Монотонно нормальное пространство
В математике, особенно в области топологии , монотонно нормальное пространство — это особый вид нормального пространства , определяемый в терминах оператора монотонной нормальности. Он обладает некоторыми интересными свойствами; например, метрические пространства и линейно упорядоченные пространства монотонно нормальны, а каждое монотонно нормальное пространство наследственно нормально .
Определение
[ редактировать ]Топологическое пространство называется монотонно нормальным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных определений: [1] [2] [3] [4]
Определение 1
[ редактировать ]Пространство есть T 1 и существует функция который присваивает каждой упорядоченной паре непересекающихся замкнутых множеств в открытый набор такой, что:
- (я) ;
- (ii) в любое время и .
Условие (i) говорит является нормальным пространством, о чем свидетельствует функция . Условие (ii) гласит, что изменяется монотонно, отсюда и терминология «монотонно нормально» .Оператор называется монотонным оператором нормальности .
Всегда можно выбрать удовлетворить собственность
- ,
путем замены каждого к .
Определение 2
[ редактировать ]Пространство есть T 1 и существует функция который присваивает каждой упорядоченной паре отдельных наборов в (то есть такой, что ) открытый набор удовлетворяющие тем же условиям (i) и (ii) определения 1.
Определение 3
[ редактировать ]Пространство есть T 1 и существует функция который присваивается каждой паре с открыть в и открытый набор такой, что:
- (я) ;
- (ii) если , затем или .
Такая функция автоматически удовлетворяет
- .
( Причина : Предположим, . С есть T 1 , существует открытая окрестность из такой, что . По условию (ii) , то есть, это район непересекающийся с . Так .) [5]
Определение 4
[ редактировать ]Позволять быть основой топологии .Пространство есть T 1 и существует функция который присваивается каждой паре с и открытый набор удовлетворяющие тем же условиям (i) и (ii) определения 3.
Определение 5
[ редактировать ]Пространство есть T 1 и существует функция который присваивается каждой паре с открыть в и открытый набор такой, что:
- (я) ;
- (ii) если и открыты и , затем ;
- (iii) если и являются различными точками, то .
Такая функция автоматически удовлетворяет всем условиям определения 3.
Примеры
[ редактировать ]- Всякое метризуемое пространство монотонно нормально. [4]
- Каждое линейно упорядоченное топологическое пространство (LOTS) монотонно нормально. [6] [4] Это предполагает Аксиому выбора , так как без нее есть МНОГО примеров, которые даже не являются нормальными. [7]
- Линия Соргенфрея монотонно нормальна. [4] Это следует из определения 4, если взять за основу топологии все интервалы вида и для позволяя . Альтернативно, линия Соргенфрея является монотонно нормальной, поскольку ее можно встроить как подпространство LOTS, а именно в пространство с двойной стрелкой .
- Любая обобщенная метрика монотонно нормальна.
Характеристики
[ редактировать ]- Монотонная нормальность — наследственное свойство : каждое подпространство монотонно нормального пространства монотонно нормально.
- Всякое монотонно нормальное пространство является вполне нормальным Хаусдорфом (или Т 5 ).
- Каждое монотонно нормальное пространство наследственно коллективно нормально . [8]
- Образ монотонно нормального пространства при непрерывном замкнутом отображении монотонно нормальный. [9]
- Компактное хаусдорфово пространство. является непрерывным образом компактного линейно упорядоченного пространства тогда и только тогда, когда является монотонно нормальным. [10] [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хит, RW; Лютцер, диджей; Зенор, Польша (апрель 1973 г.). «Монотонно нормальные пространства» (PDF) . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . JSTOR 1996713 .
- ^ Борхес, Карлос Р. (март 1973 г.). «Исследование монотонно нормальных пространств» (PDF) . Труды Американского математического общества . 38 (1): 211–214. дои : 10.2307/2038799 . JSTOR 2038799 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Беннетт, Гарольд; Лютцер, Дэвид (2015). «Мэри Эллен Рудин и монотонная нормальность» (PDF) . Топология и ее приложения . 195 : 50–62. дои : 10.1016/j.topol.2015.09.021 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Брандсма, Хенно. «монотонная нормальность, линейные порядки и линия Соргенфрея» . Задайте вопрос топологу .
- ^ Чжан, Ханг; Ши, Вэй-Сюэ (2012). «Монотонная нормальность и задания соседства» (PDF) . Топология и ее приложения . 159 (3): 603–607. дои : 10.1016/j.topol.2011.10.007 .
- ^ Хит, Лютцер, Зенор, Теорема 5.3
- ^ ван Даувен, Эрик К. (сентябрь 1985 г.). «Ужасы топологии без AC: ненормальное упорядочиваемое пространство» (PDF) . Труды Американского математического общества . 95 (1): 101–105. дои : 10.2307/2045582 . JSTOR 2045582 .
- ^ Хит, Лютцер, Зенор, Теорема 3.1
- ^ Хит, Лютцер, Зенор, Теорема 2.6
- ^ Рудин, Мэри Эллен (2001). «Гипотеза Никиэля» (PDF) . Топология и ее приложения . 116 (3): 305–331. дои : 10.1016/S0166-8641(01)00218-8 .