Булева теорема о простых идеалах

В математике булева теорема о простых идеалах утверждает, что идеалы в булевой алгебре могут быть расширены до простых идеалов . Вариант этого утверждения для фильтров на множествах известен как лемма об ультрафильтре . Другие теоремы получаются путем рассмотрения различных математических структур с соответствующими понятиями идеалов, например, колец и простых идеалов (теории колец) или дистрибутивных решеток и максимальных идеалов ( теории порядка ). Эта статья посвящена теоремам о простых идеалах из теории порядка.

Хотя различные теоремы о простых идеалах могут показаться простыми и интуитивно понятными, их в целом нельзя вывести из аксиом теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (сокращенно ZF). Вместо этого некоторые утверждения оказываются эквивалентными аксиоме выбора (AC), в то время как другие — например, булева теорема о простых идеалах — представляют свойство, которое строго слабее, чем AC. Именно из-за этого промежуточного статуса между ZF и ZF + AC (ZFC) булева теорема о простых идеалах часто принимается как аксиома теории множеств. Аббревиатуры BPI или PIT (для булевых алгебр) иногда используются для обозначения этой дополнительной аксиомы.

идеалах простых Теоремы о

— Идеал порядка это (непустое) направленное нижнее множество . Если рассматриваемое частично упорядоченное множество (poset) имеет двоичные верхние числа (также известные как соединения ), как и частично упорядоченные множества в этой статье, то это эквивалентно характеризуется как непустое нижнее множество I , замкнутое для двоичных верхних чисел (т. е. $x,y\in I$ подразумевает $x\vee y\in I$ ). Идеал I является простым, если его теоретико-множественное дополнение в частично упорядоченном множестве является фильтром (т. е. $x\wedge y\in I$ подразумевает $x\in I$ или $y\in I$ ). Идеалы являются правильными, если они не равны всему частичному множеству.

Исторически первое утверждение, относящееся к более поздним теоремам о простых идеалах, на самом деле относилось к фильтрам — подмножествам, которые являются идеалами по отношению к двойственному порядку. Лемма об ультрафильтре утверждает, что каждый фильтр на множестве содержится в некотором максимальном (собственном) фильтре — ультрафильтре . Напомним, что фильтры на множествах являются собственными фильтрами булевой алгебры ее набора степеней . В этом особом случае максимальные фильтры (т. е. фильтры, которые не являются строгими подмножествами какого-либо собственного фильтра) и простые фильтры (т. е. фильтры, которые при каждом объединении подмножеств X и Y содержат также X или Y ) совпадают. Таким образом, двойственное этому утверждению гарантирует, что каждый идеал набора степеней содержится в простом идеале.

Приведенное выше утверждение привело к различным обобщенным теоремам о простых идеалах, каждая из которых существует в слабой и сильной форме. Теоремы о слабых простых идеалах утверждают, что каждая нетривиальная алгебра определенного класса имеет хотя бы один простой идеал. Напротив, сильные теоремы о простых идеалах требуют, чтобы каждый идеал, не пересекающийся с данным фильтром, мог быть расширен до простого идеала, который все еще не пересекается с этим фильтром. В случае алгебр, не являющихся частично упорядоченными множествами, вместо фильтров используются разные подструктуры. На самом деле известно, что многие формы этих теорем эквивалентны, так что утверждение о справедливости «PIT» обычно воспринимается как утверждение о том, что соответствующее утверждение для булевых алгебр (BPI) справедливо.

Другой вариант подобных теорем получается путем замены каждого появления простого идеала максимальным идеалом . Соответствующие теоремы о максимальных идеалах (MIT) часто — хотя и не всегда — сильнее, чем их эквиваленты PIT.

Булева теорема простых идеалах о

Булева теорема о простых идеалах — это сильная теорема о простых идеалах для булевых алгебр. Таким образом, формальное заявление таково:

Пусть B — булева алгебра, пусть I — идеал и F — фильтр B , такой, что I и F пересекаются не . Тогда I содержится в некотором простом идеале B , не пересекающемся с F .

Слабая теорема о простых идеалах для булевых алгебр просто гласит:

Каждая булева алгебра содержит простой идеал.

Мы называем эти заявления слабым и сильным BPI . Они эквивалентны, поскольку сильный BPI явно подразумевает слабый BPI, а обратного импликации можно достичь, используя слабый BPI для поиска простых идеалов в соответствующей факторалгебре.

BPI может выражаться по-разному. Для этого напомним следующую теорему:

Для любого идеала I булевой алгебры B следующие условия эквивалентны:

Я — высший идеал.
I — максимальный идеал, т.е. для любого собственного идеала J , если I содержится в J то I = J. ,
Для каждого элемента из B I a содержит ровно один из { a , ¬ a }.

Эта теорема является хорошо известным фактом для булевых алгебр. Его двойник устанавливает эквивалентность фильтров простого и ультрафильтров. Обратите внимание, что последнее свойство на самом деле самодвойственно: только предварительное предположение о том, что I является идеалом, дает полную характеристику. Все следствия этой теоремы могут быть доказаны в ZF.

Таким образом, следующая (сильная) теорема о максимальном идеале (MIT) для булевых алгебр эквивалентна BPI:

Пусть B — булева алгебра, пусть I — идеал и F — фильтр B , такой, что I и F не пересекаются. Тогда I содержится в некотором максимальном идеале B , не пересекающемся с F .

Обратите внимание, что требуется «глобальная» максимальность, а не только максимальность в отношении непересекаемости с F . Тем не менее, этот вариант дает еще одну эквивалентную характеристику BPI:

Пусть B — булева алгебра, пусть I — идеал и F — фильтр B , такой, что I и F не пересекаются. Тогда I содержится в некотором идеале из B , максимальном среди всех идеалов, не пересекающихся с F .

Тот факт, что это утверждение эквивалентно BPI, легко установить, приняв во внимание следующую теорему: для любой дистрибутивной решетки L , если идеал I является максимальным среди всех идеалов L , которые не пересекаются с данным фильтром F , то I является простым идеалом. . Доказательство этого утверждения (которое снова можно провести в теории множеств ZF) включено в статью об идеалах. Поскольку любая булева алгебра является дистрибутивной решеткой, это доказывает искомое следствие.

Теперь легко увидеть, что все приведенные выше утверждения эквивалентны. Идя еще дальше, можно воспользоваться тем фактом, что двойственные порядки булевых алгебр сами являются самими булевыми алгебрами. Следовательно, если взять эквивалентные двойственные утверждения ко всем предыдущим утверждениям, мы получим ряд теорем, которые в равной степени применимы к булевым алгебрам, но где каждое появление идеала заменяется фильтром. ^{[ нужна ссылка ]}. Стоит отметить, что для частного случая, когда рассматриваемая булева алгебра представляет собой степенное множество с упорядоченным подмножеством, «теорема о максимальном фильтре» называется леммой об ультрафильтре.

Подводя итог, для булевых алгебр слабый и сильный MIT, слабый и сильный PIT, а также эти утверждения с фильтрами вместо идеалов эквивалентны. Известно, что все эти утверждения являются следствиями аксиомы выбора AC AC (простое доказательство использует лемму Цорна ), но не могут быть доказаны в ZF (теория множеств Цермело-Френкеля без ) , если ZF непротиворечив . Тем не менее, BPI строго слабее аксиомы выбора, хотя доказательство этого утверждения, предложенное Дж. Д. Халперном и Азриэлем Леви, довольно нетривиально.

Дальнейшие теоремы идеалах о простых

Прототипические свойства, которые обсуждались для булевых алгебр в предыдущем разделе, можно легко модифицировать, включив в них более общие решетки , такие как дистрибутивные решетки или алгебры Гейтинга . Однако в этих случаях максимальные идеалы отличаются от простых идеалов, и связь между PIT и MIT не очевидна.

Действительно, оказывается, что MIT для дистрибутивных решеток и даже для гейтинговых алгебр эквивалентны аксиоме выбора. С другой стороны, известно, что сильный PIT для дистрибутивных решеток эквивалентен BPI (т.е. MIT и PIT для булевых алгебр). Следовательно, это утверждение строго слабее аксиомы выбора. Более того, заметим, что алгебры Гейтинга не являются самодвойственными, и поэтому использование фильтров вместо идеалов приводит к другим теоремам в этом случае. Может быть удивительно, но MIT для двойственных алгебр Гейтинга не сильнее, чем BPI, что резко контрастирует с вышеупомянутым MIT для алгебр Гейтинга.

Наконец, теоремы о простых идеалах существуют и для других (не теоретико-порядковых) абстрактных алгебр. Например, MIT для колец подразумевает аксиому выбора. Эта ситуация требует замены теоретико-порядкового термина «фильтр» другими понятиями - для колец подходит «мультипликативно замкнутое подмножество».

Лемма ультрафильтре об

Фильтр на множестве $X$ — это непустая совокупность непустых подмножеств $X$ , замкнутая относительно конечного пересечения и надмножества. Ультрафильтр – максимальный фильтр.Лемма об ультрафильтре утверждает, что каждый фильтр на множестве $X$ является подмножеством некоторого ультрафильтра на $X$ . ^[1]Ультрафильтр, не содержащий конечных множеств, называется «неглавным». Лемму об ультрафильтре и, в частности, существование неглавных ультрафильтров (рассмотрим фильтр всех множеств с конечными дополнениями), можно доказать с помощью леммы Цорна .

Лемма об ультрафильтре эквивалентна булевой теореме о простых идеалах, эквивалентность которой доказуема в теории множеств ZF без аксиомы выбора. Идея доказательства заключается в том, что подмножества любого множества образуют булевую алгебру, частично упорядоченную по включению, и любая булева алгебра представима как алгебра множеств по теореме Стоуна о представлении .

Если множество $X$ конечно, то лемму об ультрафильтре можно доказать на основе аксиом ZF. Это уже не так для бесконечных множеств; дополнительную аксиому необходимо принять . Лемма Цорна , аксиома выбора и теорема Тихонова могут быть использованы для доказательства леммы об ультрафильтре. Лемма об ультрафильтре строго слабее аксиомы выбора.

Лемма об ультрафильтре имеет множество приложений в топологии . Лемму об ультрафильтре можно использовать для доказательства теоремы Хана-Банаха и теоремы Александера о суббазе .

Приложения [ править ]

Интуитивно, булева теорема о простых идеалах утверждает, что в булевой алгебре «достаточно» простых идеалов в том смысле, что мы можем расширить каждый идеал до максимального. Это имеет практическое значение для доказательства теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр , частного случая двойственности Стоуна , в котором можно снабдить множество всех простых идеалов определенной топологией и действительно можно восстановить исходную булеву алгебру ( с точностью до изоморфизма ) из этой данные. Более того, оказывается, что в приложениях можно свободно выбирать работу либо с простыми идеалами, либо с простыми фильтрами, поскольку каждый идеал однозначно определяет фильтр: набор всех булевых дополнений своих элементов. Оба подхода встречаются в литературе.

Многие другие теоремы общей топологии, о которых часто говорят, что они основаны на аксиоме выбора, на самом деле эквивалентны BPI. теорема о компактности произведения хаусдорфовых пространств Например, ей эквивалентна . Если мы оставим «Хаусдорфа», мы получим теорему , эквивалентную полной аксиоме выбора.

В теории графов теорема де Брейна-Эрдеша является еще одним эквивалентом BPI. Он утверждает, что если для данного бесконечного графа требуется хотя бы некоторое конечное число $k$ в любой раскраске графа , то у него есть конечный подграф, который также требует $k$ . ^[2]

Не слишком известное применение булевой теоремы о простых идеалах — существование неизмеримого множества ^[3] (обычно приводится пример множества Витали , требующего аксиомы выбора). Из этого, а также из того факта, что BPI строго слабее аксиомы выбора, следует, что существование неизмеримых множеств строго слабее аксиомы выбора.

В линейной алгебре булева теорема о простых идеалах может использоваться для доказательства того, что любые две базы данного векторного пространства имеют одинаковую мощность .

См. также [ править ]

Список тем по булевой алгебре

Примечания [ править ]

^ Халперн, Джеймс Д. (1966), «Базы в векторных пространствах и аксиома выбора», Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (3), American Mathematical Society: 670–673, doi : 10.1090/S0002-9939-1966 -0194340-1 , JSTOR 2035388
^ Ляухли, Х. (1971), «Раскраска бесконечных графов и булева теорема о простых идеалах», Israel Journal of Mathematics , 9 (4): 422–429, doi : 10.1007/BF02771458 , MR 0288051 , S2CID 122090105
^ Серпинский, Вацлав (1938), «Неполностью аддитивные аддитивные функции и неизмеримые функции», Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 30 : 96–99, doi : 10.4064/fm-30-1-96-99

Ссылки [ править ]

Дэйви, бакалавр; Пристли, HA (2002), Введение в решетки и порядок (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1

Легко читаемое введение, показывающее эквивалентность PIT для булевых алгебр и дистрибутивных решеток.

Джонстон, Питер (1982), Stone Spaces , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 3, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-33779-3

Теория в этой книге часто требует принципов выбора. В примечаниях к различным главам обсуждается общая связь теорем с PIT и MIT для различных структур (хотя в основном решеток) и даются ссылки на дополнительную литературу.

Банашевски, Б. (1983), «Сила теоремы об ультрафильтре», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 27 (2): 193–202, doi : 10.1112/jlms/s2-27.2.193

Обсуждается статус леммы об ультрафильтре.

Эрне, М. (2000), «Теория первичных идеалов для общих алгебр», Прикладные категориальные структуры , 8 : 115–144, doi : 10.1023/A:1008611926427 , S2CID 31605587

Дает множество эквивалентных утверждений для BPI, включая теоремы о простых идеалах для других алгебраических структур. PIT рассматриваются как частные случаи лемм о разделении.

[1] Халперн, Джеймс Д. (1966), «Базы в векторных пространствах и аксиома выбора», Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (3), American Mathematical Society: 670–673, doi : 10.1090/S0002-9939-1966 -0194340-1 , JSTOR 2035388

[2] Ляухли, Х. (1971), «Раскраска бесконечных графов и булева теорема о простых идеалах», Israel Journal of Mathematics , 9 (4): 422–429, doi : 10.1007/BF02771458 , MR 0288051 , S2CID 122090105

[3] Серпинский, Вацлав (1938), «Неполностью аддитивные аддитивные функции и неизмеримые функции», Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 30 : 96–99, doi : 10.4064/fm-30-1-96-99

[1]

[2]

[3]

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice