдорфа или леммой Куратовского (Келли 1955:33).

Заявление

Принцип максимума Хаусдорфа гласит, что в любом частично упорядоченном множестве каждое полностью упорядоченное подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве (полностью упорядоченном подмножестве, которое при любом расширении не остается полностью упорядоченным). В общем, может быть много максимальных полностью упорядоченных подмножеств, содержащих данное полностью упорядоченное подмножество.

Эквивалентная форма принципа максимума Хаусдорфа состоит в том, что в каждом частично упорядоченном множестве существует максимальное полностью упорядоченное подмножество. Чтобы доказать, что это утверждение следует из исходной формы, пусть A — частично упорядоченное множество. Затем $\varnothing$ является полностью упорядоченным подмножеством A , следовательно, существует максимальное полностью упорядоченное подмножество, содержащее $\varnothing$, следовательно, в частности , A содержит максимальное вполне упорядоченное подмножество. В обратном направлении пусть A — частично упорядоченное множество, а T — упорядоченное подмножество A. полностью Затем

$\{S\mid T\subseteq S\subseteq A{\mbox{ and S totally ordered}}\}$

частично упорядочен включением множества $\subseteq$, поэтому оно содержит максимальное вполне упорядоченное подмножество P . Тогда набор $P$ удовлетворяет желаемым свойствам.

Доказательство эквивалентности принципа максимума Хаусдорфа лемме Цорна очень похоже на это доказательство.

Примеры

Если A — любая коллекция множеств, отношение «является собственным подмножеством» — это частичный порядок на A. строгий Предположим, что A — совокупность всех круговых областей (внутренностей кругов) на плоскости. Одна максимальная полностью упорядоченная подгруппа A состоит из всех круглых областей с центрами в начале координат. Другая максимальная полностью упорядоченная подгруппа состоит из всех круглых областей, ограниченных окружностями, касающимися справа к оси Y в начале координат.

Если (x ₀ , y ₀ ) и (x ₁ , y ₁ ) — две точки плоскости $\mathbb {R} ^{2}$, определите (x ₀ , y ₀ ) < (x ₁ , y ₁ ), если y ₀ = y ₁ и x ₀ < x ₁ . Это частичный заказ $\mathbb {R} ^{2}$при котором две точки сравнимы только в том случае, если они лежат на одной горизонтальной линии. Максимальные полностью упорядоченные множества представляют собой горизонтальные линии в $\mathbb {R} ^{2}$.

Ссылки

• Джон Келли (1955), Общая топология , Фон Ностранд.
• Грегори Мур (1982), Аксиома выбора Цермело , Спрингер.
• Джеймс Манкрес (2000), Топология , Пирсон.