Обобщенная метрика

В математике понятие обобщенной метрики является обобщением понятия метрики , в которой расстояние не является действительным числом , а берется из произвольного упорядоченного поля .

В общем, когда мы определяем метрическое пространство, функция расстояния считается действительной функцией . Действительные числа образуют упорядоченное поле, которое является архимедовым и имеет полный порядок . Эти метрические пространства обладают некоторыми приятными свойствами, такими как: в метрическом пространстве компактность , секвенциальная компактность и счетная компактность эквивалентны и т. д. Однако эти свойства могут не выполняться так легко, если функция расстояния берется в произвольном упорядоченном поле, а не в $\scriptstyle \mathbb {R} .$

Предварительное определение

Позволять $(F,+,\cdot ,<)$ быть произвольным упорядоченным полем и $M$ непустое множество; функция $d:M\times M\to F^{+}\cup \{0\}$ называется метрикой $M,$ если выполняются следующие условия:

1. $d(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$;
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (симметрия);
3. $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$ (неравенство треугольника).

Нетрудно убедиться, что открытые шары $B(x,\delta )\;:=\{y\in M\;:d(x,y)<\delta \}$ составляют основу подходящей топологии, последняя называется метрической топологией на $M,$ с метрикой в $F.$

Ввиду того, что $F$ в своем порядке топология монотонно нормальна , мы ожидаем $M$ быть хотя бы регулярным .

Дополнительные свойства

Однако согласно аксиоме выбора каждая общая метрика монотонно нормальна , поскольку при данных $x\in G,$ где $G$ открыт, есть открытый шар $B(x,\delta )$ такой, что $x\in B(x,\delta )\subseteq G.$ Брать $\mu (x,G)=B\left(x,\delta /2\right).$ Проверьте условия монотонной нормальности.

Удивительно то, что даже без выбора общие метрики монотонно нормальны .

доказательство .

Случай I: $F$ является архимедовым полем .

Теперь, если $x$ в $G,G$ открыто, мы можем взять $\mu (x,G):=B(x,1/2n(x,G)),$ где $n(x,G):=\min\{n\in \mathbb {N} :B(x,1/n)\subseteq G\},$ и трюк делается без выбора.

Случай II: $F$ является неархимедовым полем.

Для данного $x\in G$ где $G$ открыт, рассмотрим множество $A(x,G):=\{a\in F:{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} ,B(x,n\cdot a)\subseteq G\}.$

Набор $A(x,G)$ непусто. Ибо, как $G$ открыт, есть открытый шар $B(x,k)$ в пределах $G.$ Теперь, как $F$ неархимдедов, $\mathbb {N} _{F}$ не ограничено сверху, следовательно, существует некоторое $\xi \in F$ такой, что для всех $n\in \mathbb {N} ,$ $n\cdot 1\leq \xi .$ положить $a=k\cdot (2\xi )^{-1},$ мы видим это $a$ находится в $A(x,G).$

Теперь определите $\mu (x,G)=\bigcup \{B(x,a):a\in A(x,G)\}.$ Мы бы показали, что относительно этого оператора мю пространство монотонно нормально. Обратите внимание, что $\mu (x,G)\subseteq G.$

Если $y$ не в $G$ (открытый набор, содержащий $x$) и $x$ не в $H$ (открытый набор, содержащий $y$), то мы покажем это $\mu (x,G)\cap \mu (y,H)$ пусто. Если нет, скажи $z$ находится на перекрёстке. Затем $$\exists a\in A(x,G)\colon d(x,z)<a;\;\;\exists b\in A(y,H)\colon d(z,y)<b.$$

Из вышесказанного мы получаем, что $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<2\cdot \max\{a,b\},$ что невозможно, поскольку это означало бы, что либо $y$ принадлежит $\mu (x,G)\subseteq G$ или $x$ принадлежит $\mu (y,H)\subseteq H.$ Это завершает доказательство.

См. также

• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Псевдометрическое пространство - Обобщение метрических пространств в математике.
• Единообразное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.

Внешние ссылки

• Дискуссия ФОМ , 15 августа 2007 г.