Серийное отношение
В теории множеств серийное отношение — это однородное отношение , выражающее связь элемента последовательности со следующим элементом. Функция -преемник , использованная Пеано для определения натуральных чисел, является прототипом серийного отношения.
Бертран Рассел использовал серийные отношения в «Принципах математики». [1] (1903), когда он исследовал основы теории порядка и ее приложений. Термин «серийное отношение» также использовался Б. А. Бернштейном в статье, показывающей, что отдельные общие аксиомы теории порядка почти несовместимы: связность , иррефлексивность и транзитивность . [2]
Серийное отношение R — это эндоотношение множестве U. на Как заявил Рассел, где кванторы универсальности и существования относятся к U . На современном языке отношений это свойство определяет тотальное отношение . Но тотальное отношение может быть неоднородным. Серийные отношения представляют исторический интерес.
Для отношения R пусть { y : xRy } обозначает «окрестность-преемник» x . Серийное отношение можно эквивалентно охарактеризовать как отношение, в котором каждый элемент имеет непустую окрестность-преемник. Точно так же обратное серийное отношение — это отношение, в котором каждый элемент имеет непустую «окрестность-предшественник». [3]
В нормальной модальной логике расширение фундаментального набора аксиом K с помощью свойства серийности приводит к набору D. аксиом [4]
Серия Рассела [ править ]
Отношения используются для разработки серий в « Принципах математики» . Прототипом является функция-преемница Пеано как отношение один-один к натуральным числам . Ряд Рассела может быть конечным или порождаться отношением, задающим циклический порядок . В этом случае разделения пары точек для описания используется отношение . Чтобы определить прогрессию, он требует, чтобы порождающее отношение было связным отношением . Тогда порядковые числа получаются из прогрессий, конечные из них являются конечными порядковыми. [1] : Глава 28: Прогрессии и порядковые числительные. Различение открытых и закрытых серий. [1] : 234 В результате получается четыре порядка: конечный, с одним концом, без конца и открытый, и без конца и закрытый. [1] : 202
В отличие от других авторов, Рассел допускает отрицательные порядковые номера. Для мотивации рассмотрим шкалы измерения , используя научные обозначения , где степень десяти представляет собой десятилетие измерения. Неофициально этот параметр соответствует порядку величины, используемому для количественной оценки физических единиц. Параметр принимает как отрицательные, так и положительные значения.
Растянуть [ править ]
Рассел заимствовал термин «растяжение» у Мейнонга , который внес свой вклад в теорию расстояния. [5] Растяжение относится к промежуточным членам между двумя точками в серии, а «количество членов измеряет расстояние и делимость целого». [1] : 181 Чтобы объяснить Мейнонг, Рассел обращается к метрике Кэли-Клейна , которая использует координаты растяжения в ангармонических отношениях , которые определяют расстояние с помощью логарифма. [1] : 255 [6]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с д Это ж Рассел, Бертран. Принципы математики . ISBN 978-1-136-76573-5 . OCLC 1203009858 .
- ^ Б. А. Бернштейн (1926) «О серийных отношениях в булевых алгебрах» , Бюллетень Американского математического общества 32 (5): 523,524
- ^ Яо, Ю. (2004). «Семантика нечетких множеств в грубой теории множеств». Транзакции с грубыми множествами II . Конспекты лекций по информатике . Том. 3135. с. 309. дои : 10.1007/978-3-540-27778-1_15 . ISBN 978-3-540-23990-1 .
- ^ Джеймс Гарсон (2013) Модальная логика для философов , глава 11: Отношения между модальными логиками, рисунок 11.1, страница 220, Cambridge University Press дои : 10.1017/CBO97811393421117.014
- ^ Алексиус Мейнонг (1896) О значении законов Вебера
- ^ Рассел (1897) Очерк основ геометрии
Внешние ссылки [ править ]
- Цзин Тао Яо, Давиде Чиуччи и Ян Чжан (2015). «Обобщенные грубые множества» . В Януше Кацпшике и Витольде Педриче (ред.). Справочник по вычислительному интеллекту . Спрингер. стр. 413–424. ISBN 9783662435052 . Здесь: страница 416.
- Яо, ГГ; Вонг, СКМ (1995). «Обобщение грубых наборов с использованием связей между значениями атрибутов» (PDF) . Материалы 2-й ежегодной совместной конференции по информационным наукам : 30–33. .