Jump to content

Коллекционное нормальное пространство

В математике топологическое пространство называется коллективно нормальным , если для каждого дискретного семейства F i ( i I ) подмножеств замкнутых существует попарно непересекающееся множеств U i ( i I ), такое что Fi U i семейство открытых . Здесь семья подмножеств называется дискретным, если каждая точка имеет окрестность , пересекающую не более чем одно из множеств из .Эквивалентное определение [1] коллективно нормального требует, чтобы упомянутые выше U i ( i I ) сами образовывали дискретное семейство, которое более сильно, чем попарно непересекающееся.

Некоторые авторы предполагают, что также является T 1 пространством как часть определения, но здесь такое предположение не делается.

Это свойство является промежуточным по силе между паракомпактностью и нормальностью и встречается в теоремах о метризации .

Характеристики

[ редактировать ]
  • Коллекционно нормальное пространство является коллективно Хаусдорфовым .
  • Коллекционно нормальное пространство является нормальным .
  • Хаусдорфово является паракомпактное пространство коллективно нормальным. [2] В частности, каждое метризуемое пространство является коллективно нормальным.
    Примечание. Здесь необходимо условие Хаусдорфа, поскольку, например, бесконечное множество с топологией компактно коконечной , а значит, паракомпактно и T 1 , но даже не является нормальным.
  • Всякое нормальное счетно-компактное пространство (а значит, и всякий нормальный компакт) является коллективно нормальным.
    Доказательство . Используйте тот факт, что в счетно компактном пространстве любое дискретное семейство непустых подмножеств конечно.
  • F топологии σ -множество в коллективно нормальном пространстве также является коллективно нормальным в подпространства . В частности, это справедливо для замкнутых подмножеств.
  • The Теорема Мура о метризации что коллективно нормальное пространство Мура метризуемо утверждает , .

Наследственно коллективно нормальное пространство

[ редактировать ]

Топологическое пространство X называется наследственно коллективно нормальным , если каждое подпространство X с топологией подпространства является коллективно нормальным.

Точно так же, как наследственно нормальные пространства могут быть охарактеризованы в терминах разделенных множеств , существует эквивалентная характеристика для наследственно коллективно нормальных пространств. Семья подмножеств X называется разделенным семейством , если для каждого i имеем , где cl обозначает оператор замыкания в X , другими словами, если семейство дискретно в своем объединении. Следующие условия эквивалентны: [3]

  1. X наследственно коллективно нормален.
  2. Каждое открытое подпространство X является коллективно нормальным.
  3. Для каждой разделенной семьи подмножеств X существует попарно непересекающееся семейство открытых множеств , такой, что .

Примеры наследственно коллективно нормальных пространств

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Энгелькинг, Теорема 5.1.17, показывает эквивалентность между двумя определениями (в предположении T 1 , но доказательство не использует свойство T 1 ).
  2. ^ Энгелькинг 1989 , Теорема 5.1.18.
  3. ^ Энгелькинг 1989 , Задача 5.5.1.
  4. ^ Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно нормально» . Учеб. амер. Математика. Соц. 24 : 727–728. дои : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .
  5. ^ Хит, RW; Лютцер, диджей; Зенор, Польша (апрель 1973 г.). «Монотонно нормальные пространства» (PDF) . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . JSTOR   1996713 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 084bf28587861942ba95d26939b63b28__1694726400
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/08/28/084bf28587861942ba95d26939b63b28.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Collectionwise normal space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)