Коллекционное пространство Хаусдорфа

В математике, в области топологии , топологическое пространство $X$ называется коллективно Хаусдорфовым, если дано любое замкнутое дискретное подмножество $X$ , существует попарно непересекающееся семейство открытых множеств, каждая точка дискретного подмножества которого содержится ровно в одном из открытых множеств. ^{[ 1 ]}

Вот подмножество $S\subseteq X$ дискретность (т. е. все имеет обычное значение: это дискретное пространство с топологией подпространства точки $S$ изолированы в $S$ ). ^{[ номер 1 ]}

Характеристики

Каждое T ₁ пространство , которое является коллективно хаусдорфовым, также является хаусдорфовым .

Каждое коллективно нормальное пространство является коллективно Хаусдорфовым. (Это следует из того, что для заданного замкнутого дискретного подмножества $S$ из $X$ , каждый синглтон $\{s\}$ $(s\in S)$ закрыт в $X$ и семейство таких одиночек является дискретным семейством в $X$ .)

Метризуемые пространства коллективно нормальны и, следовательно, коллективно хаусдорфовы.

Примечания

^ Если $X$ это T ₁ пространство , $S\subseteq X$ быть замкнутым и дискретным эквивалентно семейству одиночных элементов $\{\{s\}:s\in S\}$ являющееся дискретным семейством подмножеств $X$ (в том смысле, что каждая точка $X$ имеет окрестность, которая соответствует не более чем одному множеству семейства). Если $X$ не является T ₁ , то семейство одиночных элементов, являющееся дискретным семейством, является более слабым условием. Например, если $X=\{a,b\}$ с недискретной топологией, $S=\{a\}$ дискретно, но не замкнуто, хотя соответствующее семейство синглетонов является дискретным семейством в $X$ .

Ссылки

^ Ф.Д. Талл, Топология плотности , Тихоокеанский журнал математики , 1976 г.

[2] Если $X$ это T ₁ пространство , $S\subseteq X$ быть замкнутым и дискретным эквивалентно семейству одиночных элементов $\{\{s\}:s\in S\}$ являющееся дискретным семейством подмножеств $X$ (в том смысле, что каждая точка $X$ имеет окрестность, которая соответствует не более чем одному множеству семейства). Если $X$ не является T ₁ , то семейство одиночных элементов, являющееся дискретным семейством, является более слабым условием. Например, если $X=\{a,b\}$ с недискретной топологией, $S=\{a\}$ дискретно, но не замкнуто, хотя соответствующее семейство синглетонов является дискретным семейством в $X$ .

[1] Ф.Д. Талл, Топология плотности , Тихоокеанский журнал математики , 1976 г.

[ 1 ]

[ номер 1 ]