Общее отношение

В математике бинарное отношение R ⊆ X × Y между двумя множествами X и Y является полным (или левым полным ), если исходный набор X равен области { x : существует y с xRy }. И наоборот, R называется правой суммой , если Y равен диапазону { y : существует x с xRy }.

Когда f : X → Y — функция , областью определения f является все X , следовательно, f — тотальное отношение. С другой стороны, если f — частичная функция , то область определения может быть собственным подмножеством X , и в этом случае f не является полным отношением.

«Бинарное отношение считается тотальным по отношению к вселенной дискурса только в том случае, если все в этой вселенной дискурса находится в этом отношении к чему-то другому». ^[1]

характеристика Алгебраическая

Полные отношения могут быть охарактеризованы алгебраически равенствами и неравенствами, включающими композиции отношений . Для этого позвольте $X,Y$ будет два набора, и пусть $R\subseteq X\times Y.$ Для любых двух наборов $A,B,$ позволять $L_{A,B}=A\times B$ быть универсальным отношением между $A$ и $B,$ и пусть $I_{A}=\{(a,a):a\in A\}$ быть тождественным отношением на $A.$ Мы используем обозначение $R^{\top }$ для обратного отношения $R.$

$R$ является полным, если и только если для любого набора $W$ и любой $S\subseteq W\times X,$ $S\neq \emptyset$ подразумевает $SR\neq \emptyset .$ ^[2]^: 54
$R$ является полным, если и только если $I_{X}\subseteq RR^{\top }.$ ^[2]^: 54
Если $R$ является полным, то $L_{X,Y}=RL_{Y,Y}.$ Обратное верно, если $Y\neq \emptyset .$ ^{[примечание 1]}
Если $R$ является полным, то ${\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset .$ Обратное верно, если $Y\neq \emptyset .$ ^{[примечание 2]}^[2]^: 63
Если $R$ является полным, то ${\overline {R}}\subseteq R{\overline {I_{Y}}}.$ Обратное верно, если $Y\neq \emptyset .$ ^[2]^: 54^[3]
В более общем смысле, если $R$ тотально, то для любого множества $Z$ и любой $S\subseteq Y\times Z,$ ${\overline {RS}}\subseteq R{\overline {S}}.$ Обратное верно, если $Y\neq \emptyset .$ ^{[примечание 3]}^[2]^: 57

См. также [ править ]

Серийное отношение — полное однородное отношение.

Примечания [ править ]

^ Если $Y=\emptyset \neq X,$ затем $R$ будет не тотальным.
^ Наблюдайте ${\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset \Leftrightarrow RL_{Y,Y}=L_{X,Y},$ и примените предыдущий пункт.
^ Взять $Z=Y,S=I_{Y}$ и обратимся к предыдущему пункту.

Ссылки [ править ]

^ Функции Университета Карнеги-Меллона
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Шмидт, Гюнтер ; Штрёлайн, Томас (6 декабря 2012 г.). Отношения и графики: дискретная математика для компьютерщиков . Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-642-77968-8 .
^ Гюнтер Шмидт (2011). Реляционная математика . Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511778810 . ISBN 9780511778810 . Определение 5.8, стр. 57.

Гюнтер Шмидт и Майкл Винтер (2018) Реляционная топология
К. Бринк, В. Каль и Г. Шмидт (1997) Реляционные методы в информатике , Достижения в информатике, стр. 5, ISBN 3-211-82971-7
Гюнтер Шмидт и Томас Стролейн (2012) [1987] Отношения и графики , стр. 54, в Google Книгах
Гюнтер Шмидт (2011) Реляционная математика , с. 57, в Google Книгах

[3] Если $Y=\emptyset \neq X,$ затем $R$ будет не тотальным.

[4] Наблюдайте ${\overline {RL_{Y,Y}}}=\emptyset \Leftrightarrow RL_{Y,Y}=L_{X,Y},$ и примените предыдущий пункт.

[6] Взять $Z=Y,S=I_{Y}$ и обратимся к предыдущему пункту.

[1] Функции Университета Карнеги-Меллона

[R&G-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Шмидт, Гюнтер ; Штрёлайн, Томас (6 декабря 2012 г.). Отношения и графики: дискретная математика для компьютерщиков . Springer Science & Business Media . ISBN 978-3-642-77968-8 .

[GS11-5] Гюнтер Шмидт (2011). Реляционная математика . Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511778810 . ISBN 9780511778810 . Определение 5.8, стр. 57.

[1]

[2]

[примечание 1]

[примечание 2]

[3]

[примечание 3]

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice

характеристика Алгебраическая ​ ​

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

характеристика Алгебраическая