Топология заказа (функциональный анализ)

Не путать с топологией Ордена (топологией) .

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе , порядковая топология упорядоченного векторного пространства. $(X,\leq )$ является лучшей локально выпуклого топологического векторного пространства (TVS) топологией на $X$ для которого каждый интервал порядка ограничен, где интервал порядка в $X$ представляет собой набор вида $[a,b]:=\left\{z\in X:a\leq z{\text{ and }}z\leq b\right\}$ где $a$ и $b$ принадлежать $X.$

Топология порядка — важная топология, которая часто используется в теории упорядоченных топологических векторных пространств, поскольку топология вытекает непосредственно из алгебраических и теоретико-порядковых свойств пространства. $(X,\leq ),$ а не из какой-то топологии, которая $X$ начинается с наличия. Это позволяет установить тесную связь между этой топологией и алгебраическими и теоретико-порядковыми свойствами. $(X,\leq ).$ Для многих упорядоченных топологических векторных пространств , встречающихся в анализе, их топология идентична порядковой топологии.

Определения

Семейство всех локально выпуклых топологий на $X$ для которого каждый порядковый интервал ограничен, непусто (так как содержит максимально грубую топологию на $X$), а порядковая топология является верхней границей этого семейства.

Подмножество $X$ является окрестностью начала координат в топологии порядка тогда и только тогда, когда она выпукла и поглощает каждый интервал порядка в $X.$ Окрестность начала координат в топологии порядка обязательно является поглощающим множеством , поскольку $[x,x]:=\{x\}$ для всех $x\in X.$

Для каждого $a\geq 0,$ позволять $X_{a}=\bigcup _{n=1}^{\infty }n[-a,a]$ и наделить $X_{a}$ с его топологией порядка (что превращает его в нормируемое пространство). Набор всего $X_{a}$'s направлен под включение, и если $X_{a}\subseteq X_{b}$ тогда естественное включение $X_{a}$ в $X_{b}$ является непрерывным. Если $X$ является регулярно упорядоченным векторным пространством над вещественными числами, и если $H$ любое подмножество положительного конуса $C$ из $X$ это конфинал в $C$ (например $H$ может быть $C$), затем $X$ с его порядковой топологией является индуктивным пределом $\left\{X_{a}:a\geq 0\right\}$ (где карты связей представляют собой естественные включения).

Решётчатая структура может частично компенсировать отсутствие единицы порядка:

Теорема - Позволять $X$ — векторная решетка регулярного порядка и пусть $C$ обозначим его положительный конус. Тогда порядок топологии на $X$ является наилучшей локально выпуклой топологией на $X$ для чего $C$ это обычный конус ; это также то же самое, что топология Макки, индуцированная на $X$ что касается двойственности $\left\langle X,X^{+}\right\rangle .$

В частности, если $(X,\tau )$ является упорядоченной решеткой Фреше над действительными числами, тогда $\tau$ это упорядоченная топология на $X$ тогда и только тогда, когда положительный конус $X$ это обычный конус $(X,\tau ).$

Если $X$ является регулярно упорядоченной векторной решеткой , то упорядоченная топология является наилучшей локально выпуклой TVS-топологией на $X$ изготовление $X$ в локально-выпуклую векторную решетку . Если вдобавок $X$ тогда заказ завершен? $X$ с порядковой топологией представляет собой бочкообразное пространство , и каждое зонное разложение $X$ является топологической прямой суммой для этой топологии. В частности, если порядок векторной решетки $X$ регулярна, то топология порядка порождается семейством всех решеточных полунорм на $X.$

Свойства

Через, $(X,\leq )$ будет упорядоченным векторным пространством и $\tau _{\leq }$ будет обозначать топологию порядка на $X.$

• Двойник $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ является ли порядок связанным двойственным $X_{b}$ из $X.$
• Если $X_{b}$ разделяет точки в $X$ (например, если $(X,\leq )$ является регулярным), тогда $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ является борнологической локально выпуклой ТВС.
• Каждый положительный линейный оператор между двумя упорядоченными векторными пространствами непрерывен для соответствующих топологий порядка.
• Каждая единица порядка упорядоченного TVS находится внутри положительного конуса порядковой топологии.
• Если порядок упорядоченного векторного пространства $X$ является регулярным порядком , и если каждая положительная последовательность типа $\ell ^{1}$ в $X$ суммируем по порядку , тогда $X$ Наделенное своей топологией порядка, это бочкообразное пространство .
• Если порядок упорядоченного векторного пространства $X$ это обычный заказ и если для всех $x\geq 0$ и $y\geq 0$ $[0,x]+[0,y]=[0,x+y]$ то положительный конус $X$ это обычный конус $X$ когда $X$ наделен порядковой топологией. В частности, непрерывное дуальное пространство $X$ с порядковой топологией будет двойственный порядок $X$⁺ .
• Если $(X,\leq )$ представляет собой архимедово упорядоченное векторное пространство над действительными числами, имеющими единицу порядка , и пусть $\tau _{\leq }$ обозначим топологию порядка на $X.$ Затем $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ — упорядоченный TVS , который является нормальным , $\tau _{\leq }$ — лучшая локально выпуклая TVS-топология на $X$ такой, что положительный конус нормален, и следующие условия эквивалентны:

1. $\left(X,\tau _{\leq }\right)$ завершен.
2. Каждая положительная последовательность типа $\ell ^{1}$ в $X$ суммируется по порядку .

• В частности, если $(X,\leq )$ - это архимедово упорядоченное векторное пространство, единица порядка которого равна порядку $\,\leq \,$ это регулярный заказ и $X_{b}=X^{+}.$
• Если $X$ является банаховым пространством и упорядоченным векторным пространством с единицей порядка, тогда $X$топология идентична топологии порядка тогда и только тогда, когда положительный конус $X$ это обычный конус $X.$
• Гомоморфизм векторной решетки из $X$ в $Y$ является топологическим гомоморфизмом, когда $X$ и $Y$ даны соответствующие топологии порядка.

, факторами и

Если $M$ — сплошное векторное подпространство векторной решетки $X,$ то топология порядка $X/M$ является фактором топологии порядка на $X.$

Примеры

Топология порядка конечного произведения упорядоченных векторных пространств (это произведение имеет канонический порядок) идентична топологии произведения топологического произведения составляющих его упорядоченных векторных пространств (когда каждому задана его топология порядка).

См. также

• Обобщенная метрика – Метрическая геометрия
• Топология порядка - Определенная топология в математике.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .