Монотонно нормальное пространство

В математике, особенно в области топологии , монотонно нормальное пространство — это особый вид нормального пространства , определяемый в терминах оператора монотонной нормальности. Он обладает некоторыми интересными свойствами; например, метрические пространства и линейно упорядоченные пространства монотонно нормальны, а каждое монотонно нормальное пространство наследственно нормально .

Определение

Топологическое пространство $X$ называется монотонно нормальным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных определений:

Определение 1

Пространство $X$ есть T ₁ и существует функция $G$ который присваивает каждой упорядоченной паре $(A,B)$ непересекающихся замкнутых множеств в $X$ открытый набор $G(A,B)$ такой, что:

(я) $A\subseteq G(A,B)\subseteq {\overline {G(A,B)}}\subseteq X\setminus B$;

(ii) $G(A,B)\subseteq G(A',B')$ в любое время $A\subseteq A'$ и $B'\subseteq B$.

Условие (i) говорит $X$ является нормальным пространством, о чем свидетельствует функция $G$. Условие (ii) гласит, что $G(A,B)$ изменяется монотонно, отсюда и терминология «монотонно нормально» .Оператор $G$ называется монотонным оператором нормальности .

Всегда можно выбрать $G$ удовлетворить собственность

$G(A,B)\cap G(B,A)=\emptyset$,

путем замены каждого $G(A,B)$ к $G(A,B)\setminus {\overline {G(B,A)}}$.

Определение 2

Пространство $X$ есть T ₁ и существует функция $G$ который присваивает каждой упорядоченной паре $(A,B)$ отдельных наборов в $X$ (то есть такой, что $A\cap {\overline {B}}=B\cap {\overline {A}}=\emptyset$) открытый набор $G(A,B)$ удовлетворяющие тем же условиям (i) и (ii) определения 1.

Определение 3

Пространство $X$ есть T ₁ и существует функция $\mu$ который присваивается каждой паре $(x,U)$ с $U$ открыть в $X$ и $x\in U$ открытый набор $\mu (x,U)$ такой, что:

(я) $x\in \mu (x,U)$;

(ii) если $\mu (x,U)\cap \mu (y,V)\neq \emptyset$, затем $x\in V$ или $y\in U$.

Такая функция $\mu$ автоматически удовлетворяет

$x\in \mu (x,U)\subseteq {\overline {\mu (x,U)}}\subseteq U$.

( Причина : Предположим, $y\in X\setminus U$. С $X$ есть T ₁ , существует открытая окрестность $V$ из $y$ такой, что $x\notin V$. По условию (ii) $\mu (x,U)\cap \mu (y,V)=\emptyset$, то есть, $\mu (y,V)$ это район $y$ непересекающийся с $\mu (x,U)$. Так $y\notin {\overline {\mu (x,U)}}$.)

Определение 4

Позволять ${\mathcal {B}}$ быть основой топологии ​ ​ $X$.Пространство $X$ есть T ₁ и существует функция $\mu$ который присваивается каждой паре $(x,U)$ с $U\in {\mathcal {B}}$ и $x\in U$ открытый набор $\mu (x,U)$ удовлетворяющие тем же условиям (i) и (ii) определения 3.

Определение 5

Пространство $X$ есть T ₁ и существует функция $\mu$ который присваивается каждой паре $(x,U)$ с $U$ открыть в $X$ и $x\in U$ открытый набор $\mu (x,U)$ такой, что:

(я) $x\in \mu (x,U)$;

(ii) если $U$ и $V$ открыты и $x\in U\subseteq V$, затем $\mu (x,U)\subseteq \mu (x,V)$;

(iii) если $x$ и $y$ являются различными точками, то $\mu (x,X\setminus \{y\})\cap \mu (y,X\setminus \{x\})=\emptyset$.

Такая функция $\mu$ автоматически удовлетворяет всем условиям определения 3.

Примеры

• Всякое метризуемое пространство монотонно нормально.
• Каждое линейно упорядоченное топологическое пространство (LOTS) монотонно нормально. Это предполагает Аксиому выбора , так как без нее есть МНОГО примеров, которые даже не являются нормальными.
• Линия Соргенфрея монотонно нормальна. Это следует из определения 4, если взять за основу топологии все интервалы вида $[a,b)$ и для $x\in [a,b)$ позволяя $\mu (x,[a,b))=[x,b)$. Альтернативно, линия Соргенфрея монотонно нормальна, поскольку ее можно встроить как подпространство LOTS, а именно в пространство с двойной стрелкой .
• Любая обобщенная метрика монотонно нормальна.

Свойства

• Монотонная нормальность — наследственное свойство : каждое подпространство монотонно нормального пространства монотонно нормально.
• Всякое монотонно нормальное пространство является вполне нормальным Хаусдорфом (или Т ₅ ).
• Каждое монотонно нормальное пространство наследственно коллективно нормально .
• Образ монотонно нормального пространства при непрерывном замкнутом отображении монотонно нормальный.
• Компактное хаусдорфово пространство. $X$ является непрерывным образом компактного линейно упорядоченного пространства тогда и только тогда, когда $X$ является монотонно нормальным.