Коллекционное нормальное пространство

В математике топологическое пространство $X$ называется коллективно нормальным , если для любого дискретного семейства F _i ( i ∈ I ) подмножеств замкнутых $X$ существует попарно непересекающееся множеств U _i ( i ∈ I ), такое что Fi _⊆ U i _{семейство открытых} . Здесь семья ${\mathcal {F}}$ подмножеств $X$ называется дискретным, если каждая точка $X$ имеет окрестность , пересекающую не более чем одно из множеств из ${\mathcal {F}}$ .Эквивалентное определение ^[1] коллективно нормального требует, чтобы упомянутые выше U _i ( i ∈ I ) сами образовывали дискретное семейство, которое более сильно, чем попарно непересекающееся.

Некоторые авторы предполагают, что $X$ также является T ₁ пространством как часть определения, но здесь такое предположение не делается.

Это свойство является промежуточным по силе между паракомпактностью и нормальностью и встречается в теоремах о метризации .

Характеристики

Коллекционно нормальное пространство является коллективно Хаусдорфовым .
Коллекционно нормальное пространство является нормальным .
Хаусдорфово является паракомпактное пространство коллективно нормальным. ^[2] В частности, каждое метризуемое пространство является коллективно нормальным.
Примечание. Здесь необходимо условие Хаусдорфа, поскольку, например, бесконечное множество с топологией компактно коконечной , а значит, паракомпактно и T ₁ , но даже не является нормальным.
Всякое нормальное счетно-компактное пространство (а значит, и всякий нормальный компакт) является коллективно нормальным.
Доказательство . Используйте тот факт, что в счетно компактном пространстве любое дискретное семейство непустых подмножеств конечно.
F топологии _σ -множество в коллективно нормальном пространстве также является коллективно нормальным в подпространства . В частности, это справедливо для замкнутых подмножеств.
The Теорема Мура о метризации что коллективно нормальное пространство Мура метризуемо утверждает , .

Наследственно коллективно нормальное пространство

Топологическое пространство X называется наследственно коллективно нормальным , если каждое подпространство X с топологией подпространства является коллективно нормальным.

Точно так же, как наследственно нормальные пространства могут быть охарактеризованы в терминах разделенных множеств , существует эквивалентная характеристика для наследственно коллективно нормальных пространств. Семья $F_{i}(i\in I)$ подмножеств X называется разделенным семейством , если для каждого i имеем ${\textstyle F_{i}\cap \operatorname {cl} (\bigcup _{j\neq i}F_{j})=\emptyset }$ , где cl обозначает оператор замыкания в X , другими словами, если семейство $F_{i}$ дискретно в своем объединении. Следующие условия эквивалентны: ^[3]

X наследственно коллективно нормален.
Каждое открытое подпространство X является коллективно нормальным.
Для каждой разделенной семьи $F_{i}$ подмножеств X существует попарно непересекающееся семейство открытых множеств $U_{i}(i\in I)$ , такой, что $F_{i}\subseteq U_{i}$ .

Примеры наследственно коллективно нормальных пространств

Каждое линейно упорядоченное топологическое пространство (LOTS). ^[4]
Каждое обобщенное упорядоченное пространство (ГО-пространство).
Всякое метризуемое пространство . Это следует из того, что метризуемые пространства коллективно нормальны и метризуемость является наследственным свойством.
Каждое монотонно нормальное пространство ^[5]

Примечания

^ Энгелькинг, Теорема 5.1.17, показывает эквивалентность между двумя определениями (в предположении T ₁ , но доказательство не использует свойство T ₁ ).
^ Энгелькинг 1989 , Теорема 5.1.18.
^ Энгелькинг 1989 , Задача 5.5.1.
^ Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно нормально» . Учеб. амер. Математика. Соц. 24 : 727–728. дои : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .
^ Хит, RW; Лютцер, диджей; Зенор, Польша (апрель 1973 г.). «Монотонно нормальные пространства» (PDF) . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . JSTOR 1996713 .

Ссылки

Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4 .

[1] Энгелькинг, Теорема 5.1.17, показывает эквивалентность между двумя определениями (в предположении T ₁ , но доказательство не использует свойство T ₁ ).

[FOOTNOTEEngelking1989Theorem_5.1.18-2] Энгелькинг 1989 , Теорема 5.1.18.

[FOOTNOTEEngelking1989Problem_5.5.1-3] Энгелькинг 1989 , Задача 5.5.1.

[4] Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство наследственно нормально» . Учеб. амер. Математика. Соц. 24 : 727–728. дои : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .

[5] Хит, RW; Лютцер, диджей; Зенор, Польша (апрель 1973 г.). «Монотонно нормальные пространства» (PDF) . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . JSTOR 1996713 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]