Коллекционное нормальное пространство
В математике топологическое пространство называется коллективно нормальным , если для каждого дискретного семейства F i ( i ∈ I ) подмножеств замкнутых существует попарно непересекающееся множеств U i ( i ∈ I ), такое что Fi ⊆ U i семейство открытых . Здесь семья подмножеств называется дискретным, если каждая точка имеет окрестность , пересекающую не более чем одно из множеств из .Эквивалентное определение [1] коллективно нормального требует, чтобы упомянутые выше U i ( i ∈ I ) сами образовывали дискретное семейство, которое более сильно, чем попарно непересекающееся.
Некоторые авторы предполагают, что также является T 1 пространством как часть определения, но здесь такое предположение не делается.
Это свойство является промежуточным по силе между паракомпактностью и нормальностью и встречается в теоремах о метризации .
Характеристики
[ редактировать ]- Коллекционно нормальное пространство является коллективно Хаусдорфовым .
- Коллекционно нормальное пространство является нормальным .
- Хаусдорфово является паракомпактное пространство коллективно нормальным. [2] В частности, каждое метризуемое пространство является коллективно нормальным.
Примечание. Здесь необходимо условие Хаусдорфа, поскольку, например, бесконечное множество с топологией компактно коконечной , а значит, паракомпактно и T 1 , но даже не является нормальным. - Всякое нормальное счетно-компактное пространство (а значит, и всякий нормальный компакт) является коллективно нормальным.
Доказательство . Используйте тот факт, что в счетно компактном пространстве любое дискретное семейство непустых подмножеств конечно. - F топологии σ -множество в коллективно нормальном пространстве также является коллективно нормальным в подпространства . В частности, это справедливо для замкнутых подмножеств.
- The Теорема Мура о метризации что коллективно нормальное пространство Мура метризуемо утверждает , .
Наследственно коллективно нормальное пространство
[ редактировать ]Топологическое пространство X называется наследственно коллективно нормальным , если каждое подпространство X с топологией подпространства является коллективно нормальным.
Точно так же, как наследственно нормальные пространства могут быть охарактеризованы в терминах разделенных множеств , существует эквивалентная характеристика для наследственно коллективно нормальных пространств. Семья подмножеств X называется разделенным семейством , если для каждого i имеем , где cl обозначает оператор замыкания в X , другими словами, если семейство дискретно в своем объединении. Следующие условия эквивалентны: [3]
- X наследственно коллективно нормален.
- Каждое открытое подпространство X является коллективно нормальным.
- Для каждой разделенной семьи подмножеств X существует попарно непересекающееся семейство открытых множеств , такой, что .
Примеры наследственно коллективно нормальных пространств
[ редактировать ]- Каждое линейно упорядоченное топологическое пространство (LOTS). [4]
- Каждое обобщенное упорядоченное пространство (ГО-пространство).
- Всякое метризуемое пространство . Это следует из того, что метризуемые пространства коллективно нормальны и метризуемость является наследственным свойством.
- Каждое монотонно нормальное пространство [5]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Энгелькинг, Теорема 5.1.17, показывает эквивалентность между двумя определениями (в предположении T 1 , но доказательство не использует свойство T 1 ).
- ^ Энгелькинг 1989 , Теорема 5.1.18.
- ^ Энгелькинг 1989 , Задача 5.5.1.
- ^ Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно нормально» . Учеб. амер. Математика. Соц. 24 : 727–728. дои : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .
- ^ Хит, RW; Лютцер, диджей; Зенор, Польша (апрель 1973 г.). «Монотонно нормальные пространства» (PDF) . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . JSTOR 1996713 .
Ссылки
[ редактировать ]- Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4 .