σ -компактное пространство
В математике топологическое пространство называется σ -компактным , если оно представляет собой объединение счетного числа компактных подпространств . [ 1 ]
Пространство называется σ -локально компактным, если оно одновременно σ -компактно и (слабо) локально компактно . [ 2 ] Эта терминология может несколько сбивать с толку, поскольку она не соответствует обычному шаблону σ-(свойство), означающему счетное объединение пространств, удовлетворяющих (свойству); вот почему такие пространства чаще называют явно σ-компактными (слабо) локально компактными , что также эквивалентно исчерпанию компактными множествами . [ 3 ]
Свойства и примеры
[ редактировать ]- Каждый компакт является σ -компактным, а каждый σ -компакт линделёфовым (т. е. каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие ). [ 4 ] Обратные импликации не справедливы, например, для стандартного евклидова пространства ( R н ) σ -компактно, но не компактно, [ 5 ] а нижняя предельная топология на вещественной прямой линделефова, но не σ -компактна. [ 6 ] Фактически, топология счетного дополнения на любом несчетном множестве является линделефовой, но не является ни σ -компактной, ни локально компактной. [ 7 ] Однако верно, что любое локально компактное линделефово пространство σ -компактно.
- ( иррациональные числа ) не является σ -компактным. [ 8 ]
- Пространство Хаусдорфа , , Бэра которое также является σ -компактным, должно быть локально компактным хотя бы в одной точке.
- Если G — топологическая группа и G локально компактна в одной точке, то G локально компактна всюду. Следовательно, предыдущее свойство говорит нам, что если G — σ -компактная хаусдорфова топологическая группа, которая также является пространством Бэра, то G локально компактна. Это показывает, что для хаусдорфовых топологических групп, которые также являются пространствами Бэра, из σ -компактности следует локальная компактность.
- Из предыдущего свойства следует, например, что R ой не является σ -компактным: если бы он был σ -компактным, он обязательно был бы локально компактным, поскольку R ой — топологическая группа, которая также является пространством Бэра.
- Всякое полукомпактное пространство является σ -компактным. [ 9 ] Обратное, однако, неверно; [ 10 ] например, пространство рациональных чисел с обычной топологией σ -компактно, но не полукомпактно.
- Произведение - конечного числа σ -компактных пространств является σ компактным. Однако произведение бесконечного числа σ -компактных пространств может не быть σ -компактным. [ 11 ]
- σ является второй категорией (соответственно по Бэру) тогда и только тогда , -компакт X когда множество точек, в которых X локально компактно, непусто (соответственно плотно) в X . [ 12 ]
См. также
[ редактировать ]- Исчерпание компактных наборов - в анализе последовательность компактных наборов, сходящаяся к заданному набору.
- Пространство Линделефа - Тип топологического пространства.
- Локально компактное пространство - тип топологического пространства в математике.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Стин, с. 19; Уиллард, с. 126.
- ^ Стин, с. 21.
- ^ "Вопрос о локальной компактности и $\sigma$-компактности" . Математический обмен стеками .
- ^ Стин, с. 19.
- ^ Стин, с. 56.
- ^ Стин, с. 75–76.
- ^ Стин, с. 50.
- ^ Харт, КП; Нагата, Дж.; Воган, Дж. Э. (2004). Энциклопедия общей топологии Эльзевир. п. 170. ИСБН 0 444 50355 2 .
- ^ Уиллард, с. 126.
- ^ Уиллард, с. 126.
- ^ Уиллард, с. 126.
- ^ Уиллард, с. 188.
Ссылки
[ редактировать ]- Стин, Линн А. и Сибах, Дж. Артур младший ; Контрпримеры в топологии , Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6 .