Заказать встраивание

В теории порядка , разделе математики , вложение порядка — это особый вид монотонной функции , которая позволяет включать одно частично упорядоченное множество в другое. Подобно связям Галуа , порядковые вложения представляют собой понятие, которое строго более слабое, чем понятие порядкового изоморфизма . Оба этих ослабления можно понять с точки зрения теории категорий .

Формальное определение

Формально даны два частично упорядоченных множества (полупорядковые множества). $(S,\leq )$ и $(T,\preceq )$, функция $f:S\to T$ является встраиванием заказа, если $f$ является одновременно сохраняющим и отражающим порядок , т. е. для всех $x$ и $y$ в $S$, у одного есть

$x\leq y{\text{ if and only if }}f(x)\preceq f(y).$

Такая функция обязательно инъективна , так как $f(x)=f(y)$ подразумевает $x\leq y$ и $y\leq x$. Если вложение порядка между двумя чузами $S$ и $T$ существует, говорят, что $S$ может быть встроен в $T$.

Свойства

Вложение во взаимном порядке $(0,1)$ и $[0,1]$, с использованием $f(x)=(94x+3)/100$ в обоих направлениях.

Набор $S$ делителей числа 6, частично упорядоченных по x делит y . Вложение $id:\{1,2,3\}\to S$ не может быть коретракцией.

Изоморфизм порядка можно охарактеризовать как сюръективное вложение порядка. Как следствие, любое вложение f в порядок ограничивается изоморфизмом между его областью определения S и его образом f ( S ), что оправдывает термин «вложение». С другой стороны, вполне возможно, что два (обязательно бесконечных) ЧУМ взаимно вложима друг в друга по порядку, но не являются порядково-изоморфными.

Примером может служить открытый интервал $(0,1)$ действительных чисел и соответствующий замкнутый интервал $[0,1]$. Функция $f(x)=(94x+3)/100$ отображает первое в подмножество $(0.03,0.97)$ последнего и последнего к подмножеству $[0.03,0.97]$ первый, см. рисунок. Заказывая оба набора естественным способом, $f$ одновременно сохраняет порядок и отражает порядок (поскольку это аффинная функция ). Тем не менее, никакого изоморфизма между двумя ч.у. множествами существовать не может, поскольку, например, $[0,1]$ имеет наименьший элемент, в то время как $(0,1)$ нет.Аналогичный пример использования арктанга для упорядочивания действительных чисел в интервал и карты тождеств для обратного направления см., например, в Just and Weese (1996).

Ретракт – это пара $(f,g)$ сохраняющих порядок карт, состав которых $g\circ f$ это личность. В этом случае, $f$ называется коретрактией и должен быть вложением порядка. Однако не каждое встраивание порядка является кортракцией. В качестве тривиального примера, встраивание уникального порядка $f:\emptyset \to \{1\}$ из пустого частичного множества в непустое частичное множество не имеет ретракта, поскольку не существует сохраняющего порядок отображения. $g:\{1\}\to \emptyset$. Для большей наглядности рассмотрим набор $S$ делителей числа 6, частично упорядоченных по принципу x делит y , см. рисунок. Рассмотрим встроенный подмножество $\{1,2,3\}$. Отказ от встраивания $id:\{1,2,3\}\to S$ нужно будет отправить $6$ куда-то в $\{1,2,3\}$ выше обоих $2$ и $3$, но такого места нет.

Дополнительные перспективы

Посеты можно напрямую рассматривать с разных точек зрения, а встраивания порядка достаточно просты, поэтому их, как правило, видно отовсюду. Например:

• ( Теоретическая модель ) ЧУ -множество — это множество, оснащенное (рефлексивным, антисимметричным и транзитивным) бинарным отношением . Порядковое вложение A → B это изоморфизм A элементарной подструктуре B — .
• ( Теоретически граф ) ЧУУ — это (транзитивный, ациклический, направленный, рефлексивный) граф . Порядковое вложение A → B это изоморфизм графа A B в индуцированный подграф — .
• ( Теоретически категория ) Частный набор — это (маленькая, тонкая и скелетная) категория , в которой каждый гомосет имеет не более одного элемента. Порядковое вложение A → B — это полный и точный функтор из A в B , который инъективен для объектов, или, что то же самое, изоморфизм из A в полную подкатегорию B .

См. также

• Теорема Душника – Миллера
• Теорема Лавера