Счетно компактное пространство

В математике топологическое пространство называется счетно-компактным, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.

Эквивалентные определения

Топологическое пространство X называется счетно компактным, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[1]^[2]

(1) Каждое счетное открытое покрытие X имеет конечное подпокрытие.

(2) Каждое бесконечное множество A в X имеет ω-точку накопления в X .

(3) Каждая последовательность из X имеет точку накопления в X .

(4) Каждое счетное семейство замкнутых подмножеств X с пустым пересечением имеет конечное подсемейство с пустым пересечением.

Доказательство эквивалентности

(1) $\Rightarrow$ (2): Suppose (1) holds and A is an infinite subset of X without $\omega$ -accumulation point. By taking a subset of A if necessary, we can assume that A is countable.Every $x\in X$ has an open neighbourhood $O_{x}$ such that $O_{x}\cap A$ is finite (possibly empty), since x is not an ω-accumulation point. For every finite subset F of A define $O_{F}=\cup \{O_{x}:O_{x}\cap A=F\}$ . Every $O_{x}$ is a subset of one of the $O_{F}$ , so the $O_{F}$ cover X. Since there are countably many of them, the $O_{F}$ form a countable open cover of X. But every $O_{F}$ intersect A in a finite subset (namely F), so finitely many of them cannot cover A, let alone X. This contradiction proves (2).

(2) $\Rightarrow$ (3): Suppose (2) holds, and let $(x_{n})_{n}$ be a sequence in X. If the sequence has a value x that occurs infinitely many times, that value is an accumulation point of the sequence. Otherwise, every value in the sequence occurs only finitely many times and the set $A=\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ is infinite and so has an ω-accumulation point x. That x is then an accumulation point of the sequence, as is easily checked.

(3) $\Rightarrow$ (1): Suppose (3) holds and $\{O_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ is a countable open cover without a finite subcover. Then for each $n$ we can choose a point $x_{n}\in X$ that is not in $\cup _{i=1}^{n}O_{i}$ . The sequence $(x_{n})_{n}$ has an accumulation point x and that x is in some $O_{k}$ . But then $O_{k}$ is a neighborhood of x that does not contain any of the $x_{n}$ with $n>k$ , so x is not an accumulation point of the sequence after all. This contradiction proves (1).

(4) $\Leftrightarrow$ (1): Conditions (1) and (4) are easily seen to be equivalent by taking complements.

Примеры

Первый несчетный ординал (с топологией порядка ) является примером счетно-компактного пространства, которое не является компактным. ^[3]

Характеристики

Всякое компактное пространство счетно компактно.
Счётно-компактное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно линделёфово .
Всякое счетно-компактное пространство предельно компактно .
Для пространств T1 счетная компактность и компактность предельной точки эквивалентны.
Всякое секвенциально компактное пространство счетно компактно. ^[4] Обратное неверно. Например, произведение континуума – множества замкнутых интервалов $[0,1]$ с топологией произведения компактен и, следовательно, счетно компактен; но он не секвенциально компактен. ^[5]
Для первых счетных пространств счетная компактность и секвенциальная компактность эквивалентны. ^[6] В более общем смысле то же самое справедливо и для секвенциальных пространств . ^[7]
Для метризуемых пространств счетная компактность, секвенциальная компактность, компактность предельной точки и компактность эквивалентны.
Пример множества всех действительных чисел со стандартной топологией показывает, что ни из локальной компактности , ни из σ-компактности , ни из паракомпактности не следует счетная компактность.
Замкнутые подпространства счетно компактного пространства счетно компактны. ^[8]
Непрерывный образ счетно компактного пространства счетно компактен. ^[9]
Всякое счетно-компактное пространство псевдокомпактно .
В счетно компактном пространстве каждое локально конечное семейство непустых подмножеств конечно. ^[10]^[11]
Всякое счетно-компактное паракомпактное пространство компактно. ^[12]^[11] В более общем смысле любое счетно компактное метакомпактное пространство компактно. ^[13]
Всякое счетно компактное хаусдорфово первое счетное пространство является регулярным . ^[14]^[15]
Всякое нормальное счетно-компактное пространство является коллективно нормальным .
Произведение бикомпакта и счетнокомпактного пространства счетно компактно. ^[16]^[17]
Произведение двух счетно компактных пространств не обязательно должно быть счетно компактным. ^[18]

См. также

Примечания

^ Стин и Сибах, с. 19
^ «Общая топология. Означает ли последовательная компактность счетную компактность?» .
^ Steen & Seebach 1995 , пример 42, стр. 68.
^ Стин и Сибах, с. 20
^ Стин и Зеебах, Пример 105, стр. 125.
^ Уиллард, задача 17G, с. 125
^ Кремсатер, Терри Филип (1972), Последовательные пространственные методы (Диссертация), Университет Британской Колумбии, doi : 10.14288/1.0080490 , Теорема 1.20
^ Уиллард, задача 17F, с. 125
^ Уиллард, задача 17F, с. 125
^ Энгелькинг 1989 , Теорема 3.10.3(ii).
^ Jump up to: ^а ^б «Счетно компактное паракомпактное пространство компактно» .
^ Энгелькинг 1989 , Теорема 5.1.20.
^ Энгелькинг 1989 , Теорема 5.3.2.
^ Стин и Зеебах, Рисунок 7, с. 25
^ «Докажите, что счетно компактное первое счетное пространство T ₂ регулярно» .
^ Уиллард, задача 17F, с. 125
^ «Является ли произведение компактного пространства и счетно-компактного пространства счетно-компактным?» .
^ Энгелькинг, пример 3.10.19.

Ссылки

Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4 .
Джеймс Манкрес (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( Дуврское переиздание изд. 1970 г.), Аддисон-Уэсли

[1] Стин и Сибах, с. 19

[2] «Общая топология. Означает ли последовательная компактность счетную компактность?» .

[FOOTNOTESteenSeebach1995example_42,_p._68-3] Steen & Seebach 1995 , пример 42, стр. 68.

[4] Стин и Сибах, с. 20

[5] Стин и Зеебах, Пример 105, стр. 125.

[6] Уиллард, задача 17G, с. 125

[7] Кремсатер, Терри Филип (1972), Последовательные пространственные методы (Диссертация), Университет Британской Колумбии, doi : 10.14288/1.0080490 , Теорема 1.20

[8] Уиллард, задача 17F, с. 125

[9] Уиллард, задача 17F, с. 125

[FOOTNOTEEngelking1989Theorem_3.10.3(ii)-10] Энгелькинг 1989 , Теорема 3.10.3(ii).

[mse-171182-11] Jump up to: ^а ^б «Счетно компактное паракомпактное пространство компактно» .

[FOOTNOTEEngelking1989Theorem_5.1.20-12] Энгелькинг 1989 , Теорема 5.1.20.

[FOOTNOTEEngelking1989Theorem_5.3.2-13] Энгелькинг 1989 , Теорема 5.3.2.

[14] Стин и Зеебах, Рисунок 7, с. 25

[15] «Докажите, что счетно компактное первое счетное пространство T ₂ регулярно» .

[16] Уиллард, задача 17F, с. 125

[17] «Является ли произведение компактного пространства и счетно-компактного пространства счетно-компактным?» .

[18] Энгелькинг, пример 3.10.19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]